彎曲變形課堂教學中兩個容易混淆的問題

李穎，姚宏，趙雪

（空軍工程大學基礎部，陜西西安 710051）

一、問題的提出

在材料力學的課程教學中，彎曲變形是四種基本變形中最復雜也最重要的基本變形。其中，用剪力方程和彎矩方程來畫剪力圖和彎矩圖是求彎曲內力的常用方法之一。熟練掌握這種方法，對于求解彎曲變形、組合變形等問題非常有益。但筆者在聽一些年輕教員的講課以及翻閱《材料力學》《工程力學》教材后發現：在彎曲內力這一內容中，學生和教師經常會犯一個共性錯誤，即“在寫剪力方程和彎矩方程時，自變量x的取值區間范圍如何正確書寫”。這樣一個問題混淆不清，存在很多錯誤，而且為數還不少。截至目前，尚未發現有哪本教材對上述問題進行詳細、深入的論述[1-7]。由于部分老師（尤其是年輕老師）并未對這個問題進行深入思考，因此，老師在授課當中只是寫出正確的剪力方程和彎矩方程、畫出正確的剪力圖和彎矩圖，至于區間范圍的書寫，老師會根據自己的理解去隨意書寫，并且可能不正確。問題雖不大，但老師忽略了數學教學的嚴謹性，沒有挖掘知識背后的東西，也會把這種隨意性灌輸給學生，導致學生對概念感到模糊。此外，在采用彎曲變形直接積分法時，撓曲線近似微分方程中也要用到彎矩方程，但教材并未提及正確書寫彎矩方程需要注意的問題，部分年輕教師也會出現認識上的錯誤。因此，筆者覺得有必要把這兩個細節問題論述一下。

二、問題的解決

首先，我們來闡述如何正確書寫剪力方程和彎矩方程的自變量x的取值區間范圍的問題，用以下兩個簡單的例題來說明。

例1 圖1（a）示簡支梁C點受集中力作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。

以梁的左端為坐標原點，選取坐標系如圖1（a）所示。對于AC段，寫出它的剪力、彎矩方程：

圖1 簡支梁—集中力彎曲內力圖

此時，x1的取值范圍是從0到a。而對于剪力方程，因為剪力只受集中力影響，不受集中力偶影響，A點和C點處分別作用有集中力FRA和F。因此，從數學意義上來理解這兩個點，它們是兩個間斷點，即左右極限存在但不連續，剪力都要發生突變，而不是只在C點發生突變，所以x1的取值范圍應是 0 ＜x1＜a，兩邊都不能寫等號。對于彎矩方程，因為彎矩只受集中力偶影響，不受集中力影響，A點和C點處的集中力FRA和F對彎矩沒有影響，所以這兩點都是連續點而不是間斷點，因此，x1的取值范圍應是0 ≤x1≤a。同理，對于CB段，寫出它的剪力、彎矩方程：

對于剪力方程，C點和B點都是間斷點，x2的取值范圍應是a＜x2＜ l。對于彎矩方程，C點和B點都是連續點，x2的取值范圍應是a≤x2≤ l。從根據剪力方程和彎矩方程畫出的剪力圖（圖1（b））和彎矩圖（圖1（c））中仔細觀察，也能夠看出這個連續和間斷的規律，從而加深對自變量區間范圍書寫的正確理解。

例2 圖2（a）示簡支梁C點受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。

圖2 簡支梁—集中力偶彎曲內力圖

以梁的左端為坐標原點，選取坐標系如圖2（a）所示。對于AC段，寫出它的剪力、彎矩方程：

此時，x1的取值范圍是從0到a。對于剪力方程，因為剪力只受集中力影響，不受集中力偶影響，A點處作用有集中力FRA，剪力要發生突變，因此是間斷點，C點處作用有集中力偶M，對剪力沒有影響，是連續點，所以x1的取值范圍應為0 ＜x1≤a。對于彎矩方程，因為彎矩只受集中力偶影響，不受集中力影響，A點處作用有集中力FRA，是連續點，C點處作用有集中力偶M，彎矩要發生突變，是間斷點，所以x1的取值范圍應為0 ≤x1＜a。同理，對于CB段，寫出它的剪力、彎矩方程：

對于剪力方程，C點處作用有集中力偶M，對剪力沒有影響，是連續點，B點處作用有集中力FRB，剪力要發生突變，是間斷點，所以x2的取值范圍應為a≤x2＜ l。對于彎矩方程，C點處作用有集中力偶M，彎矩要發生突變，是間斷點，B點處作用有集中力FRB，對彎矩沒有影響，是連續點，所以x2的取值范圍應為a＜x2≤ l。

同樣，從根據剪力方程和彎矩方程畫出的剪力圖（圖2（b））和彎矩圖中（圖2（c））中仔細觀察，也能夠看出這個連續和間斷的規律。

這里筆者還要進一步說明，以上兩例的坐標原點都在最左端A點，都是以x軸向右為正來分段列寫剪力、彎矩方程。如果AC段以A點為坐標原點，x軸向右為正，CB段以B點為坐標原點，x軸向左為正，這時寫彎曲內力方程采用的是“左右開弓”的方法，列寫方程時可以簡便一些，如圖3所示。此時，自變量x區間范圍的書寫依然遵循上述規律。

圖3 列寫彎曲內力方程分段圖

AC段

BC段

但是老師在畫圖時必須要注意分段時各段坐標原點的位置，注意按一一對應關系畫內力圖。

需要特別注意的是，老師如果用直接積分法求彎曲變形，需分段寫出彎矩方程時，則不能用這種“左右開弓”求彎矩的方法（即x軸正向不能來回變動，而是必須始終保持一個方向），否則會造成轉角相差一個負號，如圖4所示，圖4（a）轉角θA為正值，圖4（b）轉角θA為負值。如果遇到分段列寫彎矩方程，“左右開弓”會引發計算結果錯誤，下面以例3來說明。

圖4 x 坐標軸正向取向圖

例3 圖5（a）示一等剛度外伸梁，解得其外伸端點的撓度等于零，但筆者從直觀上看這是不可能的。這個解題過程如下，試分析其問題出在哪里？[8]

圖5 列寫彎曲內力方程分段圖

解：先根據平衡方程分別計算約束力FRA=0，FRB=2ql

AB段

BC段

由邊界條件x1=0，w1=0，得到D1=0。由x1=l，w1=0，得到。

由光滑連續條件x1=x2=l，θl=θ2，w1=w2，得到。

則x2=0，wc=0，但顯然C點的撓度不等于零。錯誤的原因就在于老師分段列寫彎矩方程時，采用“左右開弓”的方法會造成轉角相差一個負號，從而引發計算錯誤。因此，老師在計算時，x軸正向不能來回變動，而是必須始終保持一個方向。如圖5（b）所示，x軸始終向右為正，對于AB段，若取A點為坐標零點，x1向右為正，則對于BC段，可以將A點取為零點，x2必須向右為正才正確，也可以將B點取為零點，x2向右為正。反之，x軸始終向左為正，即從右往左分段取，則方法與上類同，筆者不再細述。

三、結束語

教學無小事。筆者從閱讀教材、日常教學中發現的兩個容易混淆的問題，提示我們對于教學內容中的很多細節問題，我們不能只滿足于一知半解，要多問幾個為什么，做出深入思考，這是一種學習態度，更是一種職業責任。