展示思維過程，促進長效發展

盧錫娟

［摘? 要］ 隨著新課改的推進，各種先進的教學理念與教學手段層出不窮，實踐證明一切革新都建立在“以生為本”的基礎上，以充分展示學生的思維，促進學生長效發展為目標. 文章從概念教學、公式定理教學、例題教學與試卷講評四方面著手，通過幾個實例具體談談如何在教學過程中展示學生的思維，以促進學生獲得可持續發展能力.

［關鍵詞］ 思維；概念；公式；例題教學

數學教材所呈現的知識一般按照形式邏輯展開，內容以演繹論證為主，這就在一定程度上掩蓋了概念、定理、公式等的原始思維過程. 平鋪直敘的表述方式，導致學生缺乏嘗試、挫折與思維變化歷程，而出現似懂非懂、知其然卻不知其所以然的狀態，嚴重影響學生對數學知識、思想、方法的理解與應用［1］. 事實證明，充分展示學生的思維是促進學生長效發展的關鍵，為此筆者從不同教學環節著手，對如何展示學生的思維展開分析.

經歷概念的應用過程

數學概念作為數學知識體系中的基本組成單位，常由現實世界中的數量關系或幾何特征抽象而來，概念的形成過程一般遵循以下規律：事例展示—抽象本質—推廣應用. 想讓學生深刻認識概念，就要在感性認識事物的基礎上通過觀察、類比、分析，探尋出事物的本質特性.

鑒于概念一般都由生活實踐抽象而來，用一般性的文字語言進行表述會讓學生感到抽象且難以理解，教師可通過各種教學手段帶領學生來到概念的發源地，讓學生親歷概念形成與發展的過程，通過正反例子的類比、提煉，從真正意義上理解、掌握概念.

如直觀法的應用，可讓抽象、拗口的概念生成看得見、摸得著的事物，學生親歷其形成與發展的過程，對概念產生形象化認識. 當學生對概念有了一定認識后，再通過問題帶領學生深挖概念的內涵與外延，可讓學生從真正意義上理解、掌握概念的本質，為后續學習夯實基礎. 這種方法能有效激發學生的學習興趣，充分展現學生思維發展的過程，提升學生的抽象素養.

案例1 “函數的單調性”的教學.

當學生對導函數、函數單調性等概念有了一定認識后，教師可設置問題串來充盈學生的思維，讓學生在展示思維時達到理解、鞏固與靈活應用概念的目的.

（1）求證：f（x）=x-sinx在R上為單調遞增函數.

（4）若f（x）=x3+mx-2在（1，+∞）上為單調遞增函數，則實數m的取值范圍是什么？

對于問題（4），需從側面來分析，由f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立這個條件，借助求最值法，易得m∈［-3，+∞）. 求解問題（5）需從函數不單調的意義出發，也就是函數在某個區間內存在有增有減的情況，即f′（x）在區間內既可以大于等于0，又可以小于等于0，反映f′（x）=0的解位于區間內，存在m<1

上述五個問題緊扣函數的單調性，從低起點出發，由淺入深地展開，照顧到每一個認知水平層次的學生，讓學生的思維隨著小跨度的臺階拾級而上. 學生解決每一個問題的過程就是暴露自身思維的過程，而學生思維的展示則是獲得解題方法與技巧的重要途徑.

概念是數學的核心，反映數學對象的本質特性與內在聯系，它是數學思想方法形成的重要載體，也是促進學生數學抽象素養、文化素養、建模素養、概括能力、推理能力形成的關鍵. 學生在概念應用中，不斷展示自己的思維，將概念逐漸內化為知識網絡的各個節點，為掌握解題技巧夯實基礎.

親歷定理或公式的形成過程

定理或公式的形成與概念一樣，經歷了漫長的歷史洗禮，想讓學生掌握其本質，需要引導學生將思維過程完全展示出來，從最大限度上激發學生的潛能，使學生深刻認識定理或公式等，為發展思考與應用能力奠定基礎.

教師不論多么精彩的講解都無法代替學生自主的思維，“以生為本”的教學活動不僅能讓學生體驗定理或公式的推導過程，還能讓學生感知數學的獨特魅力，從而產生同數學家一樣的研究數學的想法，促進創新意識與核心素養的發展.

有些定理或公式本身的推導或證明過程就是一種重要的解題思路，這種解題思路為后續解題起到良好的示范作用［2］. 鑒于此，教師應引導學生親身體驗定理或公式的推導或證明過程，并讓學生將思維充分暴露出來，為學生形成可持續發展能力奠定基礎.

案例2 “三角恒等變換”的教學.

三角恒等變換公式對于初學者而言稍有難度，教師若能放慢腳步，帶領學生親歷公式形成與發展的過程，讓學生的思維充分展示出來，往往能得到事半功倍的教學效果.

