數(shù)學課堂教學中大概念、大問題的運用研究

潘小明

(泰州學院 數(shù)理學院， 江蘇 泰州 225300)

為深入了解大問題、大概念在數(shù)學課堂教學中運用的現(xiàn)狀，筆者于2019—2021年帶領(lǐng)江蘇省“青藍工程”優(yōu)秀數(shù)學教育教學團隊對J省19所中小學進行了實地調(diào)研，從中發(fā)現(xiàn)了大問題、大概念在數(shù)學課堂教學運用中所存在的一些問題。以教學問題解決為目標，研究團隊與中小學合作開展了行動研究，聯(lián)系案例審視了大概念、大問題的教學價值及其在數(shù)學課堂教學中的協(xié)同運用，提出了大概念、大問題在數(shù)學課堂教學中協(xié)同運用的有關(guān)建議。

一、實地調(diào)研發(fā)現(xiàn)的一些問題

(一)教師的教缺少應(yīng)有的深度與有效性

盡管有一些學校已經(jīng)組織了與大概念有關(guān)的數(shù)學教研活動，并邀請了校外專家面向校內(nèi)教師開展了有關(guān)的專題講座，但是由于許多教師對自己所教學科的內(nèi)容缺少系統(tǒng)、整體的深入理解，在實際的課堂教學過程中并未能有效使用那些具有核心或包容性的大概念引導(dǎo)學生的數(shù)學思維，不當?shù)慕虒W方式常常將學生的數(shù)學活動引向表層的數(shù)學思考或機械式的問題解決。課堂觀摩表明，從數(shù)學知識學習到數(shù)學認知建構(gòu)，不少教師沒有能實現(xiàn)其作為教學“指導(dǎo)者”“引導(dǎo)者”的價值，特別是不能給學生予以精準、有效的數(shù)學深度學習指導(dǎo)。有不少教師迷信于教學的“大容量”“快節(jié)奏”，課前不注意對所教內(nèi)容進行深度挖掘，課堂上教師講得多，學生收獲少。由于對所教的內(nèi)容缺少“長時間有深度的思考”，不少教師在許多稱之為“探究類”“問題解決類”的數(shù)學活動中并沒有能將相應(yīng)的數(shù)學教學活動形成聯(lián)結(jié)較為密切的結(jié)構(gòu)。

有許多教師為了趕教學進度，設(shè)計并使用了外觀較為精美的多媒體數(shù)學教學課件，由于這些課件主要用于定義、命題、數(shù)學題目與問題解答的呈現(xiàn)，所以很容易形成一些不正常的教學常態(tài)——表面上的課堂教學進度、效率得到了提升，但是學生對知識的理解不夠深入，實質(zhì)的收獲、效益不斷降低。

(二)學生的學缺少大概念整合、大問題探究的意識

在對某校初二年級學生的調(diào)研中，有近1/5的學生不能深入地理解所學數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)特征，不能建立所學內(nèi)容和數(shù)學素養(yǎng)之間的有意義連接，不能從整體上掌握所學數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)或脈絡(luò)，不能從思想、方法、聯(lián)結(jié)和應(yīng)用等不同層次對所學內(nèi)容進行更深入的分析和思考。在對某校初三年級學生的調(diào)研中，有近2/9的學生未能形成體現(xiàn)深刻性、廣闊性、批判性、靈活性、敏捷性、創(chuàng)新性和反思性的高階思維，未能形成數(shù)學學習內(nèi)在的興趣和積極性。就整體而言，所調(diào)研學校的學生還沒有能較好地達成數(shù)學課程標準中預(yù)設(shè)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標。

訪談表明，學生普遍存在著不能結(jié)合日常學習構(gòu)建單元數(shù)學知識中核心概念的現(xiàn)象。盡管有不少學生呈現(xiàn)了一定的問題意識，但普遍缺少大問題的意識。在某一單元學習結(jié)束之后，有1/3的學生不能及時進行所學數(shù)學知識的梳理整合。由于缺少啟發(fā)性數(shù)學問題的引領(lǐng)，加之數(shù)學課堂教學情境本身的單一，有許多學生雖然表面上學過了相關(guān)的數(shù)學知識，但是測試表明他們的學習無論過程還是結(jié)果都具有很大的惰性，許多屬于必備的知識與技能不達標，所學數(shù)學知識在新的數(shù)學情境中遷移應(yīng)用不暢。

