從課本“探究”欄目看探究情境的創設和使用

【摘要】現行高中課本教材中的“探究”欄目，大多出現在一些核心概念或命題教學的關鍵點處，通過比較、分析人教A版數學教科書必修第一冊“探究”欄目中的問題和情境，發現其常見的呈現方式有“自然生長”式、“類比研究”式、“操作驗證”式、“拋磚引玉”式、“拓展提升”式等多種形式.借鑒這些形式，根據教學實際靈活設計情境、問題、探究方式，對師生的課堂教與學有很大幫助.

【關鍵詞】探究欄目；數學情境；數學問題；呈現方式

課堂探究是學習者在課堂學習中，在情境問題引導下，通過自主探究、合作交流，解決問題的同時獲得知識或方法的一種學習方式.

現行人教A版普通高中數學教科書中，有“思考”“觀察”“探究”“閱讀與思考”等欄目，其中“探究”是呈現教學策略，實現教學目標的欄目［1］.“探究”一欄是針對重、難點知識，通過對知識獲得過程進行設計，幫助掌握知識或方法的一個欄目，其大多出現在課本一些核心概念或命題的教學中，所設置的探究情境和問題，呈現方式豐富多彩.

1“探究”欄目的分布與作用

數學探究活動表現為發現和提出問題、猜測數學結論、提出解決問題的思路和方案、論證數學結論［2］.課本“探究”欄目中的“探究”也具有上述的表現形式，不同的是受課堂教學的條件限制，表現出來的更多是一種“短探究”或“微探究”.

課本“探究”欄目在每小節內容的前面、中間、后面都有出現，我們把這三種情況稱為課堂中的課前探究、課中探究、課后探究.以“人教A版普通高中教科書·數學·必修第一冊”中“探究”欄目為例，全冊五章共43處（不含“探究與發現”），其中課前探究14處，課后探究6處，課中探究23處.從中我們會發現，這些探究欄目中的“探究”，主要以課中探究和課前探究為主，放在每節教學內容關鍵點處，其作用是導學和導研.具體地說，一方面在教學中可以起導課的作用，明確任務，激發學習興趣；另一方面其本身也是新知識的一部分，問題的解決過程就是新知識的掌握過程.課后探究放在課堂教學后部，多是知識或方法的拓展，有時甚至需要學生課后查閱資料完成.這些“探究”欄目的分布中，除7處與概念教學相關外，其余主要出現在命題教學中，多與定理、公式、法則、規律的獲得或使用有關.

語句表述上，多以疑問句為主，少數地方用到祈使句，語言簡潔，學習任務表述親切自然，易讓人對問題產生研究的欲望.

2 “探究”欄目中情境與問題呈現手法

2.1“自然生長”式

這一類型的“探究”是知識學習完后，自然產生或自然的延續.它與前面知識有著非常緊密的聯系，有著自然的慣性，甚至很多學生在前面知識學完后都會產生這樣的問題.

案例1（§5.1.2弧度制）探究角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間可以換算.如何換算？［3］173

本探究是在引入弧度制，講解完“弧度”的相關概念后進行的.弧度制的引入與學生原有認知中用角度來度量角產生認知沖突，自然會想：弧度制與角度制兩者之間有何聯系，兩者之間如何進行換算.所以這一探究的設置，顯得非常自然，是前面知識講解完后的自然延續.

這種“自然生長式”的課堂探究一方面是內容的自然，另一方面是出現方式的自然.如“對數”的概念講完后，自然探究對數的運算性質，“指數函數的圖象和性質”的學習中，第一個探究是通過畫出特殊的指數函數圖象了解性質，第二個探究是在第一個探究的基礎上，借助圖象，概括出一般的指數函數的性質，探究間有著很自然的邏輯聯系.

2.2“類比研究”式

不同種屬事物間由于某些條件、結構等的相似性，容易對某些性質產生關聯的猜想.

案例2（§3.2.2奇偶性）探究類比函數單調性，你能用符號語言精確地描述“函數圖象關于y軸對稱”這一特征嗎？［3］82

函數單調性與奇偶性的研究，從方法上是相似的，都是先通過圖象直觀感知，了解性質，然后通過特殊的函數，借助直觀感知的結論，抽象出一般化的概念.這一探究就是借助研究方法上的相似之處，讓學習者按著上一節的探究方法，類比聯想，由“點關于y軸對稱”的幾何特征去獲得相應的代數特征的表述.

用類比的方法研究問題，是數學常用的方法. 高中數學中，空間幾何體與平面幾何圖形的性質、復數與實數運算性質、向量與數的運算性質等，都有很強的關聯性，可以用類比的方法，產生探究的問題，借助問題引路，得到新的方法或結論.

