優化運算過程 提高運算能力

［摘? 要］ 對于同一個問題，不同運算思路導致的運算量有著天壤之別，尤其在解決解析幾何問題時，運算思路的選擇與優化異常重要. 研究者以一道關于圓錐曲線問題的運算教學為例，探討不同運算思路所帶來的不同運算過程，并就此從“明確運算對象”“設計運算思路”“探尋癥結所在”“尋求矯正方法”“優化運算素養”五方面談談幾點思考.

［關鍵詞］ 運算思路；運算過程；圓錐曲線；運算對象

筆者在近些年的教學實踐中發現學生“會而不對、對而不全、全而不優”的現象非常普遍，究其主要原因在于學生對運算對象、法則、思路等的掌握不足. 為此，筆者以一道關于圓錐曲線問題的運算教學為例展開分析.

教學實踐

1. 直接運算

從例題的題設條件與結論來看，該題條理清晰，解決思路明朗. 既然要求的是點P的坐標，就可以先直接設點P的坐標，再通過題設條件用點P的坐標表示點Q的坐標，然后將其代入橢圓E的方程中，建立關于點P的坐標的方程，最后聯立方程，解決問題.

課堂上，大部分學生應用上述思路解題. 新課標關于數學運算素養水平提出了明確的要求：（水平一）能夠在熟悉的數學情境中了解運算對象，提出運算問題；能夠了解運算法則及其適用范圍，正確進行運算；能夠根據問題的特征形成合適的運算思路. 解析幾何的運算，基本上是將幾何問題轉化成代數問題，借助代數方法進行運算. 因此，選擇直接運算法在情理之中. 但這種方法屬于水平一的層面，想要進一步提升學生的運算水平，可以優化本題的運算方法.

2. 合理運算

新課標提出的數學運算素養水平二是：能夠在關聯情境中確定運算對象，提出與運算相關的問題；能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設計運算程序，運算求解. 事實證明，將向量作為運算對象，借助向量方法，亦可把幾何問題轉換成代數問題. 關于上述例題所提到的兩個垂直關系，可從向量數量積為零的角度去分析. 鑒于此，筆者提出問題1，以啟發學生的思維.

問題1 除了應用直線斜率之積是“-1”對上述例題中的兩個垂直關系進行處理外，還可以擇取哪些運算對象對這兩個垂直關系進行刻畫？

設計意圖 設計此問的目的主要是將“向量”這一運算對象引入學生的思維，為學生提供思維導向.

從解法1來看，雖說引入點Q后，整體感覺參數變多了，但因為向量數量積為零，所以獲得的代數式能借助整體思想來化簡，從而探尋出坐標間存在的等量關系，新的解題思路浮出水面.

例題存在豐富的幾何背景，為此筆者又特別設計了如下兩個問題（問題2和問題3）供學生思考交流，以深化學生的理解.

設計意圖 設計此問的目的是引導學生根據圖形聯想到焦半徑問題，并自然而然地利用橢圓的第一定義和第二定義去思考問題.

設計意圖 問題3建立在問題2的基礎上，在引導學生聯想到焦半徑后根據兩個垂直關系來構造直角三角形，以凸顯兩組焦半徑之間存在的聯系.

問題2和問題3的提出，不僅讓學生明確了處理此類問題的方法，還開闊了學生的視野，拓展了學生的思維，為學生形成觸類旁通的能力奠定了基礎. 在問題2和問題3的引導下，學生自主提出可從以下兩個角度來處理例題.

解法2 借助橢圓的第一定義解題（角度1）.

借助橢圓的第二定義解題（角度2）.

3. 優化運算

隨著例題探究的深入，在課堂時間允許的情況下，還可以進行變式拓展，更深層次地訓練學生應用“圓錐曲線中運算優化策略”，促進學生運算能力的提升.

幾點思考

1. 明確運算對象

想要發展運算素養，首先要明確運算對象. 通常情況下，高中數學涉及的運算對象有數、代數式、數列、向量等. 一旦確定了運算對象，那么運算目標的設置就有了方向，在目標明確的情況下再實施精準教學.