(三)高觀點指導(dǎo)沒有實現(xiàn)預(yù)期的教學改革效果

為了解決現(xiàn)實中存在的問題，有一些被調(diào)研的學校曾積極倡導(dǎo)并踐行了“高觀點的數(shù)學教育教學指導(dǎo)”，取得了一定的教學效果，不過，教學改革成效離預(yù)期的理想狀態(tài)還有很大的差距。但這并不意味著當初開展“高觀點指導(dǎo)”教學實踐思路的不正確。許多學校在開展“高觀點指導(dǎo)”教學實踐研究時，曾組織過論證，也確認過“高觀點指導(dǎo)”教學的合理性，并明確提出了相關(guān)的理論基礎(chǔ)。比如，有學校教研組曾組織教師學習討論了F·克萊因《高觀點下的初等數(shù)學》的部分內(nèi)容，訪談中許多教師也能談?wù)摬⒄J可書中諸如“觀點越高事物就越顯得簡單”“認識數(shù)學思想對于自然科學及現(xiàn)代文化的重大意義”等觀點[1]。那么，為什么有許多學校在落實“高觀點指導(dǎo)數(shù)學教育教學”時并未能取得預(yù)期理想的效果呢？一個可能的原因是，教師對于高觀點指導(dǎo)教學理論的“信奉”與高觀點指導(dǎo)教學理論的“實踐”有著很大的差距。例如，有一些學校的教師坦言，高觀點并非是一種顯性的存在，學校要求自己“高屋建瓴地審視數(shù)學教材”“找到相關(guān)內(nèi)容背后深刻的數(shù)學觀念”“揭示所教內(nèi)容與特定領(lǐng)域現(xiàn)代數(shù)學內(nèi)容之間的一致性、和諧性”實在做不到。有一些學校的數(shù)學教師認為“說說可以，能不能做是另一回事”。有一些學校的教師認為應(yīng)當注意F·克萊因《高觀點下的初等數(shù)學》一書中諸如“學校里的講授應(yīng)當顧及學生的心理，不應(yīng)只講究系統(tǒng)”等觀點[2]，不能片面理解“高觀點指導(dǎo)教學”。有一些學校的教師認為，即使學校開設(shè)過“高觀點指導(dǎo)中小學數(shù)學教學”的講座，大多數(shù)教師仍難以掌握專家口中所說的高觀點、大觀念、大問題、大單元。

有一些學校雖然重視了“高觀點指導(dǎo)數(shù)學教學”，但是在具體的數(shù)學教學實踐中卻把“原本非常有意義的高觀點指導(dǎo)”異化為“知識超前性的學習”“知識超綱性的學習”“課程教學內(nèi)容修補式的調(diào)整”，并因此導(dǎo)致了數(shù)學課堂教學中非常現(xiàn)實的“不恰當”“負遷移”等行為。也有一些學校請校內(nèi)外的專家對數(shù)學教師用高觀點指導(dǎo)的課堂教學進行了把關(guān)，但是由于相關(guān)專家的“力道不夠”“理實分離”、相關(guān)干預(yù)沒有“對癥施策”，特別是沒能找到導(dǎo)致高觀點指導(dǎo)教學“效果不佳”“方法不恰當”“負遷移”的真正原因，所以專家的教學介入也沒有能真正有效地激發(fā)學生或教師在高觀點指導(dǎo)數(shù)學教學活動中應(yīng)有的主體性。從總體上看，許多學校由專家介入形成的一些教學指導(dǎo)、課堂干預(yù)顯得非常被動或者無力。比如，有的專家只是在課程教學實施之前給一些準備參加教學比賽或上示范課、觀摩課的教師提供一些感性的建議，打一些聽起來“似乎很合理且面面俱到”的“預(yù)防針”，提醒教師哪些內(nèi)容“不應(yīng)講”“需要略講”，有的專家只是當參加教改實驗的教師產(chǎn)生了顯著不良的教學效果后才進行正式的教學指導(dǎo)或干預(yù)，介入的目的主要是對有問題的老師進行必要的“糾偏”“補救”。