2.3“操作驗證”式

這是一種為達到某個目標，在課堂教學中，創設相關的實踐操作情境，以情境中的問題或方法為指引方向，引導學生思考、操作、推理驗證，獲得或驗證結論的一種探究方式.

案例3（§3.3冪函數）探究觀察函數圖象并結合函數解析式，將你發現的結論寫在下表內.

這些函數圖象有公共點嗎？［3］90

課堂教學中，數學情境有多種，常見的有實物情境、游戲情境、故事情境、操作情境等.本例的探究，就是一種操作情境，通過實驗操作.獲得結論，這種方式常用在中學數學課堂命題教學中，它能夠讓學習者更加自覺主動參與課堂探究.

學生對函數y=x、y=x2、y=x－1圖象比較熟悉，獲得函數y=x3、y=x12的圖象有兩種方式，一種是教師的課前預設，另一種是讓學生在課堂中結合定義域和單調性，借助一些特殊點畫出圖象.通過畫出函數的圖象，結合定義域、值域、奇偶性在圖象中反映的數學特征，獲得探究的結果.這一探究其實有兩個過程，一個是畫圖象的過程，另一個是通過觀察圖象獲取性質的過程，這兩個過程，學生的學習是通過畫出函數圖象（動手操作）的基礎上完成的.

操作情境是數學探究中常用到的一種情境，對于一些抽象的問題，通過轉化為具體可操作的計算或實驗，調動學生的學習熱情，促進學生積極主動地參與到課堂學習中.設置操作情境是關注學生的過程性學習的一種體現，學生在課堂上動手操作，其作用是把知識結果的單純給予，分解為學生可接受、可實踐的探究，通過探究的過程獲得結論，實現知識的掌握.操作情境注重學生的過程性學習，因此，通過操作情境引導探究對提高學生的課堂學習效率有很大的幫助.

很多生活中的現實情境，因為從情境到問題往往需要較多的語言進行描述，所以一些命題性質的研究，現實生活情境反而不如操作情境更能讓學習者對所學知識理解更深刻.

2.4“拋磚引玉”式

這種形式多是條件清晰，目標明確，提供或明或暗的方法提示，在問題指引下的定向探究，完成探究的過程就是新知識的獲得過程.純數學問題更容易直達數學本質，數學課堂教學中，特別是一些數學內容多、難度大、知識面廣的課堂，經常用純數學問題引導探究.純數學知識情境大量出現在這種形式的探究之中，這種形式運用很靈活，有時是一個問題，有時是幾個平行或遞進的問題，出現的位置可以與前后知識有聯系，也可以與前面知識聯系不大.

案例4（§4.3.2對數的運算）探究（1）利用計算工具求ln2，ln3的近似值；

（2）根據對數的定義，你能利用ln2，ln3的值求log23的值嗎？

（3）根據對數的定義，你能用logca，logcb表示logab（a>0，且a≠1；b>0；且c≠1）嗎？［3］125

本例是在對數運算性質完成后進行的探究，意圖通過特殊到一般發現換底公式并嘗試獲得證明方法.本例問題（2）利用對數的定義實現常用對數到自然對數的轉化，是探究的關鍵.問題（2）到問題（3），是特殊與一般的關系，在問題（2）的方法啟發下解決問題（3）所設置的問題，搭設橋梁進行研究，獲得換底公式.

通過問題導學，學生在提示的問題（或方法）指引下，獲得探究設計所期望的結果，探究所設置的問題既是學習指引的方向，又是到達知識彼岸的階梯.這種問題導研式的探究欄目，在課本中出現很多，它沒有華麗的情境，但樸實的純數學問題題境讓探究更加數學化，更有數學味.

2.5“拓展提升”式

這是一種給定研究內容或方向，但不限制研究方法，結論開放的探究.這種類型探究出現位置多為本小節最后位置，可以課堂完成也可以課后完成，屬于課本內容的拓展，對提升學生數學素養有較大的幫助.

案例5（§3.1.1函數的概念）探究構建其他可用解析式y=x（10－x）描述其中變量關系的問題情境.［3］63

本例以學生相對熟悉的二次函數為背景，出現在“函數的概念”這一小節最后，在這一探究之前設計了一個與之相似的問題情境的教學.考慮到高一剛入學學生知識儲備不足，數學建模素養普遍不高，給出解析式，設計與之對應的問題情境，很多學生還是有一定難度的，因此，在課本中放在本小節的最后，讓學有余力的學生選擇學習，是數學建模素養培育的初步嘗試.

