UbD模式下的學習活動設計實踐研究
——以“正弦定理”（第一課時）為例

●吳智敏，姜遠航，周先華

一、UbD模式下的學習活動設計的基本內涵

（一）理解為先

UbD，即Understanding by Design——理解為先。它是由美國當代教育改革專家格蘭特·威金斯（Grant Wiggins）和杰伊·麥克泰(Jay Mc Tige)提出的。UbD理論認為，當教師的教學旨在使學習者理解可遷移的概念和過程，給其提供更多機會將理解的內容應用到有意義（即真實情境）的情境時，才更可能獲得長期的成就[1]。

“理解為先”是落實《普通高中數學課程標準（2017年版）》中“學生發展為本”這個基本理念的實踐模式，為學生核心素養的提升提供了實踐思路。

（二）學習活動

1.學習活動的內涵

活動，即“為某種目的而行動”。馬克思說，活動是“人對外部世界的一種特殊的對待方式”，它包括認識、實踐和交往活動。“生命在于運動”，人的一切發展均在于活動。從心理學角度來看，活動是個體認知發展、個性發展的基礎；從哲學角度來看，活動是人的存在方式和發展方式；從教育學角度來看，“人的活動是社會及其他全部價值存在與發展的本原，是人生命以及人作為個性的發展與形成的源泉，教育學離開了活動就不可能解決任何一項教育、教學、發展的任務”[2]。

2.學習活動的基礎

教學就是一系列的活動，學習活動是學生發展的基礎，是教學目標實現的基本單元，教學設計的核心就是學習活動的設計。這里特別強調學習活動與學生發展之間的關系。作為人的社會存在方式，學習活動就是學生作為主體在一定的教學關系中借助各種工具，與學習環境之間的相互作用過程。其中，學習環境包括三個方面：學習客體（主要包括知識等）、其他主體（教師及其他學生）和學生主體自身。因此，學習活動自然就包括三個基本向度：主體-客體向度、主體-主體向度和主體-自身向度[3]。這三種向度分別指向了學習活動的基礎。

主體-客體向度，是指學生主體和學習客體之間不斷進行雙向建構，根據數學學習活動的形式，可以形成四種基本的學習活動方式：

（1）以學生有意識地改造數學知識等客體為主的實踐活動；

（2）以學生感受、認知數學知識為主的認識活動；

（3）以學生領會并享受數學之美為主的審美活動；

（4）以學生檢測數學知識為主的評價活動。

在這四種形式的活動過程中，一方面學生主體對數學知識進行自覺的認識、實踐、審美和評價，同時學生主體自身的結構和形式也被改造，導致學生主體的數學感悟與收獲得以不同層次的提升與發展，這就構成了數學學習活動的物質基礎。

主體-主體向度，是指在學習活動中，學生與教師、學生與其他學生之間通過不斷的交流、交往、合作，形成師生之間的認識與被認識。這樣，學生主體既要把自己納入到一定的社會關系中，提高自己的主體性，同時，這種交往活動又使學生從狹隘的個體中融入社會，實現其社會意義，從而構成數學學習活動的社會基礎。

主體-自身向度，是隨著學生主體與數學知識之間和學生之間的相互作用的不斷深入，必然導致學生主體的自我意識、自我反思和自我評價的自然開展，從而形成學生的自我，發展其自我獨特的個性（例如不同的數學感悟與數學成就等），從而構成數學學習活動的心理基礎。

3.學習活動的歷程

學習活動的類型很多。其中較為典型的是美國數字化學習領域專家威廉·霍頓提出的類型，他根據學習活動的歷程和復雜程度把學習活動分成三類：吸收的學習活動、做的學習活動、聯結的學習活動[4]。其中，吸收型活動是指向學生提供信息，學生吸收信息的活動。在吸收型學習活動中，信息從其載體流向學生，是一種單向、無互動的學習活動，是學習活動復雜程度最低的一種活動；而做的學習活動是指對吸收到的信息進行提取的活動，例如簡單的模仿練習、對數學原理或數學概念的產生等進行的數學探究與發現活動等；而聯結的學習活動是指學生把所學知識、技能甚至數學思想等運用在新的問題情境中解決新的問題的學習活動。實際上，聯結的學習活動就是UbD模式中的“理解”過程—學習遷移的過程。聯結的學習活動是最高階的學習活動。

