從“點(diǎn)、面”到“體”的自主跨越
——“表面涂色的正方體”教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省南京市雨花臺(tái)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 靳 穎

【教學(xué)內(nèi)容】蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第26～27頁。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.學(xué)生把表面涂色的正方體切成若干同樣大的小正方體，探究表面涂色的小正方體的各種情況，并發(fā)現(xiàn)隱含規(guī)律。

2.學(xué)生積累探究數(shù)學(xué)規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，初步感悟模型思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維和空間觀念。

3.學(xué)生在探索數(shù)學(xué)規(guī)律的過程中感受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，獲得發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的愉悅體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

探索、發(fā)現(xiàn)和表達(dá)小正方體中表面涂色面的個(gè)數(shù)的規(guī)律及在大正方體中的位置和彼此之間隱含的規(guī)律。

【教學(xué)準(zhǔn)備】

課件、表面涂色的正方體學(xué)具、實(shí)驗(yàn)單等。

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入，引發(fā)問題

師：請(qǐng)看（課件播放學(xué)生走方陣表演），同學(xué)們正在操場(chǎng)上進(jìn)行方陣表演慶祝國(guó)慶節(jié)！幾行幾列？（生：4行4列）

師：為了方便研究，我們把人看作小圓點(diǎn)，請(qǐng)看課件（課件播放圖1）幾行幾列？（生：2行2列、3行3列、4行4列、5行5列、6行6列）還可能更多行更多列……

圖1

課件出示：

師：為了表演的美觀，方陣最外圈除了4個(gè)角上的同學(xué)穿黑色衣服，其他同學(xué)穿灰色衣服，除去最外圈的同學(xué)，中間的都穿白色衣服。（課件播放點(diǎn)陣圖中對(duì)應(yīng)位置的點(diǎn)分別變成黑色、灰色和白色）

課件出示 （●表示穿黑色衣服，▲表示穿灰色衣服，■表示穿白色衣服，見圖2）

圖2

師：分別說說每個(gè)方陣圖中黑色、灰色、白色的點(diǎn)各有多少個(gè)，并說說你是怎樣想的。

【思考】由生活情境引出方陣，逐步呈現(xiàn)2行2列、3行3列等的點(diǎn)陣圖，借助生活情境中方陣最外圈4個(gè)角上的同學(xué)穿黑色衣服，其他人穿灰色衣服，除去最外圈的人，中間的人都穿白色衣服，進(jìn)而提出問題：“分別說說每個(gè)方陣圖中黑色、灰色、白色的點(diǎn)各多少個(gè)，并說說你是怎樣想的”調(diào)動(dòng)學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生借助情境找到自我學(xué)習(xí)的“舒適區(qū)”。

二、喚醒經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)入新課

（一）點(diǎn)陣圖中，初識(shí)規(guī)律

師：誰來匯報(bào)每個(gè)方陣中黑色、灰色、白色的點(diǎn)各有多少個(gè)，并說說你是怎樣想的？

生1：每個(gè)方陣中的黑色點(diǎn)都是4個(gè)，灰色點(diǎn)分別是4個(gè)、8個(gè)、12個(gè)、16個(gè)，白色點(diǎn)分別是1個(gè)、4個(gè)、9個(gè)、16個(gè)。

師：每個(gè)方陣中灰色的點(diǎn)是怎樣計(jì)算的？白色的呢？

生2：方陣中灰色點(diǎn)在4條邊上，是（每條邊上的點(diǎn)子數(shù)-2）×4 個(gè)；白色點(diǎn)是去掉最外圈后剩下的點(diǎn)，在方陣的中間，是（每條邊上的點(diǎn)子數(shù)-2）2個(gè)。

生3：用n行n列概括所有方陣中每種顏色點(diǎn)的個(gè)數(shù)，黑色點(diǎn)在方陣的4個(gè)角上，灰色點(diǎn)在方陣的邊上是（n-2）×4個(gè)，白色點(diǎn)在方陣的中間是（n-2）2個(gè)。[板書：4 黑 （n-2）×4 灰 （n-2）2 白]

師：同學(xué)們解決了方陣中點(diǎn)的涂色問題，還發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律！

（二）方格圖中，重現(xiàn)規(guī)律

師：請(qǐng)看屏幕（課件播放圖3：點(diǎn)陣圖中黑色、灰色、白色的點(diǎn)分別變?yōu)橄鄳?yīng)顏色的小正方形，點(diǎn)陣圖變成方格圖。）發(fā)生了什么？

