數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)『數(shù)概念』教學(xué)的課例實(shí)踐探索
——以《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)為例

文|郎俊杰

數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)是學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識體系的必備條件，也是小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要組成部分。小學(xué)“數(shù)概念”教學(xué)是指小學(xué)階段包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等與“數(shù)”有關(guān)的概念教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要載體，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算、研究數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)?！皵?shù)概念”教學(xué)時，教師要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)”的發(fā)生與發(fā)展過程，促進(jìn)學(xué)生在感悟中自主建構(gòu)“數(shù)”的概念。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在對課程內(nèi)容選擇的過程中要關(guān)注數(shù)學(xué)文化，并注重對中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的弘揚(yáng)和傳承。數(shù)學(xué)文化是一種基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并形成數(shù)學(xué)思想、理性精神的動態(tài)體系，包括了數(shù)學(xué)學(xué)科在生產(chǎn)生活、社會科學(xué)、人文體藝等領(lǐng)域的運(yùn)用，深刻影響著人類文明與社會進(jìn)步。數(shù)學(xué)文化對學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有著重要的作用和意義，有助于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力與探索精神。融入數(shù)學(xué)文化的“數(shù)概念”教學(xué)，將數(shù)學(xué)文化與教材知識概念進(jìn)行整合，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷豐富多樣的體驗(yàn)活動，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐意識和人文素養(yǎng)。然而，當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在過度追求知識本位、忽視數(shù)學(xué)課堂文化滲透的情況，造成學(xué)生普遍缺失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意志品質(zhì)和關(guān)鍵能力。

一、教前慎思：數(shù)學(xué)文化融入課堂的要義

數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)，不僅要關(guān)注學(xué)生對知識的理解與掌握情況，還要重視讓學(xué)生經(jīng)歷知識的由來與發(fā)展過程，感受學(xué)習(xí)素材的選擇與概念建立之間的密切聯(lián)系，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。“分?jǐn)?shù)”在整個小學(xué)數(shù)學(xué)知識性學(xué)習(xí)過程中占有重要的地位，對能否形成“數(shù)”的知識體系有著重要作用，其中，對“分?jǐn)?shù)意義”的理解更是“數(shù)概念”發(fā)展的里程碑。

“分?jǐn)?shù)的意義”是人教版五年級下冊的內(nèi)容。在教學(xué)中，由于“分?jǐn)?shù)的意義”的概念過于抽象，學(xué)生難以理解。很多時候，學(xué)生只是對教師主導(dǎo)總結(jié)的“分?jǐn)?shù)的意義”概念進(jìn)行死記硬背，實(shí)則似懂非懂。筆者基于數(shù)學(xué)文化視角，將中國傳統(tǒng)音樂文化、數(shù)學(xué)文化等資源融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，實(shí)施音樂與數(shù)學(xué)相整合的跨學(xué)科教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生在探究音律管的生成過程中學(xué)用“數(shù)學(xué)的方式”思考問題，感受數(shù)學(xué)與音樂的密切聯(lián)系，了解并掌握“三分損益法”，讓學(xué)生深刻感悟“分?jǐn)?shù)的意義”的本質(zhì)，完成對“分?jǐn)?shù)的意義”概念的深層次理解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的意義建構(gòu)。

二、教學(xué)實(shí)踐：數(shù)學(xué)文化融入課堂的探析

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

1.聊“五音不全”

師：同學(xué)們，你們聽過“五音不全”這個成語嗎？

生：形容有人唱歌音調(diào)不準(zhǔn)，跑調(diào)的意思。

生：“五音不全”和音樂有關(guān)，某個人唱歌不好聽就說他五音不全。

（課件出示“Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si”7 個音）

師：那為什么不說“七音不全”，而說“五音不全”呢？

（學(xué)生迷惑不解）

（課件呈現(xiàn)，周朝呂望的《太公六韜》記載，“律管十二，其聲有五：宮、商、角、徵、羽”。對照西洋音階就是“Do、Re、Mi、Sol、La”，沒有Fa 和Si）

師：“五音不全”是中國的成語，要從中國的傳統(tǒng)文化中進(jìn)行定位與考量。

2.引出“三分損益法”

師：剛才我們一起聊到了“五音”，那么古人又是如何制定“五音”的呢？

（課件呈現(xiàn)，《呂氏春秋·音律篇》中詳細(xì)記載了古人制定五音的方法——三分損益法。教師組織學(xué)生觀看微視頻，并思考：古人是如何用“三分損益法”制定五音的）