蘇聯教育家斯托利亞爾把數學學習活動劃分為三個階段（層次），即“經驗材料的數學組織化、數學材料的邏輯組織和數學理論的應用，這三個階段構成了數學學習者的學習活動的完整過程”[5]。顯然，這三個階段與威廉·霍頓的三種分類是完全對應的：在“經驗材料的數學組織化”階段，可通過數學閱讀或觀察、簡單的訓練等方式對數學材料進行直觀感知；接著通過數學實驗或數學探究（包括類似于等差數列到等比數列性質的整體類比、完全或不完全歸納推理，或結合運算求解的演繹推理、變式遞進、空間想象、數據處理、抽象概括等）對數學材料進行邏輯組織后進入第三階段——數學理論的運用，即通過數學建模實現學習遷移。

（三）UbD模式下的學習活動的設計

實現UbD模式的“理解為先”的教學，本質是對斯托利亞爾的上述三個階段的完美經歷，UbD設計了通過三個階段的“逆向設計”方法，即明確預期學習結果、確定可接受的證據和規劃相應的學習活動。前兩個階段當然是為第三個階段做好充足的鋪墊。通俗地說，我們的學習活動設計是在先充分考慮學習目標及其已實現的可“見”證據條件下來進行相應的設計。這樣的學習活動至少要體現：

（1）學生個體的差異性，例如不同學生的能力水平、興趣愛好和學習風格等方面的差異。

（2）活動形式的多樣性，要提供多種任務和方法，而且學生可以自由選擇，例如既可以單獨作業，也可以團隊合作。

（3）情緒調動的主動性，即通過精心設計的學習活動，鼓勵學生主動學習，并積累經驗，從而理解復雜的學習內容。

（4）活動探究的反復性，可通過“示范—嘗試—反思—調整”的循環模式來開展學習。

二、UbD模式下的學習活動設計實踐案例——以“正弦定理“為例

（一）“正弦定理”學習活動設計緣由

本節內容出自人教A版（2007年版）必修5第一章第一節。課程安排在必修四“三角、向量”知識之后，是三角函數知識在三角形中的具體運用，也是初中“三角形邊角關系”和“解直角三角形”內容的延續和拓展，同時更是處理可轉化為三角形計算的其他數學問題及生產生活實際問題的重要工具。學生在初中已經學過平面幾何的相關知識，有一定的觀察分析能力和解決問題的能力，但是在前后知識的串聯上會有一定的難度。本節課的教學重點為正弦定理的發現、探究、證明，而教學難點就是正弦定理的發現和運用向量作為工具進行推導的過程。為了突破難點，有必要設置思維引導點，并通過多樣的學習活動，以提高學習積極性。本節課設計了小組合作學習和自主探究，完成正弦定理的發現、證明。在探究問題的處理上，更加注重前后知識的串聯，用已有知識（解直角三角形）解決新問題（一般三角形），并得到新知識。

（二）“正弦定理”學習活動設計

基于理解為先的宗旨，同時將信息技術與數學課堂教學深度融合，設計了課前、課中、課后活動。

1.課前

將教學任務前置，老師錄制課前任務。通過直角三角形、正三角形、等腰三角形等特殊的三角形的邊角的數量關系，再結合幾何畫板作圖發現無論三角形形狀如何變化，邊與所對角的正弦的比值沒有發生改變，因此大膽地猜測在任意三角形中數量關系也成立。學生在微課學習中體會從特殊到一般的數學思想。結論的猜測不能作為定理的證明，因此讓學生通過查閱資料自主探究證明方法，并通過問卷星收集學生在自主學習探究過程中出現的困惑，便于充分了解學情并調整教學設計。課前還設計了學生針對自主探究學習中出現的問題拍成視頻的活動，作為課前引入。