二、大概念、大問題教學運用的理性審視

用高觀點指導(dǎo)中小學雖然有很好的教學價值，但是由于沒有將教師高深的數(shù)學知識與教學用的數(shù)學知識進行教學法的對接，知識的學術(shù)形態(tài)未能有效地向知識的教學形態(tài)轉(zhuǎn)換，所以在實踐中很容易形成進退兩難的困境。如何改變呢？一個可行做法是借鑒“高觀點指導(dǎo)”的教學思想，在數(shù)學概念、數(shù)學問題的引入、分析上下功夫。事實上，在數(shù)學教學活動中如果“抓不住關(guān)鍵思想以及不能將大概念與相關(guān)內(nèi)容知識‘聯(lián)系起來’，留給我們的就只是一些零碎的、無用的知識，不能起到任何作用”[3]，只有抓住數(shù)學活動中的大概念、大問題，“高觀點指導(dǎo)”才能接到數(shù)學課堂的“地氣”，數(shù)學課堂的教與學才可能改變結(jié)構(gòu)上的“碎片化”、難度上的“隨意化”、手段上的“無效化”，并因此取得真正的高品質(zhì)數(shù)學教育和學生的持續(xù)進步。

(一)應(yīng)重視大概念的教學運用

之所以強調(diào)大概念的教學運用，是因為大概念是將許多數(shù)學知識聯(lián)系為一個整體的核心。例如，由于函數(shù)是“從一些其他的量經(jīng)過一系列代數(shù)運算而得到的，或者經(jīng)過任何其他想象到的運算而得到的”[4]，能具體、生動地反映了現(xiàn)實或理念世界中量的變化動態(tài)，表示變化著量與量之間的相依關(guān)系，所以函數(shù)會具有不同于一般數(shù)學概念的特征，即它作為一種數(shù)學關(guān)系或者數(shù)學模型，具有很強的包容性、概括性，能將許多數(shù)學知識聯(lián)結(jié)為一個整體。就初中的數(shù)學教學而言，函數(shù)可很好地聯(lián)結(jié)著代數(shù)式、方程、不等式等數(shù)學知識，在教學中要避免從形式上掌握函數(shù)的概念或者形式化地講解一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等具體的函數(shù)(包括它們的圖像和性質(zhì))，而是從“函數(shù)”這一大概念、大主題的視角分析分散于不同年級、不同單元、不同課時的教學內(nèi)容，引導(dǎo)學生用聯(lián)系和發(fā)展的眼光考察特定的數(shù)學對象，探究并理解包含于相關(guān)的變化規(guī)律以及蘊含于其中的對應(yīng)關(guān)系，弄清函數(shù)概念背后的“思想”“方法”“模型”，用“函數(shù)思想”“函數(shù)模型”等觀念統(tǒng)攝與“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中相關(guān)的數(shù)學知識，幫助學生將所學的數(shù)學知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。

在數(shù)學教學中，大概念處于上位、中心、深層的位置，是“少而重要”“強而有力”“可普遍遷移”的數(shù)學知識或數(shù)學觀念。合理利用大概念可以促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。以初一上學期的數(shù)學教學為例，代數(shù)式不僅構(gòu)成了“函數(shù)”“方程”等大概念的基礎(chǔ)，而且本身構(gòu)成了初一數(shù)學學習中一個關(guān)鍵性的數(shù)學概念。這是因為，代數(shù)式內(nèi)容的學習不僅關(guān)涉學生符號意識的建立以及數(shù)學思維上由算式到代數(shù)的過渡，而且關(guān)涉學生數(shù)學表達、數(shù)學思考和后續(xù)數(shù)學學習基礎(chǔ)的夯實。為了揭示“代數(shù)式”這一大概念的內(nèi)涵以及與其相關(guān)的概念及性質(zhì)，數(shù)學教學中要借助現(xiàn)實情境引導(dǎo)學生了解代數(shù)式，引導(dǎo)學生借助觀察、類比、歸納、抽象等方法尋探代數(shù)式的意義，結(jié)合具體問題中簡單數(shù)量關(guān)系的分析，學會用代數(shù)式進行表示，通過列代數(shù)式、對代數(shù)式進行變形、轉(zhuǎn)化、求值等活動幫助學生構(gòu)建基于“代數(shù)式”大概念的數(shù)學思維，建立整式、分式、根式、合并同類項、因式分解等概念與代數(shù)式的關(guān)系，并因此更深入地理解數(shù)與量之間、量與量之間、式與式之間的關(guān)系。