2. 設計運算思路

運算能力不是單純地指學生的數學操作能力，還與學生的思維有關. 因此，就解析幾何而言，教學有兩個關鍵點，一是思路方法的研究，二是運算能力的培養［1］. 這告訴教師：同一情境中，可設定不同的運算思路與程序，引領學生從多個角度去分析題干與運算相關的條件，逐步探尋運算方向，擇取合適的運算方法和運算程序，使得運算過程更加簡潔、合理.

如本節課教學，學生對解法1比較熟悉，這也是大部分學生首選的解題方法. 基于運算對象的角度來看，設定點P后，接下來就涉及數和代數式的運算過程. 若能帶領學生從垂直的角度往下繼續深挖，可引入新的運算對象向量來分析，由此獲得解法2. 若將焦點三角形作為運算對象，又能順利得到第三種解法.

由此也可以看出，從不同角度來理解運算對象，所獲得的運算思路有著天壤之別. 這也是為什么要將運算對象的確定放在首位.

3. 探尋癥結所在

不少學生學習解析幾何時，常常忽視運算，也有些教師在課堂上講解解析幾何問題時，只與學生探討一下解題思路，很多時候直接忽略運算過程. 正是師生對運算的不重視，導致學生運算少，遇到實際運算時錯誤百出，甚至看到冗長繁雜的運算就直接打退堂鼓.

鑒于學生的個體差異性，每一個學生在運算時呈現出來的問題各不相同，外顯出來的常見問題有思維習慣與運算習慣之差，有些學生的運算缺乏科學性……因此，教師先要弄清楚學生在運算方面存在的問題，然后才能探尋出有效的應對措施.

4. 尋求矯正方法

一旦確定問題的癥結，就可對癥下藥：①通過各種途徑讓學生明確運算在數學學習中具有怎樣的地位、意義與價值，在日常作業、練習中適當地增加運算量；②培養學生的運算習慣，引導學生弄清楚運算的“得分點”是什么；③給予學生充足的運算時間，讓學生在自主探索中掌握運算技巧；④鼓勵學生養成整理錯題的習慣，尤其注意區分一些容易混淆的運算類型，可以通過“慢節奏”的方式夯實基礎.

5. 優化運算素養

提升學生的運算素養，并非單純提升運算技巧、速度等，更重要的是引導學生明確運算對象的作用、意義等. 學生只有深刻體會到運算對象的內涵，才能從真正意義上提升運算素養. 例如解法2就是從向量的內涵出發去解題，這種解題思路顯然比解法1更簡便. 由此也能看出數學運算素養的發展，首先要擁有一雙善于觀察的眼睛，能擇取合適的運算對象來簡化運算.

波利亞提出的四步解題法為：理解問題、擬定計劃、實施計劃、回顧反思［2］. 這四個步驟對運算素養的培養同樣具有一定的參考意義：一方面，教師應帶領學生弄清楚運算對象是誰，運算法則是什么，在此基礎上再探究運算方法，實施運算，獲得結論；另一方面，針對學生存在的個體差異以及運算的“拐點”等，教師進行適當點撥與引導，捕捉學生在運算過程中存在的錯誤類型，與學生一起探尋運算失誤的原因，為采取行之有效的應對措施奠定基礎.

總之，優化運算能力需要經歷一個漫長的過程，“速成法”固然行不通，“題海戰術”更不現實. 這就要求教師在日常教學中，盡可能引導學生從運算對象、運算法則與運算目標等角度出發，解決“怎樣算”“這么算的原因是什么”等問題. 同時，不論是課堂練習，還是課后作業等，學生都要養成良好的運算習慣，規范運算的每一個環節與步驟，達到會算且算對的目的，以從真正意義上提升數學學科核心素養.

參考文獻：

［1］ 崔志榮. 解幾運算教學? 讓學生吃點“虧”也好［J］.數學通報，2018，57（09）：60-62+66.

［2］ 波利亞. 怎樣解題：數學思維的新方法［M］. 涂私，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2007.

作者簡介：錢佶忠（1983—），中學一級教師，常熟市數學學科帶頭人，常熟市優秀高三青年教師，從事高中數學教學工作.