2.課中

學生將他們自主探究的正弦定理的各種證明方法進行分享展示，展示過程既要分享怎么證明還要分享為什么會想到這種方法，以及如何突破難點的。再通過師生討論以完善證明過程，反思幾種方法的共同之處，從而得出正弦定理和其推論，總結出證明過程蘊含的數學思想方法。接著解決引例中的問題，完成練習，進一步引出解三角形的概念，并進行為加深正弦定理理解的簡單的應用訓練和正弦定理的推導方法的遷移應用。

3.課后

課后主要是學生對“正弦定理”的理解、簡單應用，以及針對正弦定理推導方法的更進一步的遷移應用。

（三）教學片段展示

片段1 問題導引

提出問題：在三角形中有大邊對大角、小邊對小角的邊角關系，那么我們是否可以得到這個邊、角關系準確量化的表示呢？

播放視頻：為了測量不可達到的兩點間的距離，以測量學校操場對角線長度為例，小組同學得到數據。ΔABC中，AB=10m，∠CAB=40°,∠CBA=135°,如何求AC的長？

設計意圖：學生在學校研究性學習活動中選了數學學科，他們在測量問題中出現了困難，于是拍下了整個過程。該學習活動以熟悉的場景引入，進一步闡釋本節課的核心問題，整節課就由這樣一個整合了教材的能驅動學生活動的核心問題來驅動教學活動。

片段2 活動探究

展示問卷星出現的問題，學生證明方法主要有作高法、面積法、向量法、外接圓法。學生的困惑主要體現在不知道如何想到各種方法，入手點不清楚。

學生展示他們的研究成果。

學生甲展示作高法：

當ΔABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據銳角三角函數的定義，有CD=asinB,CD=bsinA，得，同理可得，故有。

圖1

同理在鈍角三角形中也成立。

學生乙展示面積法：

設AD、BE、CF分別是ΔABC的三條高。則有AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，CF=asin∠ABC。

學生丙展示外接圓法：

作ΔABC的外接圓O，過點C連接圓心與圓交于點D,連接AD，設圓的半徑為R，∠A=∠D。

圖2

設計意圖：學生對作高法、面積法較熟悉，也是最容易想到的，轉化為初中的直角三角函數解決。根據問卷星反映的問題，然后重點展示向量法證明正弦定理。

問題1：怎樣利用向量數量積來證明bsinC=csinB？

問題2：怎樣利用向量的投影來證明bsinC=csinB？

同理可得asinB=bsinA,asinC=csinA，故證明了正弦定理。

設計意圖：學生剛剛結束平面向量的學習（新教材中正弦定理是作為第六章“平面向量及其應用”的一節內容），平面向量數量積可以解決與長度、角度等相關的問題。因此利用向量的工具性證明正弦定理是容易聯想到的，但是需要教師引導，特別是利用投影來證明。

片段3 反思建構

問題3：通過前面大家對正弦定理證明方法的分析，回顧與反思：

（1）正弦定理：在三角形ΔABC中，角A,B,C對應的邊分別為a,b,c，則各邊與它所對角的正弦的比相等，即。

推論：由外接圓法可得：

由面積法可得：

（2）以上所有方法有什么共同之處？

（3）以上證明過程體現了哪些數學思想？

設計意圖：讓學生明確正弦定理的所有證明方法都指向一點：構造直角三角形，作高、面積、外接圓、向量都有直角，利用直角三角形中銳角的三角函數的定義。在整個學習活動中，讓學生體會化未知為已知，用已有知識去解決新問題。同時感悟在整個過程中滲透了化歸、數形結合、分類討論等數學思想。