圖3

課件出示：

生：點(diǎn)陣圖變成了方格圖。

師：什么變了？什么沒變？

生：小圓點(diǎn)變成小正方形，點(diǎn)變成了面，形狀發(fā)生了變化，每種顏色圖形的個(gè)數(shù)和所在的位置沒變。（板書：面）

師：你能用一句話或一個(gè)式子概括出這幾個(gè)方格圖中黑色、灰色、白色的小正方形的個(gè)數(shù)嗎？怎樣計(jì)算？

生：每個(gè)方格圖中黑色小正方形都在角上，是4個(gè)；灰色小正方形都在邊上，是（每條邊上的方格數(shù)-2）×4個(gè)；白色小正方形在中間，是（每條邊上的方格數(shù)-2）2個(gè)。

師：大家同意他的說法嗎？誰來再說一遍？如果是10行10列呢？n行n列呢？

生：黑色的都是4個(gè)，灰色的是4（n-2）個(gè) ，白色的是（n-2）2個(gè)，與方陣的特征和小正方形在方陣中的位置有關(guān)。

師：說得真好！同學(xué)們通過探究不但解決了方陣圖中各種顏色圖形的個(gè)數(shù)問題，還用簡(jiǎn)潔的式子概括出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（三）立體圖中，猜想規(guī)律

師：請(qǐng)看課件（課件播放2×2的方格圖變成2×2×2的正方體），又發(fā)生了什么？

生：面變成了體。（板書：體）

師：（手拿2×2的方格圖）這個(gè)平面圖形有1個(gè)面，（手拿2×2×2的正方體）這個(gè)正方體有幾個(gè)面？（生：6個(gè)）它的棱等分成2份，切開后等分成多少個(gè)小正方體？[生：2×2×2=8（個(gè)）]

師：（課件播放2×2、3×3、4×4、5×5、6×6的方格圖分別變成2×2×2、3×3×3、4×4×4、5×5×5、6×6×6的正方體，方格圖消失的同時(shí)正方體出現(xiàn)，見圖4。）正方體的棱等分成幾份？（生：2份、3份、4份、5份、6份）

圖4

課件出示：

師：（拿起棱等分成3份的正方體）這個(gè)正方體的表面涂上顏色，沿著棱切開，得到的每個(gè)小正方體會(huì)出現(xiàn)怎樣的涂色情況？它們的涂色是否和剛才研究的平面圖形一樣有一定的規(guī)律呢？（生舉手）

師：都有想法了！這就是我們今天要探究的問題——正方體的涂色問題。（板書課題：正方體的涂色問題）

【思考】先找出方陣中相應(yīng)顏色點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再由“點(diǎn)”變“面”，點(diǎn)陣圖變成方格圖，在“什么變了，什么沒變”的追問中，學(xué)生經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)只是形狀發(fā)生了變化，位置和每種顏色圖形的個(gè)數(shù)沒變，把點(diǎn)陣圖中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律自然遷移到方格圖中，解決了方格圖中的涂色問題。接著，由方格圖變?yōu)檎襟w，由“點(diǎn)、面”自主跨越到“體”，提出問題：“正方體的表面涂上顏色，沿著棱切開之后，得到的每個(gè)小正方體會(huì)出現(xiàn)怎樣的涂色情況？它們的涂色問題是否也像剛才研究的點(diǎn)陣圖和方格圖一樣有一定的規(guī)律呢？”順應(yīng)學(xué)生的思維，引發(fā)猜想，探究新知。

三、實(shí)踐操作，探究新知

（一）操作交流，探究問題

師：我們帶著剛才的問題繼續(xù)探究。

課件出示（見圖5）：

圖5

1.介紹活動(dòng)要求：每組選兩個(gè)正方體，探究表面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)，分工合作，做好記錄。比一比，算一算，看哪個(gè)組最先完成任務(wù)，請(qǐng)先完成的小組把你們的研究成果展示在黑板上，并請(qǐng)小組代表匯報(bào)你們組的探究成果及想法。

2.學(xué)生在音樂聲中分工合作，探究交流。（小組展示探究結(jié)果，并上臺(tái)匯報(bào)）

組1：我們組探究的是棱等分成3份的正方體的表面涂色問題（拿起棱等分成3份的表面涂色的正方體），切成3×3×3=27（個(gè)）小正方體，3面涂色的小正方體在頂點(diǎn)處有8個(gè)；2面涂色的在棱上，每條棱上有“3-2”個(gè)，12條棱有12個(gè)；1面涂色的小正方體在每個(gè)面的中間，每個(gè)面上有1個(gè)，6個(gè)面共有6個(gè)。大家同意我們組的觀點(diǎn)嗎？還有什么問題嗎？

