一道課本習題的變式

王祥

引例 （教材第12頁習題1.4第1題）已知：如圖1，△ABC是等邊三角形，DE[?]BC，分別交AB和AC于點D，E. 求證：△ADE是等邊三角形. （證明略）

對此題進行變式，可以得到一系列數學問題.

變式1：將△ADE放到△ABC的外部，探究相等線段.

例1 如圖2，△ABC，△ADE是等邊三角形. 求證：BD = CE.

解析：∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，

∴AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠EAD = 60°，

∴∠BAD = ∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD = CE.

變式2：將△ADE放到△ABC的外部，連接BD，CE相交于點P，連接PA，探索線段PA，PB，PC之間的數量關系，可得到如下中考題.

例2 （2022·黑龍江·龍東）△ABC和△ADE都是等邊三角形. （1）將△ABC和? ?△ADE擺放成圖3的位置，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA，PB，PC之間有怎樣的數量關系，并加以證明. （2）將△ABC和△ADE擺放成圖4的位置，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA，PB，PC之間有怎樣的數量關系？直接寫出結論，不需要證明.

解析：（1）猜想：PB = PA + PC.

證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60°，

∴∠BAD = ∠CAE，∴△BAD ≌ △CAE（SAS），

∴∠ABD = ∠ACE，BD = CE，S△BAD = S△CAE，

∴點A到BD和CE的距離相等，∴PA是∠BPE的平分線上.

在BP上截取BQ = CP，連接AQ，如圖5.

在△ABQ和△ACP中，AB = AC，∠ABQ = ∠ACP，BQ = CP，

∴△BAQ ≌ △CAP（SAS），∴AQ = AP.

設BP與AC交于點R，∵∠ABQ = ∠RCP，∠ARB = ∠PRC，

∴∠CPB = ∠BAC = 60°，∴∠BPE = 120°，∴∠APQ = 60°，

∴△APQ是等邊三角形，∴PA = PQ，∴PB = PQ + BQ = PA + PC.

（2）猜想：PA + PB = PC.

變式3：將圖1中的線段DE去掉，延長BC至點N，使CN = AD，連接DN，交AC于點P，作DH⊥AC于點H，變換字母后，可得到如下中考題.

例3 （2022·湖南·懷化）如圖6，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN = AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H. （1）求證：MP = NP；（2）若AB = a，求線段PH的長（結果用含a的代數式表示）.

解析：（1）過點[M]作MQ[?]BC，交[AC]于點[Q]，如圖7.

在等邊三角形[ABC]中，[∠A=∠B=∠ACB=60°].

∵MQ[?]BC，[∴∠AMQ=∠B=60°]，[∠AQM=∠ACB=60°]，[∠QMP=∠N]，

∴△AMQ是等邊三角形，[∴AM=QM].

[∵AM=CN]，[∴QM=CN].

∵∠QPM = ∠CPN，∴△QMP ≌ △CNP （AAS），[∴MP=NP].

（2）∵△AMQ是等邊三角形，且[MH⊥AC]，[∴AH=HQ].

∵△QMP ≌△CNP，[∴QP=CP]，[∴PH=HQ+QP=12AC].

[∵AB=a]，[AB=AC]，[∴PH=1/2a].

分層作業

難度系數：★★★★ 解題時間：15分鐘

1. 如圖8，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ. 以下五個結論：① AD = BE； ② PQ[?]AE；③ AP = BQ；④ DE = DP；⑤ ∠AOB = 60°. 恒成立的有______（把你認為正確的序號都填上）. （答案見第31頁）

2.? 如圖9，在△ABC和△ADE中，[AB=AC]，[AD=AE]，[∠BAC=∠DAE]，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點. （1）求證：①[BE=CD]；? ? ②△AMN是等腰三角形. （2）在圖9的基礎上，將△ADE擺放成如圖10所示的位置. 請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立.

參考答案

1. ①②③⑤ 2. （1）①證明△ABE ≌ △ACD；②證明△ABM ≌ △ACN；（2）兩個結論仍然成立.