全面思考　言必有據

趙小冬

在解題中，思考時要全面周到，表達時要言必有據，避開一些常見的誤區.

誤區一 忽視分類

例1 已知△ABC是等腰三角形. 若∠A = 40°，則△ABC的頂角度數是 .

錯解：40°. 忽視∠A是頂角或是底角，造成了漏解.

正解：40°或100°.

誤區二 忽視作輔助線的可行性

例2 如圖2，在△ABC中，∠B = ∠C. 求證：AB = AC.

錯解：過點A作BC的中垂線AD，垂足為D，則BD = CD. 再證明△ABD ≌ △ACD，得到AB = AC. 這種作輔助線的表述有問題，因為過點A作BC的垂線與中線，兩線不一定重合.

正解：過點A作BC的垂線AD，垂足為D. ∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC.

∵AD = AD，∠B = ∠C， ∴△ABD ≌ △ACD（AAS），∴AB = AC.

反思：作輔助線時，一般不能同時滿足兩個或兩個以上的條件. 若要使所作輔助線同時滿足兩個要求，則作圖時只能先滿足其中一個要求，再證明它滿足另一個.

誤區三 忽視前提條件

例3 如圖2，∠MON = 60°，點A，B為射線OM，ON上的動點（點A，B不與點O重合），且AB = [43]，在∠MON的內部、△AOB的外部有一點P，且AP = BP，∠APB = 120°. （1）求AP的長；（2）求證：點P在∠MON的平分線上.

錯解：（1）AP = 4（過程略）；（2）∵AP = BP，∴點P在∠MON的平分線上.

這里的AP和BP不是點P到OM和ON的距離，不能運用角平分線的判定定理.

正解：如圖3，過點P分別作PS⊥OM于點S，PT⊥ON于點T，

∴∠OSP = ∠OTP = 90°.

∵∠SPT = 360° - ∠OSP - ∠O - ∠OTP = 120°，

∴∠APS = ∠BPT.

∵AP = BP，∴Rt△APS≌Rt△BPT （AAS），∴PS = PT，

∴點P在∠MON的平分線上.