培養中學生數學思維策略的研討與實踐

張鳳潔

思維本來就是人們討論的熱門話題，2022年新課標的出臺，又增強了教師們對思維的認識和重視。思維在各個學科中都有所體現，但不可否認，在數學學科中體現得更為明顯。在中學數學教學中，我們要有意識地把思維融入數學的各個知識點、能力點的教學中，切實地提高中學生的數學思維能力。

一、數學思維的基本形式：分析與綜合

科學家通過研究發現，思維是人腦的一種機能，是人腦對客觀事物的一種反映。巴甫洛夫根據大量的實驗材料證明，思維其實就是人們對事物分析與綜合的過程。如人們對于自然和社會的認識，都是在分析之后又立即加以綜合的結果。在森林里，可以把樹木分析為根、干、枝、葉，乃至木柴的組成部分，然后又把根、干、枝、葉等結合為“樹木”，又把許多樹木結合為“森林”。人們對事物的認識，必須經過分析、綜合，綜合、分析，才能使認識更加全面和深刻。

在數學學習中，經常要用到比較的方法。其實，比較既是分析的過程，也是綜合的過程。常言“有比較才有鑒別”“在比較中認識一切”講的也就是這個意思?？梢哉f，比較是數學教學和研究中非常重要的一種方法，在中學數學教學中加強比較教學，有利于學生掌握知識，提高數學能力。此外，比較可以簡化相似問題的研究，在不相同的對象中探求相同點，或在相同的對象中探求相異點，這樣才有利于對問題的研究。無論是在數學學科還是其他學科教學中，比較的類型都有相同點比較和異同點比較。在數學教學和研究中，運用比較應注意比較必須在同一關系下，按照一定的步驟進行；對于數學對象的同一性質所作的比較，應當是完整、徹底的，而不應該是片面的、膚淺的。

分析與綜合是基本的思維方法，是思維活動的基本過程。分析與綜合在任何一種智力活動中都是彼此密切聯系的。分析是在綜合指導下進行的，綜合是在分析的基礎上進行的。當代自然科學發展的根本特點，一方面是高度分化，一方面又是高度綜合，或是多種學科的綜合、學科內部的綜合。對于數學學科來說，同樣存在高度分化、高度綜合的現象。人們對數學的認識是不可窮盡的，因此，在數學中這種分析、綜合的過程也是無止境的。

二、數學思維結構主義學派

由于數學方法的層次并沒有一個較為明確的分類標準，所以，我們將以數學的一般方法與數學的特殊方法來研究和探討。數學中許多的數學思想、方法和技巧，都將隸屬于這些研究方法之中。

本世紀30年代左右，法國一批優秀的青年數學家，不滿于老一代的守歸傳統，懷著闖新路的熱情，共同合作研究，成立討論班，逐步形成一個數學學派，布爾巴基是這批年輕數學家所用的一個共同筆名，因而結構主義學派又稱為布爾巴基學派。這個學派的結構化思想，不但在數學界，而且在哲學界、心理學界都引起了強烈反響，對中學數學改革也產生了很大的影響。

只是到了本世紀30年代前后，法國的布爾巴基派從全部數學中提煉出三種母結構，數學的各分支可以按照這三種結構的不同組合加以區別和歸類，這種分類當然比傳統的分類方法深刻得多。

結構主義觀點反映在數學教學領域，曾導致“新數”運動?！靶聰怠边\動給數學添加了一些有活力的思想，增加了一些科學成果，尤其是在強調數學的直觀性、實驗性、趣味性等方面，具有積極的作用，糾正了不少學生害怕數學的觀念。不足的是，結構主義學派的方法論，專注于數學形式結構特征的分析與比較，其主要興趣是一種對已經形成了的數學部門的回顧性的邏輯分析和整理工作，而不是注意研究如何從現實世界中提取新的數學模型，開辟新的數學領域，無法激發學生的直覺想象能力，因此，結構主義的基本思想方法不是一種發明創造的方法。

結構主義方法既有它的積極作用，但也有一定的局限性。按照傳統的分類方法，人們總是習慣于把數學分為代數、幾何、分析三大類。按照這種分類，一些不同的數學對象，卻說不清楚它們之間的區別究竟是什么，而另一些不同的數學對象之間卻有著明顯的共同點。例如，數的加法、多項式的加法、向量的加法等等，它們為什么都叫“加法”？實數和復數都可以進行四則運算，都有絕對值，似乎差別不大，但是復數偏偏沒有大小，為什么復數無大??？實數與復數的本質區別是什么？這些問題按傳統的分類方法都無法說清楚。

三、數學思維：發展學生空間想象力

在中學數學中，不僅要研究數與數、形與形之間的關系，還要研究數與形之間的關系。研究形與形之間的關系，要應用圖形來解決一些問題。同時，隨著人們對于一維空間（例如直線）、二維空間（例如平面）、三維空間（例如正方體）中的空間形式的深入研究，不斷發展對于“空間”概念的認識?！八木S空間”的思維空間，各種抽象空間都被現代數學所研究著，并獲得了廣泛而深刻的應用。因此，我們在中學數學教學過程中，不僅要使學生形成積累空間觀念，要讓學生掌握空間形式的常用表達方法，還要研究圖形之間的關系，發展學生的空間想象力。圖形之間的關系可以分為三類：一是同類圖形之間的關系，二是不同類圖形之間的關系，三是數與形之間的關系。