師：通過觀看微視頻，你知道五音的制定方法了嗎？

（學(xué)生點(diǎn)頭）

思考：如何從宮管中制作出徵管。（如圖1）

圖1

（二）新知探索，感悟方法

1.探究徵管的生成過程

回顧微視頻中有關(guān)“宮管生成徵管”的過程：取一根與宮管一樣長的音律管，先將音律管平均分成3 份，取這樣的2 份，就得到了徵管。

師：從宮管生成徵管的過程中，產(chǎn)生了哪些分?jǐn)?shù)？

圖2

師：（指著徵管中的其中一份）這一段可以用什么分?jǐn)?shù)表示？又表示什么？

討論，分析：因?yàn)橛^察的角度（標(biāo)準(zhǔn)）不同，所以同一段音律管可以表示出不同的分?jǐn)?shù)。（板書：標(biāo)準(zhǔn)）

師：這個環(huán)節(jié)是在研究由宮管生成徵管的過程，因此我們把宮管看成“標(biāo)準(zhǔn)”，得到的徵管長度是宮管的，用到了“三分損一”。

回顧探究過程：第一步，從宮管生成徵管的過程中尋找對應(yīng)的分?jǐn)?shù)；第二步，思考這些分?jǐn)?shù)表示的意義。

2.探究商管的生成過程

師：在由徵管生成商管的過程中，產(chǎn)生了哪些分?jǐn)?shù)？

學(xué)生開展探究活動：（1）畫一畫：畫出生成的商管；（2）寫一寫：寫出產(chǎn)生了哪些分?jǐn)?shù)；（3）說一說：我選的分?jǐn)?shù)是（ ），表示把（ ）管平均分成（ ）份，這樣的（ ）份；（4）議一議：組員寫的分?jǐn)?shù)分別表示什么意思？

（學(xué)生獨(dú)立思考，并開展交流分享活動；教師巡視，并給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)）

全班交流：不同的觀察角度（標(biāo)準(zhǔn)），得到的分?jǐn)?shù)是不同的。（1）對分母是3 的分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析。把徵管平均分成3 份，表示這樣的（ ）份。（2）對分母是4 的分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析。把商管平均分成4 份，表示這樣的（ ）份。

師：這個“標(biāo)準(zhǔn)”，我們把它稱之為單位“1”，也就是要先確定把誰看作單位“1”，才能得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。由于單位“1”的不同，增加的一小段既可以說是徵管長度的，也可以說是商管長度的。由于這個環(huán)節(jié)是研究從徵管生成商管的過程，因此我們把徵管看成是單位“1”。

思考：得到的商管是徵管的幾分之幾？

小組交流，得出結(jié)論：這里要把徵管看作單位“1”，商管是在“把徵管平均分成3 份，表示這樣的3份”的基礎(chǔ)上，再增加1 份；增加的1 份可以表示為徵管長度的，因此商管長度可以表示為4 個，也就是徵管長度的。（如圖3）

圖3

小結(jié)：從徵管生成商管，把徵管看成是單位“1”，用到了“三分益一”。

（三）深入探究，形成規(guī)律

1.研究羽管的擺放位置

師：從商管生成羽管用到了什么方法？得到的羽管是商管長度的幾分之幾？

師：生成的羽管應(yīng)該擺放在商管的下面還是徵管的下面？（如圖4）

圖4

（1）猜一猜：我猜測羽管是在（ ）號位置；（2）想一想：我是這么想的：______；（3）議一議：把你的想法分享給組員，并開展討論。

2.匯報并確定羽管的位置

師：他利用畫圖，發(fā)現(xiàn)了羽管比徵管短。還有其他想法嗎？

圖5

3.確定角管的擺放位置

師：羽管生成角管的過程中用到了什么方法？生成的角管應(yīng)該擺在商管的上面還是下面？（如圖6）

圖6

生：角管是通過“三分益一”得到的。角管是在羽管的基礎(chǔ)上再增加羽管的，商管是在徵管的基礎(chǔ)上再增加徵管的。因?yàn)橛鸸艿谋柔绻艿亩?，所以角管比商管短，?yīng)該擺在商管的下面。

生：它們表示的單位“1”不同。生成角管的過程中，是把羽管看成單位“1”，角管比羽管多；生成商管的過程中，是把徵管看成單位“1”，商管比徵管多。

4.音律管中的規(guī)律

（1）回顧“損益”的變化過程

把宮管看成單位“1”，用“三分損一”得到徵管；再把徵管看成單位“1”，用“三分益一”得到商管。以此類推，得到羽管和角管。

（2）同樣的分?jǐn)?shù)，不同的長度

圖7

（四）回顧總結(jié)，加深理解

1.知識回顧

師：大家是否還記得古人在創(chuàng)造五音的過程中用到了哪些方法，包含了哪些數(shù)學(xué)知識？

師：在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，我們從感知“三分損益法”到認(rèn)識單位“1”再到形成“分?jǐn)?shù)的意義”概念，從中你有什么體會？