生2：為什么3面涂色的小正方體都在頂點(diǎn)處呢？?jī)擅嫱可亩荚诶馍夏兀?/p>

組1：頂點(diǎn)是正方體三條棱相交的點(diǎn)，每?jī)蓷l棱組成了一個(gè)面，所以三面涂色的都在頂點(diǎn)處。兩個(gè)面相交成棱，所以兩面涂色的都在棱上。

（兩個(gè)組的代表借助表面涂色的正方體，分別介紹棱等分成4份、5份的大正方體切開后得到的1面、2面、3面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)及探究過程。）

師：耳聽為虛，眼見為實(shí)！（課件播放）這是棱等分成4份的表面涂色正方體，共同驗(yàn)證1面、2面、3面涂色的小正方體分別在大正方體的哪里？各有幾個(gè)？

師：（課件播放，驗(yàn)證棱等分成4份的正方體切開后3面、2面、1面涂色的小正方體所在的位置及個(gè)數(shù)，結(jié)合驗(yàn)證過程提問）

課件出示（見圖6）：

圖6

師：這是______________（生：3面涂色的小正方體在頂點(diǎn)處）有幾個(gè)？（生：共有8個(gè)）

課件出示（見圖7）：

圖7

師：這是______________（生：2面涂色的小正方體，在棱上，共有12個(gè)）

課件出示（見圖8）：

圖8

師：這是______________（生：1面涂色的小正方體在面上，共有24個(gè)）。

師：驗(yàn)證得出我們的探究結(jié)果是對(duì)的。

【思考】由“點(diǎn)”到“面”再到“體”的自主跨越，建立了一維到二維再到三維的空間觀念，溝通了二維與三維空間的聯(lián)系，突破了知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)的限制，將在方陣圖中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律自然遷移到立體圖形中，引發(fā)猜想：“正方體的表面涂色問題會(huì)像平面圖形中的涂色問題一樣與圖形的特征有關(guān)且具有一定規(guī)律嗎？”學(xué)生帶著猜想探究驗(yàn)證、交流和討論，解決了棱等分成3份、4份、5份的正方體的表面涂色問題，初步發(fā)現(xiàn)3面、2面、1面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)與正方體的特征有關(guān)，在“面”“體”的自主跨越中，自然遷移方法，降低了探究難度。

（二）縱橫對(duì)比 概括規(guī)律

師：通過實(shí)踐操作，我們探究出了棱等分成3份、4份、5份的正方體中各種顏色小正方體的個(gè)數(shù)。

課件出示（見圖9）：

圖9

師：觀察每一列涂色的小正方體，發(fā)現(xiàn)什么？（學(xué)生在組內(nèi)討論、交流后匯報(bào)）

生1：豎著看，小正方體的涂色情況與正方體的特征有關(guān)，從第1列看3面涂色的都在正方體的頂點(diǎn)處；從第2列看2面涂色的都在大正方體的棱上；從第3列看1面涂色的都在大正方體的面上。（板書：頂點(diǎn) 棱 面）

生2：橫著看，棱等分成3份的3面涂色的小正方體每個(gè)頂點(diǎn)處都有1個(gè)，2面涂色的每條棱上有“3-2”個(gè)，1面涂色的每個(gè)面上有（3-2）2個(gè)；棱等分成4份的3面涂色的小正方體在每個(gè)頂點(diǎn)處都有1個(gè)，2面涂色的每條棱上有“4-2”個(gè)，1面涂色的每個(gè)面上有（4-2）2個(gè)；棱等分成5份的3面涂色的小正方體每個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)，2面涂色的每條棱上有“5-2”個(gè)，1面涂色的每個(gè)面上有（5-2）2個(gè)。

師：如果棱等分成6份呢？10份呢？100份呢？更多份呢？……

生1：棱等分成6份的3面涂色小正方體每個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)，2面涂色的小正方體每條棱上有“6-2”個(gè)，1面涂色的小正方體每個(gè)面上有（6-2）2個(gè)。

生2：小正方體的涂色問題與正方體的特征有關(guān)。無論棱等分成幾份，3面涂色的小正方體在頂點(diǎn)處，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，三面涂色的有8個(gè)；2面涂色的在棱上，每條棱上有“n-2”個(gè)，正方體有12條棱，兩面涂色的有12（n-2）個(gè)；1面涂色的在面上，每個(gè)面上有（n-2）2個(gè)，正方體有6個(gè)面，1面涂色的有6（n-2）2個(gè)。