這種設計開放水平程度高，有時需要學生課后查閱資料、合作交流完成.也正因為這種探究給學生有較大的自主研究空間，因此對激發學生數學學習熱情，培養學生數學探究能力，提升數學學科素養有很好的幫助.

再如第5.5.1節中的“你能從和（差）角公式出發推導出誘導公式嗎？你還能得到哪些等式？”也是這種類型的探究.

人教A版數學必修第一冊“探究”欄目43個“探究”中，“自然生長式”有10個，“類比發生式”有5個，“操作驗證式”有5個，“拋磚引玉”式有19個，“拓展提升式”有4個.

3教學中的使用

課堂探究以情境為背景，問題為方向，但課堂探究的情境創設有其復雜的一面.課本中的“探究”設計，大都很經典，適合大部分老師的教學需求，被大家廣為采用，但在實際教學中，教師們的使用可以更靈活.

3.1情境的靈活創設

課本探究欄目設置的問題情境針對大部分學生，使用群體范圍廣，從課本篇幅考慮又要求問題盡量簡潔，書面表達的局限性讓情境的展示方式相對單一，因此，情境載體采用學生們熟悉的純數學知識居多.而教師在實際教學中，在日新月異的多媒體快速發展時代，可以借助網絡收集大量圖片、音頻、視頻等，加工改造成為數學課堂探究教學情境；可以動手制作教具或設計實驗操作情境，獲得印象深刻的結論；可以收集學生熟悉的生活情境，與課堂知識相融成為新的情境.

學生群體自己內部特有的文化也是一種很好的情境資源.利用教學連續性，收集學生中可用于創設探究情境的素材，采用課前提前預設情境、同一情境在不同課堂中重復使用等方式，讓情境的創設更有利用于學生學習.

3.2問題的靈活設計

教學中，問題呈現可以更加靈活.課本探究多為定條件、定方向、定方法，有聯系的定向探究，難度相對簡單，普適性強.內容和方法更開放的探究，更有利于學生思維水平和學習能力的提升.在課堂實際教學中，因為對學生的學情更加熟悉，探究情境和問題會更符合學生的認知，設置的問題開放程度可以根據學生的認知水平和學習狀態進行調整.

課堂教學中，教師會設計問題難度不一的探究，時間長短可以根據課堂需要而靈活控制，問題提出的時機和師生在探究中的時間分配會根據課堂的變化而變化.

3.3探究的靈活開展

設計更多有聯系的探究，探究能力的進階式培養，進行整體規劃，引導學生在探究結束后“反思”“回顧”數學探究的過程［4］，會促進學生學習能力和思維能力的提升.

獨立探究、小組合作等形式交叉或組合使用，讓探究更加靈活多變.有幾類探究會讓學生感覺有點困難，一是條件與結論跨度大，中間聯系結點少的探究；二是問題抽象，所需知識或方法學生不熟悉或知識遺忘較多的問題的探究；三是對解決問題的方法展開的探究（在人教A版必修第一冊中只有5處涉及到方法的探究）.難度較大的探究采用合作探究的形式，通過課堂交流會產生更好效果.

教師先讓學生對一些難度較大的問題進行探究，如果探究出現困難，再給予一些啟示，這是一種很常見的探究教學操作形式，這種模式為探究教學的開展帶來很大便利.

課本探究欄目中情境與問題的呈現方式，為我們提供了很好的教學啟示.平時我們課堂教學時間短，傳授的多以適當加工的數學知識為主，課本探究欄目的短探究為一些數學核心知識的教學搭建了一座連結新舊知識的“橋梁”，既教知識又教學習知識的方法.研究課本數學探究欄目，會發現其位置靈活，設置手法靈活，呈現方式靈活，作用多樣.我們在一些教學關鍵點處利用好課本探究欄目外，還可借鑒課本探究欄目中情境與問題的呈現方式，對課堂探究根據實際教學進行一些更靈活的設計.好的教學設計是課堂成功的一半，科學的探究情境的設計為課堂教學的開展提供了充分的保證.

參考文獻

［1］劉云. 高中數學教科書中探究內容的使用研究［D］.重慶：西南大學，2016：74.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.人教A版普通高中教科書·數學·必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［4］李健，李海東.數學教科書探究見容的設計原則與教學建議［J］.高中數學教與學，2022（02）：7.

作者簡介葉忠（1972—），男，福建浦城人，中學高級教師，教育碩士；福建省泉州市“十四五”第一批中學數學教學名師培養對象；研究方向為高中數學教學.