初應力對壓電薄膜體聲波諧振器厚度拉伸模態諧振特性的影響

黃德進，王 驥，羅昕逸

(寧波大學 機械工程和力學學院，寧波 315211)

在通訊、導航、計算機技術和醫療設備等電子行業中，諧振器是不可或缺的頻率器件。最近十幾年發展起來的壓電薄膜體聲波諧振器(FBAR)［1-3］具有傳統的陶瓷介質諧振器和聲表面波諧振器的優點，同時又克服兩者的缺點，其工作頻率高(600MHz～20GHz)、溫度系數小、容量大、體積小和成本低。更重要的是，FBAR可以制作在陶瓷、硅片等基體上。其制作工藝能與半導體工藝兼容，是可以和射頻集成電路(RFIC)或單片微波集成電路(MMIC)集成的諧振器［4-5］。符合現代電子器件發展的方向，具有廣闊的發展前途。

FBAR是一種具有電極層、壓電層和支撐層等組成的層合結構。在器件制作過程中，由于多層結構中相鄰層材料的力學和熱學性能之間的差異，結構中會不可避免地產生初應力;另外，對于PZT陶瓷等脆性薄膜，為了防止其脆性斷裂往往要人為地使薄膜中存在預壓應力。在薄膜體聲波器件設計和優化中，常采用Mason模型和BVD模型效電路法，也采用解析法來研究［6-11］。迄今為止，還未見FBAR諧振特性受初始應力影響的研究工作報道。本文研究了初應力對理想FBAR在厚度拉伸模態下諧振特性的影響，討論了串聯和并聯諧振頻率、帶寬、機電耦合系數等重要參數與初應力之間的關系。并給出了數值算例。

1 基本方程和問題的解

本文研究的理想FBAR由一層壓電薄膜夾于兩層極薄的導體之間，導體的厚度、質量和剛度均可以忽略不計，并設壓電層中的初應力為常數。FBAR的厚度尺寸為2b，遠小于長度l和寬度w，因此可以作為厚度方向的一維問題來處理。FBAR的幾何尺寸和坐標系如圖1所示。

含初應力的壓電彈性體三維運動方程［12］和電荷方程分別為:

圖1 FBAR的幾何尺寸和坐標系Fig.1 The FBAR geometry and coordinate system

式中:Tij、ui、Di分別為應力、位移和電位移，表示初應力，ρ是密度，是位移對時間t的二階導數，i，j，k=1，2，3。應變Sij和位移關系以及電場強度Ei與電勢φ之間的關系分別為，

壓電材料的本構關系采用第四類壓電方程:

在厚度拉伸模態下，假設位移為:

式中:u(x3)為待定的表達式。這樣應變為:

這樣，FBAR的本構方程、運動方程和電荷方程分別簡化為:

將式(6)代入式(8)，并利用式(2)1和(9)，可得:

式中:A、B為待定常數，ξ為波數:

FBAR諧振時，由式(9)可得:

式中:D為常數。將式(11)、(13)代入(3)1，并注意到式(5)2，可得:

在諧振器質心處，x3=0，u=0，代入式(11)可得B=0。FBAR上下表面為自由，其邊界條件為:

將式(14)代入(15)，可得:

將式(16)和B=0代入式(11)可得位移，由式(7)可得電場強度:

式中:S為電極的面積。這樣FBAR厚度拉伸振動時的電阻抗可由式(18)和(19)得到:

再利用式(12)，可得:

當阻抗為零時，此時的諧振頻率為串聯諧振頻率fs。由式(20)可知:

由式(23)可解得串聯諧振頻率fs。串聯諧振頻率與并聯諧振頻率之差為諧振器的帶寬。帶寬可以用下式近似來計算:

FBAR的有效機電耦合系數［13］為:

2 數值算例和討論

圖2 不同初應力下的FBAR阻抗特性Fig.2 The impedance characteristics of FBAR under different initial stresses

圖2是理想FBAR的阻抗幅值、相位特性與初應力的關系圖。可以看出，無初始應力時，其基波串聯諧振頻率為2.768 GHz，基波并聯諧振頻率為 2.839 GHz，帶寬為69.2 MHz，有效機電耦合系數為0.058 7。隨著初應力的增加，串聯諧振頻率和并聯諧振頻率也會提高。諧振頻率與初應力的關系可以進一步由圖3給出。由式(22)可知，并聯諧振-初應力曲線為拋物線，但曲線弧度不大，可用直線近似代替:

式中:fp0為初應力為零時的并聯諧振頻率。帶寬與初應力之間的關系由圖4給出。也是隨著初應力的增加，帶寬越來越大，也近似線性關系。圖5為有效機電耦合系數隨初應力的變化。有效機電耦合系數基本保持一個常數，與初應力的變化沒有什么關系。

3 結論

本文研究了含初應力的理想壓電薄膜體聲波諧振的振動，給出了阻抗的表達式，討論了串聯諧振頻率、并聯諧振頻率與初應力之間的關系，也討論了初應力對帶寬和有效機電耦合系數影響。通過推導發現，在各初應力分量中，只有拉伸應力分量會對FBAR厚度拉伸模態的諧振產生影響，其它分量不起作用。給出的數值算例表明，初應力會提高諧振頻率和帶寬，初應力與頻率、帶寬的關系可近似為線性關系。初應力對機電耦合系數基本沒有影響。

圖3 FBAR諧振頻率與初應力之間的關系Fig.3 The relationship between frequency and initial stress

圖4 FBAR帶寬與初應力之間的關系Fig.4 The relationship between bandwidth and initial stress

圖5 有效機電耦合系數與初應力之間的關系Fig.5 The relationship between effective electro-mechanical coupling coefficientand initial stress

［1］ Lakin K M，Wang J S.Acoustic bulk wave composite resonators［J］.Applied Physics Letters 1981，39(3):125-128.

［2］ Krishnaswamy S V，Rosenbaum J，Horwitz S，et al.Film bulk acoustic wave resonator technology［C］.IEEE Ultrason Symposium，1990，1(1):529-536.

［3］ Lakin K M.A review of thin-film resonator technology［J］.IEEE Microwave Magazine，2003，4(4):333-336.

［4］ Bradley P，Ruby R，Larson J D，et al.A film bulk acoustic resonator(FBAR)duplexer for USPCS handset applications［J］.Microwave Symposium Digest，2001，1(1):367-370.

［5］Aigner R.High performance RF-filters suitable for above IC integration:film bulk-acoustic-resonators(FBAR)on silicon［C］.IEEE Custom Integrated Circuits Confrence，2003，1(1):141-146.

［6］Huang，D J，Wang J，Du J K.The analysis of high frequency vibrations of layered anisotropic plates for FBAR application［C］. 2008 IEEE International Frequency Control Symposium，2008:204-208.

［7］Wang J，Liu J S，Du J K，et al.The calculation of electrical parameters offilm bulk acoustic wave resonatorsfrom vibrations of layered piezoelectric structures［C］.Proceedings of the 2009 IEEE International Ultrasonics Symposium，2009:2027-2030.

［8］Wang J，Liu J S，Du J K，et al.The analysis of film acoustic wave resonators with the consideration of film piezoelectric properties［C］.2nd International Conference on Smart Materials and Nanotechnology in Engineering，2009:388-391.

［9］ Wang J，Liu J S，Du J K，et al.The calculation of quality factor of film bulk acoustic resonators with the consideration of viscosity［C］.Proceedings of the Joint Conference of the 2009 Symposium on Piezoelectricity，Acoustic Waves，and Device Applications and China Symposium on Frequency Control Technology，2009:370-375.

［10］ Huang D J，Wang J.Analysis of the vibration of film bulk acoustic wave resonators based on Mindlin plate theory［C］.Symposium on Piezoelectricity，Acoustic Waves，and Device Applications，2011:328-331.

［11］ Huang D J，Wang J.Vibration analysis of layered film bulk acoustic resonators based on Mindlin plate theory［C］.Symposium on Piezoelectricity，Acoustic Waves，and Device Applications，2010:485-478.

［12］ Biot M A.Mechanics of incremental deformations［M］.John Wiley ＆ Sons，Inc，New York，1964.

［13］ Lakin K M，Kline G R，McCarron K T.High-Q micromicrowave acoustic resonators and filters［J］. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，1993，41(12):2139-2146.