怎樣探究與旋轉有關的規律問題

朱超

將平面圖形繞著平面內的一個定點旋轉 一定的角度，叫做旋轉變換.以圖形為載體、 以旋轉為手段的規律探究題是將旋轉融入到 幾何圖形的推理和角度、面積等的計算中.它 通過給出與圖形有關的操作變化過程，要求 我們觀察、分析、推理，探究其中蘊含的規律. 這類問題考查了同學們的操作、想象與猜想 歸納能力.解題的關鍵是樹立動態觀念，抓住 旋轉過程中的不變量、不變關系，動中求靜解 答問題.

一、探究點的旋轉規律

在平面坐標系內，某一點繞原點旋轉前 后坐標的變化規律如下：點 A（a，b） 繞原點旋 轉 90°得點 A′的坐標是 （-b，a）；點 A（a，b） 繞原 點旋轉 180°得點 A′的坐標是 （-a，-b）. 有些題 目中點的旋轉角為 30°、60°、120°或 150°時， 就需要向坐標軸作垂線段，構造含有特殊角 的直角三角形，利用特殊角的邊角關系和勾 股定理求解.

例1

分析：

解：

說明：本題以點的旋轉為背景，要求同學 們探索平面內點的坐標的變化規律.解題的 關鍵是通過作圖，觀察分析旋轉方向與坐標 符號的對應關系，進而探究出相應的規律．

二、探究線段的旋轉規律

線段繞點旋轉問題是平面旋轉問題中的 基礎內容.解答這類問題的關鍵是抓住“線段 繞點旋轉后長度不變”這個性質，利用這個不 變性，可以求出相關線段的長度.在以線段的 旋轉為背景的探究題中，同學們要學會通過 觀察、計算，探究線段在多次旋轉過程中“不 變”及“變化”的規律，用發現的規律去進一步 解題.

例2

分析：從上圖中可以找出規律，弧長的圓 心角不變都是120°，變化的是半徑，而且第一 次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然 后按照弧長公式計算．

解：

說明：本題主要考查了同學們通過分析 特例歸納總結出一般結論的能力.對于找規 律的題目首先應找出哪些部分發生了變化， 是按照什么規律變化的.通過分析找到各部 分的變化規律后直接利用規律求解．

三、探究面的旋轉規律

三角形或多邊形繞點的平面旋轉實質上 是一個圖形的整體旋轉問題．解答這類題的 關鍵是抓住旋轉變換的兩個特征，即繞點旋 轉只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀 和大小.所以在解答此類問題時，要充分利用 旋轉前后的對應線段相等、對應角相等這些 重要條件，再綜合利用題目中的其他相關條 件，使問題獲解.

例 3 如圖 3，將一個正三角形繞其中心 最少旋轉60°，所得圖形與原圖的重疊部分是 正六邊形；如圖4，將一個正方形繞其中心最 少旋轉45°，所得圖形與原圖形的重疊部分是 正八邊形；依此規律，將一個正七邊形繞其中 心最少旋轉 °，所得圖形與原圖的重疊 部分是正多邊形．在圖 4 中，若正方形的邊 長為4，則所得正八邊形的面積為 ．

分析：

解：

說明：本題考查旋轉的性質：旋轉變化前 后，對應點到旋轉中心的距離相等以及每一 對對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相 等．要注意旋轉的三要素：①定點——旋轉 中心；②旋轉方向；③旋轉角度．