對學生而言，經(jīng)由數(shù)學課堂教學會獲得一定的知識或信息，將它們組織成概念性的框架有利于在更大范圍內(nèi)實現(xiàn)特定主題知識學習的遷移，基于大概念進行數(shù)學教學的組織可以讓學生更好地聚焦所學習的數(shù)學知識，發(fā)揮大概念在數(shù)學認知中的核心統(tǒng)帥作用。仍以初中代數(shù)式為例，由于代數(shù)式不僅是一種把未知當成已知的符號化數(shù)學活動，而且是利用這種符號化活動進行未知數(shù)求解的數(shù)學方法，所以在小學階段學過的結(jié)合律、交換律和分配律等與數(shù)的運算律有關(guān)的規(guī)則都可以遷移到代數(shù)式的學習中，并因此建構(gòu)基于“代數(shù)式”這一新對象、新情境的數(shù)學運算律，對后續(xù)學習產(chǎn)生“知識拓展”“結(jié)論運用”“代數(shù)推理”等多方面的積極影響。

對數(shù)學教師而言，大概念不僅有利于教師把握并因此突出數(shù)學課程與教學在內(nèi)容維度的“重點”，而且有利于教師關(guān)注數(shù)學教學內(nèi)容內(nèi)部的“連貫性”和培養(yǎng)學習對象思維上的“嚴謹性”。比如，盡管廣大初中數(shù)學教師能認識到函數(shù)的內(nèi)容貫穿于整個中小學的數(shù)學教學，在初中引導(dǎo)學生學好函數(shù)這一大概念，可以更連貫性、更嚴謹?shù)乩斫庵行W的數(shù)學內(nèi)容，但是，函數(shù)教學價值的存在性并不能自動轉(zhuǎn)化函數(shù)教學實踐的有效性。由于函數(shù)這一大概念的學習離不開變量這一基本概念的理解，并且變量這一概念又是一個具有辯證性的概念，所以為了有效實現(xiàn)函數(shù)教學預(yù)設(shè)的目標，就應(yīng)當自覺地關(guān)注學生數(shù)學思維的辯證性水平。

重視大概念在數(shù)學教學中的運用是國內(nèi)外數(shù)學課程與教學改革的一個重要趨勢。美國《學校數(shù)學原則和標準》(NCTM，2000)曾強調(diào)“教師要能夠理解數(shù)學學科大概念，并能將數(shù)學表示為一個連貫而相互聯(lián)系的整體”[5]。我國2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》(以下簡稱課標)指出：“為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學目標，不僅要整體把握教學內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)。”“在教學中要重視對教學內(nèi)容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系。”“強化對數(shù)學本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學概念的現(xiàn)實背景，引導(dǎo)學生從數(shù)學概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)。”“探索大單元教學，積極開展跨學科的主題式學習和項目式學習等綜合性教學活動。”[6]根據(jù)課標，大概念是將核心素養(yǎng)目標具化為課堂教學目標的重要抓手，數(shù)學教師不僅要學會提取出特定內(nèi)容中的核心概念，而且要學會建立不同核心概念之間的聯(lián)系，形成大觀念，基于大觀念提出引導(dǎo)性的數(shù)學問題，設(shè)計具有思維挑戰(zhàn)性的數(shù)學認知任務(wù)，引導(dǎo)學生在任務(wù)探究中學會更有效地建構(gòu)數(shù)學知識、更深入地理解數(shù)學知識、更具創(chuàng)造性運用數(shù)學知識。

(二)應(yīng)重視大問題的教學運用

就問題對于數(shù)學學科的認識論意義、方法論意義和價值論意義而言，大數(shù)學家希爾伯特曾經(jīng)指出“一門學科如果能不斷提出問題，那它就充滿活力”[7]，對于數(shù)學學科而言，問題是促使數(shù)學作為學科深入發(fā)展的原動力，是數(shù)學的心臟，是呈現(xiàn)數(shù)學思想、數(shù)學方法等數(shù)學大概念的最好載體。

就問題對于教學的價值而言，由于數(shù)學課堂教學本質(zhì)上也是一個發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的數(shù)學活動過程，所以問題對于數(shù)學教學具有內(nèi)在的教育教學價值，它不僅培養(yǎng)并強化了學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的意識和能力，而且通過相關(guān)意識和能力的培養(yǎng)，強化了學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學推理，發(fā)展了學生的幾何直觀、空間觀念、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，這事實上也就達到了學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標。由于學生對于數(shù)學問題進行求解的過程也是建立相關(guān)數(shù)學概念、數(shù)學命題或者運用、檢驗所學知識的過程，所以通過數(shù)學問題可以辨別、發(fā)現(xiàn)更為一般性的數(shù)學知識，揭示相關(guān)數(shù)學對象外部的特征或數(shù)學活動內(nèi)部的規(guī)律，這在本質(zhì)上就有利于數(shù)學大概念的提煉、發(fā)展與運用。