2.知識梳理

課堂最后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧課時的學(xué)習(xí)過程，并組織學(xué)生共同對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行梳理與整合（如圖8），幫助學(xué)生將所學(xué)的知識內(nèi)化成自己的觀點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升。

圖8

從本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程來看，對于數(shù)學(xué)概念的理解需要學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知、感悟、總結(jié)與反思等過程，通過設(shè)置關(guān)鍵性問題，讓學(xué)生深入探究、嘗試表達(dá)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生善于思考的良好習(xí)慣，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)積累豐富的活動經(jīng)驗(yàn)。從課堂教學(xué)的實(shí)效來看，學(xué)生能較好地融入課堂學(xué)習(xí)中，并從中汲取更多的知識與方法，學(xué)會對知識進(jìn)行多維度的總結(jié)和梳理，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的思考與表達(dá)拾級而上。

三、教學(xué)感悟：數(shù)學(xué)文化融入課堂的價值

小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中，教師要注重對數(shù)學(xué)文化的滲透，加強(qiáng)對學(xué)生理性精神的培養(yǎng)，要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，用數(shù)學(xué)文化潤澤學(xué)生的精神世界，進(jìn)而讓小學(xué)數(shù)學(xué)課堂充滿深刻性與靈動性。基于數(shù)學(xué)文化的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，要明確數(shù)學(xué)文化與學(xué)科概念知識間的關(guān)聯(lián)，積極探尋數(shù)學(xué)文化浸潤數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)路徑，主要體現(xiàn)在以下三個方面。

（一）整合教材，拓寬學(xué)習(xí)空間

教材是體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的重要載體，也是作為學(xué)生獲取知識與技能的基本工具，有助于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知、理解與運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深度表達(dá)與解讀。以本課為例，教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造性，在幫助學(xué)生掌握必要知識與技能的同時，還要幫助學(xué)生不斷地積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，理解數(shù)學(xué)文化的價值。課堂上，教師將傳統(tǒng)音樂元素、數(shù)學(xué)文化與教材內(nèi)容進(jìn)行深層次的整合，拓寬了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。

（二）創(chuàng)新體驗(yàn)，促進(jìn)概念建構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)課程實(shí)施過程中，要倡導(dǎo)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)融合的教育理念，引領(lǐng)學(xué)生在多樣化的活動中感悟?qū)W科知識在生活中的應(yīng)用，發(fā)揮學(xué)生的自主性與創(chuàng)新性。數(shù)學(xué)文化背景下的教學(xué)資源開發(fā)，注重數(shù)學(xué)知識與學(xué)科素養(yǎng)的融合，有助于提升學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新思維，對提高學(xué)生的藝術(shù)修養(yǎng)、傳承文化基因及弘揚(yáng)美育精神等有著重要的作用。以本課為例，在研究徵管和商管的生成過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生參與“畫一畫、說一說”等活動，讓學(xué)生充分感知“三分損一”和“三分益一”的本質(zhì)內(nèi)涵，在對比、歸納中認(rèn)識單位“1”，初步完成對“分?jǐn)?shù)意義”的概念理解。

（三）深度探究，提升思維水平

數(shù)學(xué)教育不應(yīng)僅僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識的傳授，還應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)活動中對學(xué)生的觀察能力和想象能力的培養(yǎng)，要讓學(xué)生在探究過程中學(xué)會思考、猜想、類比和歸納，進(jìn)而逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。本課教學(xué)，通過設(shè)計合理的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主參與羽管、角管的擺放位置及“損益”變化規(guī)律的探究過程，有助于加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，使得學(xué)生的思維過程具有層次性；同時，學(xué)生經(jīng)歷比較、辨析、數(shù)形結(jié)合等探究過程，在感悟音樂背后的數(shù)學(xué)規(guī)律中掌握“三分損益法”，體會數(shù)學(xué)與音樂的密切聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對“分?jǐn)?shù)意義”的概念建構(gòu)，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、抽象概括等能力。

總之，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的實(shí)用性與人文性，尋求以文化浸潤學(xué)生心靈的教學(xué)路徑，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從知識層面走向精神層面。因此，教師要深入挖掘數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵及其教學(xué)價值，經(jīng)常性地關(guān)注學(xué)生的情感體驗(yàn)，靈活地將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)整合，進(jìn)而彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。