首先，從學生已經掌握的公式cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ入手，引導學生推導出cos（α+β）的展開式. 通過觀察發現，僅需將上述公式中的β換成－β，再由誘導公式推導，不難獲得cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ.

為了夯實學生的思維基礎，教師可在此處配備相應的鞏固練習：

在學生思維展示的基礎上，再安排逐層遞進的練習訓練，不僅讓學生的思維實現由淺入深的發展，還將三角恒等變換公式的本質完全顯露了出來，為建模做好了鋪墊. 親歷公式的推導過程，不僅深化了學生對公式的掌握，還落實了變角策略的應用，讓學生的思維得到了進一步發展.

感知例題的探索過程

例題教學是數學課堂的靈魂，不僅能鞏固學生所學知識，還能促進學生的思維發展. 教材上所呈現出來的例題都是編者經過深思熟慮而創設的，雖然具有科學、嚴謹、經典等特征，但教師在實際應用時，仍要結合學生的實際認知水平進行詳略得當的使用，必要時也可以結合學情與教情，進行針對性的增減，讓學生利用最少的問題取得最大的進步.

當然，教師也不能一味地為了凸顯自己的“與眾不同”，隨意替換或刪減教材中的例題. 教師應靜下心來潛心研究教材中的每一個例題，最大化地發揮例題的價值，并結合學情擇優應用.

學生個體有差異是客觀存在的事實，因此，在例題教學中，應一步一個腳印地展露學生的解題思維，讓每一個學生都能明白每一步的必要性與重要性，堅決杜絕忽略基礎薄弱的學生，出現跳步現象，否則會消減這部分學生的學習信心，導致兩極分化情況的出現.

案例3 “基本不等式”的例題教學.

當學生掌握基本不等式的概念后，教師可結合學情選擇經典例題進行講解；當學生順利完成教材例題和配套練習題后，教師可帶領學生進入“用基本不等式求最值”的問題探討中，對于“換元法”與“配湊法”的應用，可通過以下兩類問題的補充來深化學生的理解.

（2）已知x，y∈R，同時x2+2xy－3y2=1，則z=x2+y2的最小值是多少？

章建躍教授認為：數學教學是應用教材而非教教材，教師應仔細甄別編者的意圖，不囿于教材的條件是深刻理解教材并充分把握學情［3］. 對于本章節的“換元法”與“配湊法”的應用，筆者結合學生實際情況，在“理解學生”的基礎上設計了上述兩類問題，充分展示學生思維的同時深化了學生對知識的縱深理解，為知識的遷移奠定了基礎.

體驗試卷的講評過程

考試是檢驗教學成效的手段，試卷講評起到提煉、鞏固與提升的作用. 當前，高考背景下的數學教學普遍存在不太重視試卷講評的情況. 殊不知，試卷講評過程中展示學生的思維過程，不僅能使學生厘清對知識結構的認識，還能從一定意義上幫助學生建構完整的知識結構，讓學生從中獲得良好的解題技巧.

試卷講評切忌不分對象與內容，胡子眉毛一把抓籠統講解. 事實上，每一個學生存在的問題并不一樣，即使是同一個問題也可能存在多個小問題，這要求教師通過一定的教學手段，讓學生在有限的講評中獲得舉一反三的能力. “就題論題”顯然不能實現這樣的目標，而根據問題引導學生自主編題，一則能激發學生的興趣，二則能激發學生的潛能，讓學生積極深入思考，形成以不變應萬變的解題能力.

案例4 “橢圓綜合問題”的講評.

既然“就題論題”并非講評的終極目標，于是在學生掌握本題求解方法的基礎上，筆者要求學生基于該問題自主編擬新問題，揭露學生思維過程的同時發展學生的創新意識.

觀察學生所編擬的新問題，不僅充分展示了學生逐層深入的思維變化歷程，還凸顯學生對知識點的寬度與深度理解. 隨著新問題的解決，筆者再要求學生對整個求解過程進行反思與提煉，以讓學生通過解決一個問題，獲得解決一類問題的能力.

總之，數學是思維的體操，教師在每一個教學環節都應注重學生思維的展示，讓學生在主動參與和積極思考中不斷成長，形成可持續發展能力.

參考文獻：

［1］ 鄭毓信，肖伯榮，熊萍. 數學思維與數學方法論［M］. 成都：四川教育出版社，2001.

［2］ 教育部考試中心. 以真情實景落實“五育并舉” 以理性思維踐行“立德樹人”——2019年高考數學試題評析［J］. 中國考試，2019 （07）：7-10.

［3］ 章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續4）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫［J］.中學數學教學參考，2019（28）：7-11.