之所以強調(diào)大問題對數(shù)學課堂教學的引領(lǐng)作用，另一個非常重要的原因是大問題本身的特殊性并因此產(chǎn)生認識論、方法論和價值論的意義。盡管問題對數(shù)學學科與數(shù)學教學都具有十分重要的認識論意義、方法論意義和價值論意義，但是封閉、細小或碎片化的一般問題對整體的數(shù)學認知來說又具有十分明顯的局限性。相對于數(shù)學活動中問題真?zhèn)蔚呐袆e，探索者在數(shù)學活動中很容易迷失對于問題本質(zhì)、要點或根本的分析，常會因拘泥于細節(jié)和單個的結(jié)點而導(dǎo)致數(shù)學活動中的“見樹木不見森林”，探究者缺少數(shù)學探究、數(shù)學發(fā)現(xiàn)應(yīng)有的格局，學習效果不理想。事實上，許多學習主體經(jīng)由數(shù)學問題解決的學習常常滿足于具體結(jié)論的獲得或者停留于表面的操作性程序，而非由“程序”向“觀念”提升以及由“表層性觀念”向“結(jié)構(gòu)性觀念”躍變。類似的情況反映到數(shù)學教學活動中就形成了數(shù)學問題解決教學的局限性，即相關(guān)的問題對于學生數(shù)學深度學習的影響不夠，特別是不利于學生對于相關(guān)數(shù)學主題、序列或數(shù)學化過程中大概念的建立，有些教師對學生數(shù)學概念的建構(gòu)雖然提出了許多問題，但是問題對于整體性和有深度的數(shù)學學習而言卻不是一種恰當，尤其是不能成為有較高教學思維價值的“引領(lǐng)性問題”。

較之于一般的問題，數(shù)學課程教學中的大問題有著自身的內(nèi)涵。一方面，這種問題通常超越了單一性的課時學習或局部性的數(shù)學認知，是在更大范圍進行教學內(nèi)容分析、知識序列梳理、大概念聚焦和數(shù)學思考拓展的結(jié)果，是有其自身特質(zhì)的真問題。另一方面，這種問題更多的是有著或線性化、或網(wǎng)絡(luò)化、或?qū)哟涡缘汝P(guān)系的結(jié)構(gòu)問題，不僅具有整體的挑戰(zhàn)性和系統(tǒng)的啟思性，與特定的知識單元具有自然的契合性，與特定的知識序列或數(shù)學大概念具有緊密的關(guān)聯(lián)性，統(tǒng)領(lǐng)著特定領(lǐng)域的數(shù)學教學內(nèi)容，而且能構(gòu)成學生數(shù)學思維展開的主線或數(shù)學活動探究的主題，更合理地揭示了特定數(shù)學知識的內(nèi)在本質(zhì)，更精準地指向了數(shù)學活動中核心素養(yǎng)的育人目標。

(三)在教學中要注意大概念、大問題的協(xié)同運用

數(shù)學教育教學的本質(zhì)既不是教師給學生傳授了多少具體的數(shù)學知識，也不是讓學生做了多少道數(shù)學題目，而是通過有效的引領(lǐng)、引導(dǎo)，讓學生探究或習得核心的數(shù)學概念、數(shù)學原理。根據(jù)荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾的現(xiàn)實數(shù)學教育主張，師生在數(shù)學學習活動中應(yīng)通過積極的“再創(chuàng)造”和深入的“反思”，揭示數(shù)學活動中的大概念和有價值的大問題，并因此彰顯數(shù)學教師有指導(dǎo)的數(shù)學教學法加工的價值。為了凸顯數(shù)學教育教學本質(zhì)，數(shù)學教育教學不僅離不開問題，而且離不開大問題以及大問題與大概念的協(xié)同運用。在數(shù)學教學活動中，沒有大問題就沒有更加系統(tǒng)、深入的數(shù)學思考、整體思維，也就沒有數(shù)學知識整體性的建構(gòu)與拓展。

