居高才能臨下深入方可淺出

【摘要】隨著課程改革的全面實施，近幾年高考真題更傾向于對學生能力的考查，出現了許多命題背景新穎、考查能力的“高觀點”試題，合理分析這些試題的來源，探尋試題背后隱含的高等數學知識，可為高中數學教學提供一些新的生長點. 本文就以2022年新高考Ⅰ卷第4題和第5題為例，淺談此類問題背后隱含的“高觀點”和“高觀點”下的教學對策.

【關鍵詞】數學高考；辛普森體積公式；歐拉乘積公式

1引言

“高觀點”是“高觀點下的初等數學”的簡稱. 關于“高觀點”思想，19世紀末20世紀初，德國著名數學家克萊因在其《高觀點下的初等數學》中闡述了“高觀點”下的中學數學的思想.“高觀點”是指站在高等數學的角度去分析和解決初等數學問題，避免現實中高等數學與高中數學的脫節，以實現數學教育“現代化”［1］. 它包含在高等數學知識的系統高度下教授高中數學的理念；用高等數學的思想和方法指導高中數學的行為；在高等數學的視角下分析解決高中數學某些困難問題的能力［2］.

初等數學是高等數學的基礎，高等數學是初等數學的延伸和拓展，這兩個領域聯系緊密而且有交叉和融合，這就說明用“高觀點”的數學的思想和方法指導高中數學教學具有可行性［3］.

2“高觀點”下的典例

真題展示1

注《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學學科核心素養的考查重要載體就是問題情景. 但正如何小亞教授所說，目前數學教學中存在著多真實世界的情境少數學世界的情境、為創設情境而創設情境的誤區. 2022年新高考Ⅰ卷第5題以數論中質數分布為情景，以歐拉乘積公式這個高等數學結論為載體，把最前沿的數學問題設置為更簡化的初等數學問題，知識點落實為古典概型的應用. 此題與數學前沿知識的初步聯結，為學生進一步學習做知識上的準備工作.

3 “高觀點”下教學的對策

作為一名高中數學教師，僅僅具備高中數學教材中的知識，那是遠遠不夠的. 即便是在現行高中數學教材中的知識內容范圍內，有些問題也需要“高觀點”的知識背景下來解釋，否則可能造成學生模糊不清，疑問重重. 在高中數學教學中，我們的根本目的在于發展學生的數學核心素養，目前高考數學已從“解題”轉向“解決問題”，“知識考查立意”轉向“能力考查立意”，“高觀點”試題為其實施扮演著舉足輕重的角色. 高等數學知識和初等數學如何相結合，“高觀點”下教學如何居高臨下地指導高中數學教學，有四條建議：

①用高等數學的知識去統一建立初等數學的結構體系. 掌握高等數學與初等數學的內在聯系，構建數學知識網絡，嘗試著用高等數學知識命制不脫離高中教學實際的“高觀點”試題.

②用高等數學的思想方法去總結初等數學的解題規律. 改變復習中的“題海戰術”，不過分追求解題的模式化、程式化和技巧化，不沉迷于題型、公式記憶，發展學生的解題能力，夯實學生的核心素養，實現以不變應萬變.

③用高等數學的理論對初等數學作新的推廣和發展. 在不脫離課程標準和教材的前提下，教師可以對重要的概念和知識的聯系上做必要的拓展. 教師站在高等數學的角度去教授，將會更有利于學生的領悟.

④“高觀點”的試題設計來源于高等數學的知識，但通性通法仍是高中所學的初等數學知識，不能誤導將高等數學引進高考，忽視對學生數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）的培養［4］.

從“高觀點”去解決初等數學的問題，不僅能夠更好地幫我們理解命題的意圖，同時也能夠更深刻地理解高等數學與初等數學知識間的關系，更有利于提升我們的思想高度以及切實解題的能力，真正實現“居高等數學之高”去臨“中學數學之下”［5］.

參考文獻

［1］張勁松.論高觀點下的初等數學及其在新課標中的體現［J］. 數學教學研究，2008（04）：2-5.

［2］胡炳生.現代數學觀點下的中學數學［M］. 北京：高等教育出版社，1981.

［3］周瑪莉，張勁松.高觀點的數學思想對中學數學教學的啟示［J］.中學數學月刊， 2014（03）：7-10.

［4］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020．

［5］李三平.高等數學觀點下的中學教學［M］. 上海：科學出版社，2019.

作者簡介李云鵬（1987—），男，山東濟寧人，碩士，中學一級教師；先后榮獲濰坊市教學成果一等獎、濟南市優秀班主任、濟南市優質課一等獎；研究方向為高中數學教育教學.