1. 同類圖形之間的聯系

三角形的全等與相似是平面幾何的基礎內容之一，應當結合它們的教學不斷豐富空間想象力，提高邏輯思維與運算能力。

圓與圓的位置關系比較復雜，但可以歸納為如下最基本的五類：相離、外切、相交、內切、內含。主要定理有：兩圓相交，連心線垂直平分它們的公共弦；兩圓外切，切點在連心線上，圓心距d=R+r，反之也對；兩圓內切，切點在連心線上，圓心距d=R-r，反之也對；兩圓的兩條外公切線相等，兩條內公切線也相等。

如已知兩圓相切，求證連心線垂直于過切點的公切線。

已知：圓O1與圓O2外切于P點，ABC與圓O1相切于P點。

求證：APB與圓O2也相切于P點，且AB⊥O1O2。

證明：∵APB與圓O1相切于P點，

∴AB⊥上PO1，

又∵圓O1與圓O2外切于P點，

∴P點在O1O2上，

∴AB⊥O1O2 ，

∵AB⊥上PO1，

∴AB與圓O2也相切于P點。

討論：本題還有兩圓相內切的情形，留給大家證明。

因為兩圓相切時，圓弧和圓弧在切點處平滑地連接起來，所以在實際中有許多應用。

一般稱兩圓外切的連線為外連接；兩圓內切的連接為內連接。畫連接圖時，主要矛盾是如何確定圓心的位置。

2. 不同類圖形之間的聯系

不同類圖形之間的關系比較多，也相當復雜。其中，圓和多邊形的聯系是平面幾何中最主要的關系，大量的習題都與此有關，我們在教學時要注意對這類問題的分析。另外，還有圓與三角形、圓和四邊形、圓和正多邊形等各種關系。

3. 數與形之間的聯系

在中學階段，數與形的關系主要體現為銳角三角函數與勾股定理的關系、坐標法。我們在教學中，應當教會學生有關的基礎知識，同時，要有意識地發展他們的空間想象力，并進行唯物辯證法的教育。

如直角三角形的邊角關系：在直角三角形ABC中，有下列重要關系（如圖）：

（1） 三角之間的關系：∠C90°，∠A+∠B=90°。（2） 三邊之間的關系：勾股定理：a2+b2=c2。（3） 邊角之間的關系：SinA=a/c，cosA=b/c，tgA=a/b，ctgA=b/a。

解直角三角形是解一般三角形的基礎，因為任何一個三角形都可以分成兩個直角三角形。正是通過這種聯系，我們可以得到正弦定理、余弦定理。我們可以這樣認為：余弦定理可以看成是勾股定理在一般三角形中的推廣；而在直角三角形中，正弦定理就轉化為銳角正弦函數的定義了。

四、笛卡兒關于數學思維的兩個基本想法

在數學思維中，有一個共同的特點，就是要用代數的方法來解決幾何問題。例如，關于三角形和圓的某些問題，因為有了三角函數與勾股定理、正弦定理、余弦定理之后，可以用代數方法來解決了。

笛卡兒在他所生活的時代里，想創造一種方法來解決所有幾何問題。結果，笛卡兒實現了他的愿望，建立了今天被稱之為《解析幾何》的理論。

笛卡兒的成功，主要在于有兩個基本想法，一是坐標概念，二是坐標方法。

在笛卡兒之前的時代，每當人們遇到含有兩個未知數的代數方程F（x，y）=0時，大家都說問題的解答是不定的，由一個方程無法決定兩個未知數的值，并且把這種方程Hq做“不定方程”。除了少數數學家研究“不定方程”的有關問題外，一般的人都認為這種問題不值得特別關心，例如研究整系數不定方程的整數解問題。

笛卡兒卻不然，他不認為方程是“不定的”。笛卡兒開創了整整一門新的學科——解析幾何學。特別重要的是，笛卡兒的解析幾何為微積分理論的創立準備了條件。完全可以這樣說：微積分方法的創立，如果沒有解析幾何的預先發展，是難以想象的。關于解析幾何與微積分的具體內容我們在這里就不作敘述了。

另外，邏輯思維方法與非邏輯思維方法是數學中重要的思維方法。數學思維方法是數學思維活動必須遵守的規則，是數學思維運算獲得成果的必不可少的手段。但是，數學本身還有一些重要的方法，這些方法都是數學所固有的，都稱為數學方法。再者，研究、掌握數學方法還能夠豐富辯證邏輯的內容。同時應該指出，在中學數學中，并不是所有問題都能夠通過化歸思維方法來解決的，要對具體問題進行具體分析。如何尋找正確的化歸途徑和怎樣選擇恰當的轉化手段等技巧問題，是運用化歸思維方法解決問題的關鍵。

應該說，我國中學數學界對思維的研究還處于起步階段。對于一個具體的方法來說，我們還很難清楚地說出它的哲學基礎、它的邏輯依據、它的主要功能、它的基本形式與實施程序，以及與它相關的方法鏈或知識鏈、它的教育價值等；至于數學方法的層次，則更難以理順清楚。這都有待于我們進一步去研究、探討并付諸實踐。