為了構(gòu)建數(shù)學的大概念，數(shù)學教育教學需要重視大問題的引領(lǐng)。大問題與大概念如影隨形、相伴相生，數(shù)學教學中的大問題促使了數(shù)學教學中大概念的形成與發(fā)展，數(shù)學教學中的大概念錨定了數(shù)學教學中大問題的分析與求解。大問題與大概念在數(shù)學知識建構(gòu)、數(shù)學實踐拓展的活動中兩者互為機制，構(gòu)成了數(shù)學教育教學中核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要價值取向和具體目標落實的關(guān)鍵機制。究其根本，大問題與大概念內(nèi)在的整合性、貫通性、建構(gòu)性、統(tǒng)攝力、組織力、遷移力與當下核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標與要求具有較好的適應(yīng)性和匹配度。以大問題、大概念為引領(lǐng)的數(shù)學教學不僅突出了數(shù)學教學的知識序列、關(guān)鍵主題，而且驅(qū)動了學習者對于數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)化思考，驅(qū)動了數(shù)學教學活動的組織者、主導(dǎo)者更理性地確定數(shù)學教學的主線、脈絡(luò)，有利于學與教的主體能結(jié)合特定的數(shù)學教學主題更精準地確定以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學目標、教學內(nèi)容。

三、教學中協(xié)同運用大問題、大概念的建議

(一)明晰大概念對應(yīng)的大問題及問題求解的過程性要求

以“三角形全等判定”的教學為例，為幫助學生形成“三角形全等判定”大概念，教師需引導(dǎo)學生思考“全等判定”及其對應(yīng)的大問題，然后再具體地思考“三角形全等判定”所對應(yīng)的數(shù)學問題，結(jié)合學生關(guān)于“全等判定”的數(shù)學現(xiàn)實形成要探究的數(shù)學問題。把問題簡單化，可結(jié)合生活中的實際思考如何“制作兩面形狀相同與大小一致的三角形錦旗”“配制兩塊形狀相同與大小一致的三角形玻璃”？深入到數(shù)學化的條件，需進一步思考，根據(jù)一個對應(yīng)邊或一個對應(yīng)角的條件能不能判斷？根據(jù)兩個對應(yīng)邊或兩個對應(yīng)角的條件能不能判斷？是不是一定需要三個對應(yīng)的條件才能判斷？在什么情況下有兩個條件就可以判斷？

從“三角形全等判定”的教學案例中可發(fā)現(xiàn)，為了在數(shù)學教學中實現(xiàn)大問題與大概念的協(xié)同運用，教師需在提煉數(shù)學大概念的基礎(chǔ)上，聚焦大概念對應(yīng)的大問題，并將目標問題進行必要的細化分解。從教學設(shè)計的角度分析，只有真正弄清楚了大概念對應(yīng)的大問題，才能思考如何創(chuàng)設(shè)更加合適、更加有效的問題情境，才能以問題求解為目標導(dǎo)向設(shè)計一系列有深度的數(shù)學思維活動，才能將大問題與大概念的協(xié)同運用有效落實到特定主題的教學活動設(shè)計與課堂教學展開之中。

(二)協(xié)同運用大問題、大概念需強化真問題的意識

與數(shù)學大概念相對應(yīng)的數(shù)學大問題是教學形態(tài)的真問題而非教學形態(tài)的偽問題。所謂教學形態(tài)的真問題，是指能促使學生在數(shù)學活動中大概念得以建構(gòu)、顯化或數(shù)學命題得以進入探究視野、被發(fā)現(xiàn)的問題，是對于數(shù)學教學活動具有啟動、引導(dǎo)和維持的原始問題。與此相對，教學形態(tài)的偽問題是指對學生而言沒有數(shù)學概念建構(gòu)意義、數(shù)學思維發(fā)展價值、脫離常識或者歪曲地反映了數(shù)學實踐活動的問題。

有教師為了引入“變化率”這一數(shù)學概念，在教學中創(chuàng)設(shè)了與“氣球膨脹”相關(guān)的問題：某人向氣球中吹氣時發(fā)現(xiàn)氣球在慢慢地膨脹著，試探求氣球的半徑增加一定的量后，氣球的體積會相應(yīng)地增加多少。從教學角度來審視，這一問題就屬于一個偽問題。一方面，氣球是一個非標準的球，其體積計算本身是一個比較復(fù)雜的數(shù)學問題；另一方面，在現(xiàn)實生活中很難有人在吹氣球時關(guān)心氣球體積精準性的量變。