片段4 運用反饋

問題4：ΔABC中，AB=10m，∠CAB=40°,∠CBA=135°,如何求AC的長？

設計意圖：解決“問題引導”中的問題，讓前面的學習活動更有意義，體會正弦定理的價值。

片段5 課堂練習

A.30°B.45°C.60°D.90°

A.15°B.105°C.15°或105°D.45°

（4）利用向量證明：

①平行四邊形ABCD中，AD2+BC2=2（AB2+BC2）；

②ΔABC中，a，b，c所對應的角分別為A，B，C，則a2=b2+c2-2bccosA。

比較這兩個問題的證明過程，你能總結利用向量解決平面幾何問題的一般思路嗎？

設計意圖：課堂練習第（1）題和第（2）題都是已知兩邊及一邊所對角，但是第（2）題存在一題多解的情況，為下一課時（正弦定理的應用）作好鋪墊。第（3）題的設置就是對正弦定理推論的直接應用，第（4）題將正弦定理的推導方法遷移到新的問題情境中，也是UbD模式教學核心的體現。

三、實踐反思與啟示

在本節課的設計及實際教學中我們發現，學習活動與學生的個體發展之間存在非常緊密的對應關系。

（一）發展目標與學習活動的對應

根據不同的發展目標來設計相應的學習活動，這既是UbD模式的基本思想，也是為了實現真正的理解而進行教學的必要條件。例如，要培養學生的數學知識獲取能力，就必須通過數學閱讀活動來實現：通過數學閱讀，理解數學的文本與數學符號，客觀而全面地獲取相關的信息。要培養實踐操作能力，就必須通過數學實驗、數據處理或動手操作、數學語言表達等活動來完成；要培養學生的社會適應性，就必須為學生展開全面、充分的交往關系和交往形式；要培養學生的情感、態度與價值觀，就必須以體驗活動、審美活動和評價活動為基礎。

（二）全面發展與活動方式的對應

《普通高中數學課程標準（2017年版）》的基本理念之首即“學生發展為本，立德樹人，提升素養”。它至少包括兩層含義：高中數學教學要面向全體學生，人人都能得到發展；同時，追求人的全面發展。要實現學生全面、生動、活潑的發展，就必須為學生設計出完整、豐富和靈活多樣的學習活動。例如直觀感知與抽象概括活動、空間想象與演繹證明、數學閱讀與數學探究的結合等。

當然，在豐富的學習活動中，要充分考慮學習活動的整體性。學習活動是一個系統，它包括多個要素：主體、客體、共同體、工具、任務與規則等。在學習活動設計中，要考慮不同形式的學習活動之間的整合以及學習活動內部各要素之間的整合。從而讓不同的學習活動之間的連貫性、聯系性表現較為協調，形成合力以促進學生高效的全面發展。

（三）個體建構與社會建構的結合

數學學科具有獨特的思維魅力。一方面具有“高度的抽象性”和“嚴密的邏輯性”，以及“應用的廣泛性”和“結論的精確性”，另一方面，數學思維還具有類似于自然科學思維的“觀察、實驗、類比、歸納”的特點，甚至有類似于社會科學的“猜測、反駁、想象、直覺、美感”等特點。數學思維是個體建構與社會建構的統一，數學學習活動的設計也要兼顧個體建構與社會建構的需求，設計出具有融合兩方面功能的學習活動，即通過小組合作的學習活動，為學生提供交流、分享機會，促進學生數學思維的社會建構；同時，通過自主思考等自主學習，促進學生數學思維的個體建構。

（四）問題情境與學習活動的對應

將“所學內容遷移應用于有意義的問題情境”是UbD模式教學的核心。而數學素養的提升本身也需要適宜的情境。要盡量設計聯系實際生活，或者創設恰當的數學學習情境，增強學生在學習時的體驗感、沉浸感，從而提升學習活動的效果。