[板書：8 （n-2）×12 （n-2）2×6]

師：真睿智！通過觀察、對(duì)比和想象發(fā)現(xiàn)并抽象概括出正方體涂色問題的規(guī)律。把掌聲送給愛思考的你們！（掌聲）

【思考】學(xué)生在探究棱等分成3份、4份、5份的表面涂色正方體的基礎(chǔ)上，通過縱向觀察比較發(fā)現(xiàn)3面涂色的小正方體都在大正方體的頂點(diǎn)處，2面涂色的小正方體都在大正方體的棱上，1面涂色的小正方體都在大正方體的面上。學(xué)生又通過橫向比較發(fā)現(xiàn)大正方體的棱不管等分成幾份，3面涂色的都在頂點(diǎn)處，有8個(gè)；2面涂色的都在棱上，有12（n-2）個(gè)；1面涂色的都在面上，有6（n-2）2個(gè)。學(xué)生通過縱橫對(duì)比，發(fā)現(xiàn)把表面涂色的正方體切成若干個(gè)同樣大的小正方體后表面涂色的小正方體的各種情況，感悟到正方體的棱等分成的份數(shù)不同，變化的只是顯性的數(shù)量，而變化中不變的卻是隱藏的規(guī)律，深知萬變不離其宗的是特征。由特殊到一般，由直觀到抽象，發(fā)現(xiàn)并概括規(guī)律，學(xué)生的思維在探究中不斷進(jìn)階。

四、運(yùn)用規(guī)律，拓展規(guī)律

師：我們探究出了表面涂色的正方體切成若干個(gè)同樣大的小正方體后，1面、2面、3面涂色的情況及隱含的規(guī)律，你們還有什么問題嗎？

生1：把棱等分成3份、4份、5份的正方體切開后分成的小正方體的總個(gè)數(shù)減去1面、2面、3面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)，剩下的是沒有涂色的小正方體的個(gè)數(shù)。如棱等分成3份：33=27（個(gè)），27-8-12-6=1（個(gè)），棱等分成4份的……

生2：找1面、2面、3面涂色的小正方體的方法同樣適應(yīng)找沒有涂色的小正方體，如棱等分成3份的正方體，（課件播放）正方體的左右、上下和前后面最外層的小正方體剝離掉之后，沒涂色的小正方體在正方體的中間是棱為“3-2”的正方體，有（3-2）3=1（個(gè)）；所以棱等分成幾份，沒有涂色的小正方體就有（棱等分的份數(shù)-2）3個(gè)。

課件出示（見圖10）：

圖10

師：找出了規(guī)律和關(guān)系，通過計(jì)算就能知道沒有涂色的小正方體的個(gè)數(shù)。請(qǐng)拿出棱等分成4份、5份的正方體驗(yàn)證剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，看沒有涂色正方體各有幾個(gè)。

生：棱等分成4份的正方體切開后沒涂色的小正方體是（4-2）3個(gè)；棱等分成5份的沒涂色的小正方體是（5-2）3個(gè)；棱等分成n份的沒涂色的小正方體是（n-2）3個(gè)，都在正方體中間。

五、回顧總結(jié)，拓展延伸

師：這節(jié)課我們是怎樣探究正方體的涂色問題的？

課件出示（見圖11）：

圖11

生1：我們的探究由點(diǎn)陣圖到方格圖，再到正方體，我發(fā)現(xiàn)它們的涂色問題都與圖形的特征有關(guān)。（板書：面 → 體）

生2：我還發(fā)現(xiàn)不管是研究點(diǎn)陣圖和方格圖還是研究正方體的涂色問題，都是由少到多發(fā)現(xiàn)規(guī)律的。（板書：簡(jiǎn) → 繁）

師：真厲害！同學(xué)們不但解決了表面涂色的正方體切成若干個(gè)同樣大的小正方體的表面涂色問題，還發(fā)現(xiàn)了隱含的規(guī)律，學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)。同學(xué)們還想研究什么？

生：（齊聲）長(zhǎng)方體的表面涂色問題。

師：（拿起表面涂色的長(zhǎng)方體）請(qǐng)看這個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)5厘米、寬4厘米、高3厘米，等分成棱長(zhǎng)是1厘米的正方體，猜想一下切開后分成的表面涂色的小正方體會(huì)有怎樣的情況。