數(shù)學教學中強化學生真問題的意識既不意味著問題僅僅由教師提出，也不意味著問題僅僅由學生提出，而是強調(diào)師生基于大概念的問題互動。為此，既需鼓勵學生基于深刻的數(shù)學理解和實踐反思進行有效的提問，又要重視教師對于學生所提問題的引導(dǎo)、啟發(fā)，重視“學生問題提出、問題探究”與“教師問題引領(lǐng)、概念聚焦”之間的互動與平衡，注意以大問題提煉、大概念聚焦為導(dǎo)向進行教法學法的選擇、思維過程的暴露、認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和知識本質(zhì)的透視。

(三)協(xié)同運用大問題、大概念需發(fā)揮不同類別問題的作用

對此，不僅要發(fā)揮本原性大問題的作用，而且也要發(fā)揮派生性大問題的作用。所謂本原性大問題是指促使包括數(shù)學大概念在內(nèi)的不同層次數(shù)學知識得到創(chuàng)建、演變、復(fù)合、重組、轉(zhuǎn)化、衍生、拓展、群落化、體系化的根源性數(shù)學問題。所謂派生性大問題是指由已經(jīng)知道或被明確提出的數(shù)學問題根據(jù)邏輯演繹、推理或自然導(dǎo)出產(chǎn)生的問題。

在初中“統(tǒng)計調(diào)查”這一主題的教學中，與學生有關(guān)的運動項目以及運動成績的數(shù)據(jù)就可設(shè)計為統(tǒng)計調(diào)查活動中的本原性真問題。通過研究與學生運動有關(guān)的數(shù)據(jù)，學生不僅可評價當前中小學學生的健康狀況，而且可為相關(guān)比賽中參賽選手的選拔提升決策依據(jù)。在此基礎(chǔ)上，師生可進一步派生出“如何進行既科學又高效的調(diào)查?”“如何設(shè)計有價值的調(diào)查問卷?”“開展相關(guān)調(diào)查最關(guān)鍵的因素是什么？”“調(diào)查多少個對象比較合適?”“如何保證抽樣中具有相等的可能性?”“如何結(jié)合所設(shè)計的調(diào)查方案，從數(shù)學角度界定調(diào)查中所涉及的對象？”“如何給自己確認的調(diào)查方法進行數(shù)學化的界定?”等問題。前后聯(lián)系起來看，這些本原性或派生性的問題不僅具有整體性，而且具有連續(xù)性，學生通過這些問題可有效探析抽樣調(diào)查、全面調(diào)查等數(shù)學方法以及不同方法之間的邏輯關(guān)系，教師通過這些真問題可驅(qū)動學生體會諸如“數(shù)據(jù)收集與分析”“總體與樣本”“抽樣與隨機性”等數(shù)學思想方法。

再以微積分的教學為例進行說明。在數(shù)學史上，緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼歐幾里德(Euclid)幾何之后，全部數(shù)學中的一個最大的創(chuàng)造[8]，微積分作為一個數(shù)學大概念不僅是以數(shù)學化的方式對連續(xù)變化進行深刻理解的重要工具，而且也是在理解與掌握了“無窮”這一數(shù)學知識之后創(chuàng)建的一套計算方法。如何才能讓學生經(jīng)由數(shù)學課堂教學活動深刻地理解并掌握微積分這一大概念呢？教師在教學法加工過程中需要關(guān)注微積分作為一個“創(chuàng)造”的哪些內(nèi)容呢？相應(yīng)的創(chuàng)造有哪些必要的形成過程？歷史上那些偉大的數(shù)學家在相關(guān)數(shù)學活動中思考并希望得到解決的基本問題是什么？順著這一思路，就不難看到微積分與如下4個基本問題緊密相關(guān)，即：怎樣求曲線的切線？怎樣計算“直線x=a，x=b，y=0，以及曲線y=f(x)所圍曲面圖形”的面積？如何計算物體在某個位置上的速度、加速度？如何找出最優(yōu)解——函數(shù)的最大值或最小值問題？正是這些問題構(gòu)成了微積分這一數(shù)學大概念產(chǎn)生的本原性數(shù)學大問題。

