靈活解題，培養學生創新思維

顏小兵

數學的創新思維要求學生敢于質疑，敢于創新，探索不同解法之間的異同點，通過對不同之處作比較，類似之處尋根源，不斷提升解題能力和思維品質。

一、原題呈現

例題 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，點F為邊BC的中點，點D從點C出發沿CA向點A運動，到點A停止，以FD為直角邊作等腰直角三角形DEF，點G為斜邊EF的中點，求點G運動的路徑長為多少？

此題為一道中考復習練習題。教師在解決這類問題時，首先要讓學生弄清點G在運動過程中，其運動路徑是什么形狀，找出點G運動的起點和終點，才能根據相關計算求出路徑的長度。在解題教學的過程中，教師應關注學生創新思維的培養。

二、教學過程

1.合作探究，把握問題

師：同學們，要想求出點G運動的路徑長，你們認為點G運動的路徑是什么？

生1：我認為點G在一條直線上運動。

生2：我認為點G的運動軌跡是線段。

師：為什么？請大家分組討論。

學生分組討論。經過一番討論后，大部分學生得到以下猜想：點G的運動可以參照點E的運動，因為點G是線段EF的中點，點G始終隨著點E的運動而運動，可以由點E的運動軌跡求出點E的路徑長度，從而確定點G的路徑長度。

師：大家說得都很好，思維很活躍。同學們能否聯想到基本模型，去確定點E的運動軌跡呢？

生3：我們可以建立平面直角坐標系，過點E作EH⊥y軸，垂足為H（圖略），利用基本模型證明三角形全等，確定點E的運動軌跡。

師：說得非常好。你說的基本模型其實就是“K”字形模型，它是平面幾何中最常見的模型之一。若能夠靈活運用此模型結論，我們就可以輕松破解本題。我們要能夠觀察發現點G的運動路徑是△EDF的中位線，探索出點G、點E的運動路徑之間的數量關系，再根據三角形的中位線定理，求出點G運動的路徑長。

2.品味模型，尋求多解

師：同學們，剛剛我們借助于點E的運動軌跡去求點G的路徑長。那么，我們能不能直接通過探究點G的運動軌跡去求點G的路徑長？

生4：可以。點G的運動軌跡應該是在一條直線上，而且是在第二、四象限的角平分線上。

師：是的，點G始終在∠ACB的角平分線上運動。這樣我們就可以由點G的起點和終點直接求出點G的路徑長度。我們可以構造“K”字形模型表示點E的坐標，然后根據中點公式求出點G的坐標，確定點G在函數y=-x的圖像上，從而求出點G的路徑。

師：既然大家都已經知道點G的軌跡在∠ACB的角平分線上，那么你能不能利用其他方法來證明呢？

生5：分別作EH、GN垂直于y軸，EQ、GM垂直于x軸。我們可以利用三角形中位線定理和梯形中位線定理求出GM和GN的長度相等（如圖2），然后利用角平分線的逆定理判斷確定點G始終在∠ACB的角平分線上運動，從而求出點G的路徑。

3.深化問題，創造多解

師：同學們，只有一組對角是直角的四邊形，我們把它稱之為“損矩形”。你能不能利用“損矩形”GFCD的特征，證明點G到∠ACB的兩邊的距離相等？

生6：連接GD，分別過點G作AB、AC的垂線段。

（學生板書略。）

師：很好，通過直接探討點G的運動軌跡，運用“損矩形”的特征，證明了點G到∠ACB的兩邊的距離相等，再根據角平分線逆定理，從而確定點G始終在∠ACB的角平分線上運動。同學們，還有其他證明方法嗎？

（學生沉默片刻，教師繼續引導。）

師：根據剛才提出的“損矩形”的特征，我們連接它的兩個非直角頂點的線段，這條線段叫作損矩形的直徑，你們發現點G、F、C、D之間有什么關系？

生7：四點共圓。

師：為什么？

生7：我們分別連接GC、GD，取公共斜邊FD的中點O，連接GO、FO、CO、DO，可以證得GO=FO=CO=DO，所以它們四點共圓。

師：說得非常好！怎樣說明點G在∠ACB的角平分線上呢？

生8：連接GC、GD，根據同弧所對的圓周角相等得到，∠GCF=∠GDF=45°。因為∠ACB是直角，從而直接確定點G始終在∠ACB的角平分線上運動。

師：那我們怎樣去求線段的長度呢？

眾：因為點G的運動軌跡是一條線段，我們直接利用兩點間的距離公式就可以求出點G運動的路徑長。最后求出點G運動的路徑長為3[2]。

三、教學反思

習題講評課不能僅停留在對錯題的分析、講解上，而應更加關注學生思維能力的發展，以題目為支點，撬動學生良好思維品質的發展。在本題中，筆者從辨別圖形結構、挖掘基本圖形入手，不斷追問，拓展問題，讓學生認清問題本質。特別是在中考前夕的復習課中，教師應精心選擇例題，結合多方面的知識點，從多角度探索典型例題的不同解法。同時，教師還要給足學生思考的時間，適時引導并留白，啟發學生思考，讓學生發揮想象力，創造性地產生許多新的解題方法，引導學生深入探究反思，發展數學學科素養，培養創新思維。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）