生：我猜想探究長(zhǎng)方體表面涂色問題的方法與探究正方體的表面涂色問題的方法一樣，長(zhǎng)方體的棱等分成若干份切開后得到的小正方體的涂色問題也與長(zhǎng)方體的特征有關(guān)，3面涂色的小正方體在頂點(diǎn)處有8個(gè)；2面涂色的小正方體在棱（長(zhǎng)a、寬b、高c）上，有[（a-2）+（b-2）+（c-2）]×4個(gè)；1面涂色的小正方體在面上，有[（a-2）×（c-2）+（a-2）×（b-2）+（b-2）×（c-2）]×2個(gè)；沒涂色的小正方體在長(zhǎng)方體的中間，有（a-2）×（b-2）×（c-2）個(gè)……

師：這位同學(xué)的猜想是否正確呢？我們就帶著這個(gè)猜想課后繼續(xù)探究驗(yàn)證。

【思考】學(xué)生把表面涂色的正方體切成若干個(gè)同樣大的小正方體，探究出表面涂色的小正方體的各種情況及隱含的規(guī)律之后，及時(shí)組織回顧和反思：本節(jié)課是如何在自主探究中解決問題的？回顧探究過程，在從“點(diǎn)”到“面”再到“體”的自主跨越中，學(xué)生把在平面圖形中探究的方法遷移到立體圖形中，從“面”到“體”、從少到多解決問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。當(dāng)教師追問“你們還想探究什么？”時(shí)，學(xué)生脫口而出：“還想探究長(zhǎng)方體的表面涂色問題。”教師及時(shí)追問：“表面涂色的正方體的規(guī)律同樣適用于表面涂色的長(zhǎng)方體嗎？”學(xué)生的演繹思路隨之打開，把正方體表面涂色問題的規(guī)律正遷移到長(zhǎng)方體中，猜想到長(zhǎng)方體的表面涂色問題同樣與其特征有關(guān)，拓展規(guī)律，發(fā)掘了潛能，強(qiáng)化了探究學(xué)習(xí)應(yīng)有的追求精神。學(xué)生在回顧和反思中，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟活動(dòng)過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，積淀和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

上述案例，筆者主要是從以下兩方面進(jìn)行思考和教學(xué)的：一是精心選用素材，降低探究難度。正方體的涂色問題涉及幾何圖形，若只是簡(jiǎn)單地模仿記憶就遠(yuǎn)離了學(xué)生的生活實(shí)際，且增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難。為此，筆者從生活中的慶祝國(guó)慶節(jié)走方陣表演這個(gè)熟悉的生活情境入手，為了便于研究把方陣隊(duì)伍變?yōu)辄c(diǎn)陣圖，接著由點(diǎn)變面、由面變體，這樣相繼呈現(xiàn)三組學(xué)習(xí)材料（點(diǎn)陣圖、方格圖、表面涂色的正方體），新穎且順應(yīng)學(xué)生的思維特征。由“點(diǎn)”到“面”再到“體”的自主跨越，建立起一維、二維到三維的空間觀念。整個(gè)探究過程由簡(jiǎn)到繁、由易到難、由少到多、由“面”到“體”，學(xué)生經(jīng)歷了想象和抽象，把思維漸漸引向問題本質(zhì)，拓寬了視覺空間，突破了知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)的限制，溝通了二維與三維空間的聯(lián)系，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維發(fā)展順序，促進(jìn)學(xué)生思維的提升和進(jìn)階，降低了探究難度。

二是“面”“體”自主跨越，方法遷移自然。這節(jié)課并不滿足于學(xué)生會(huì)利用提升的公式計(jì)算各種涂色小正方體的個(gè)數(shù)，而是在探究和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，做到學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。通過找點(diǎn)陣圖中的各種不同顏色點(diǎn)的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和關(guān)系，正遷移到方格圖中，再把平面圖中的規(guī)律和關(guān)系正遷移到立體圖形中，引發(fā)猜想并通過實(shí)踐操作探究出表面涂色正方體切成若干相同的小正方體后，小正方體涂色面的個(gè)數(shù)以及隱含的規(guī)律，體驗(yàn)“從特殊到一般”“由簡(jiǎn)單到復(fù)雜”的探究學(xué)習(xí)，學(xué)生的探究逐步深入，知識(shí)的學(xué)習(xí)由薄到厚，“面”“體”自主跨越，方法遷移自然，思維的火花不斷碰撞迸發(fā)。