派生性大問題對于學生“微積分”大概念的建立也有著重要的作用。歷史上，阿基米德(Archimedes)“逼近法”算出了球的表面積、球的體積以及拋物線、橢圓的面積。但是，人們在當時能夠真正精準計算出面積的曲邊圖形并不多。由此，在形成“微積分”“不定積分”“定積分”等本原性數(shù)學問題之后，“如何計算一個具體函數(shù)的定積分”就成為一個“曲邊圖形面積計算”緊密相關(guān)的派生性問題。這一問題將人們的算法思維由特殊曲邊圖形面積的求解擴展到了一般曲邊圖形面積的求解。那么，面積的求解是否已經(jīng)完全解決了呢？顯然不是。這是因為，盡管從理論說是可以借助定積分這一概念進行所給曲邊圖形面積的求解，不過在實際進行的定積分計算通常較煩瑣，問題求解者會遇到許多難以克服的困難。由此，也導(dǎo)致了學習者對不定積分概念產(chǎn)生再審視的要求，把問題求解者的思維導(dǎo)向定積分與被積函數(shù)原函數(shù)或者不定積分之間聯(lián)系的討論。后者的一個重要貢獻就是導(dǎo)致了微積分基本定理即牛頓-萊布尼茲公式的出現(xiàn)。

(四)協(xié)同運用大問題、大概念重在協(xié)同的基礎(chǔ)上突出運用

大問題、大概念在數(shù)學課堂教學中的協(xié)同是指圍繞核心素養(yǎng)育人目標落實，用大概念驅(qū)動大問題，讓大問題成為構(gòu)架大概念與關(guān)鍵概念相互聯(lián)系的橋梁，將抽象性、啟思性、統(tǒng)攝性的大問題轉(zhuǎn)化為具有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的數(shù)學活動問題鏈，通過大問題引發(fā)關(guān)鍵概念學習[9]，強調(diào)師生在數(shù)學活動中的相互協(xié)作以及大概念與大問題的相互配合，并由此實現(xiàn)大概念、大問題在數(shù)學課堂教學運用中的合目的性與合規(guī)律性。大問題、大概念在協(xié)同基礎(chǔ)上的運用是指通過合理、有效的運用，強化數(shù)學課堂教學活動中問題與概念的互動與協(xié)進，促進思維與知識之間的聯(lián)結(jié)與整合。大問題、大概念在協(xié)同基礎(chǔ)上的運用既是為了加深學生對于大問題與大概念本身的理解與運用，也是為了檢驗學生基于大問題與大概念所建構(gòu)數(shù)學知識的掌握程度和所建構(gòu)數(shù)學能力的遷移水平。

以初中函數(shù)知識學習中大問題與大概念的協(xié)同運用為例，在初一時，教師要引導(dǎo)學生直觀地認識、分析變量的概念，根據(jù)函數(shù)圖像分析出實際問題中變量的信息，基于變量的概念獲得變量依存關(guān)系的感性認識，發(fā)現(xiàn)變量之間的變化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上歸納、概括出了函數(shù)定義。在初二時，教師要引導(dǎo)學生對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行初步探究，結(jié)合函數(shù)圖像分析簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系，初步推測相關(guān)變量的變化趨勢，初步掌握函數(shù)研究的一些基本方法。在初三時，教師要引導(dǎo)學生根據(jù)圖像對一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及其交點問題進行討論，強調(diào)研究交點的實際意義，同時將所學函數(shù)知識運用到幾何圖形變換、相似分析、最值求解等問題。在這一系列的數(shù)學活動過程中，學生不僅在概念、圖像、性質(zhì)等方面對函數(shù)數(shù)學知識進行了建構(gòu)，根據(jù)函數(shù)圖像對一次函數(shù)和二元一次方程之間關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程之間關(guān)系進行了解釋，利用二次函數(shù)圖像對一元二次方程近似解進行了探求，而且借助于所建構(gòu)的函數(shù)知識和函數(shù)觀念解決了一些簡單的實際問題，增強了函數(shù)思想與方法的應(yīng)用意識。為進一步突出函數(shù)的應(yīng)用，在后續(xù)的學習中可進一步引導(dǎo)學生通過函數(shù)圖像獲取并分析信息，用函數(shù)觀點研究與方程、不等式等有關(guān)的大概念、大問題，運用函數(shù)性質(zhì)解決一些具有綜合性或跨學科的問題，從中進一步拓展函數(shù)大概念的應(yīng)用，建構(gòu)用函數(shù)思想解決不同類別數(shù)學問題的具體方法或策略。▲