初中數學“二次函數”的教學策略研究

□ 甘肅省張掖市山丹縣南關學校 王小東

二次函數是初中數學教學的重要組成部分，它是一種圖形結合的函數，具有極強的抽象性，包含函數、數形結合、分類討論等諸多數學思想。對于初中生而言，不僅需要掌握二次函數的概念、性質與解題方法，還需要綜合運用推理、逆向思考、對比分析等多項思維模式解決問題，學習難度較大。鑒于此，本文先是闡述了初中生為何對二次函數的掌握不到位，又詳細研究了初中數學“二次函數”的具體教學策略。

一、學生“二次函數”知識點掌握不到位的原因

（一）概念理解不透徹

很多學生對二次函數的概念理解不透徹，將二次函數理解為y=ax2+bx+c（a ≠0）這一等式或坐標系中的拋物線，這就導致學生對于題目中出現y=ax2+bx+c（a ≠0）和拋物線的簡單題目，能利用相應的解題方法求解，但是針對題目中未出現y=ax2+bx+c（a ≠0）或拋物線圖像的題目，不能聯想到該題目也可以利用二次函數來做。學生對二次函數的本質不理解，也就無法在審題過程中識別出題目關于“使用二次函數解題”的暗示，在面對較復雜的二次函數問題時缺乏變通思維，不能活學活用。

（二）函數意識薄弱

二次函數是初中階段數學學習內容中較難的一部分，也是初中階段學生函數學習中最復雜的內容，很多學生存在函數意識薄弱的問題，一方面是因為學生在學習一次函數和反比例函數的相關題目、圖像和性質都較簡單，且大多可以利用方程解題，所以很多同學便沒有培養函數意識；另一方面是因為很多學生習慣性使用方程解題，而不選擇用函數解題，從而函數意識逐漸被削弱。

（三）數形結合能力欠缺

二次函數的圖像形狀和大小受二次函數解析式二次項系數、一次項系數和常數項的影響，相較于一次函數和反比例函數來說，圖像更復雜、圖像變換空間更大、可考查的知識點更多。學生要想學好二次函數，首先要具備較好的數形結合能力，一方面要求學生能通過畫出二次函數圖像的方式進行解題，另一方面要求學生能夠根據題意描述畫出對應的二次函數圖像，學生只有兼具二次函數各項系數對其性質的影響理論知識和數形結合思想，才能成功解題。

（四）不擅長總結反思

二次函數因為其復雜性和多變性，涉及題目多具有開放性，學生若是在學習過程中不具備總結反思的能力，則無法在做題過程中積累解題經驗，也無法提升對二次函數性質的理解。不擅長總結反思是很多學生對“二次函數”知識掌握不好的主要原因，針對具有較強難度和復雜度的內容，學生只有在課下融會貫通、舉一反三，才能有效提升掌握程度。學生不擅長總結反思一方面是因為學生沒有定期總結學習內容的習慣，從而逐漸喪失總結反思的能力，另一方面是學生學習壓力較大，課下時間被題海淹沒，缺少總結反思的時間。

二、初中數學“二次函數”的教學策略

（一）創設教學情境，激發學習興趣

興趣是最好的老師，要想提升二次函數的教學效果，激發學生的學習興趣是關鍵。初中數學教師可以通過創設教學情境激發學生的學習興趣。首先，初中數學教師要創設新穎有趣且符合青少年興趣愛好的教學情境。其次，初中數學教師還可以創設有用的教學情境，即讓學生意識到學好二次函數能夠解決生活中的很多問題，為了讓課堂氣氛更活躍，讓學生們更深刻地體會二次函數的用處，初中數學教師可以邀請班內學生與自己配合。

例如初中數學教師可以在上課前詢問是否有同學愿意配合自己開展一個活動，并將舉手最積極的同學叫上講臺與自己合作，利用卷尺測量該同學的身高和向上探出手臂時的最高高度，并假設該同學在投鉛球的活動中，推出的鉛球軌跡恰好與二次函數圖像重合，教師提供該二次函數的解析式和該男同學扔鉛球時的高度，要求同學們算出該同學所扔鉛球能達到的最高高度和扔出的鉛球距離。需要注意的是，初中數學教師在創設教學情境時，不僅要考慮教學情境與課程內容的契合度、教學情境的趣味性和有用性，還要注意合理安排教學情境的時間。如果初中數學教師將整節數學課設為教學情境，例如習題課安排學生開展競賽答題活動，則無須控制教學情境的時間；如果初中數學教師利用教學情境開展課程引入，則應該合理控制教學情境的時間，一般控制在3 至5 分鐘，如果有特殊情況可以適當拉長時間，但不應超過10 分鐘。

（二）適應課程改革，轉變教學方法

新課改要求教師轉變角色觀，即要求教師不再是教學過程的主導者，而變成和學生地位一致的共同學習者；還要求教師重視學生的學習需求，并為學生解決學習中的問題；要求教師與學生在課堂上開展平等的交流；要求教師立足學生能力發展水平開展教學活動，重視對學生創新能力和實踐能力的培養。所以初中數學教師要適應課程改革，及時轉變學習方法，提升學生的學習體驗，幫助學生克服二次函數學習難的問題。

首先，初中數學教師要重視學生的學習需求，可以通過每節課或定期收集學生的意見改進教學方式和教學內容。例如當學生認真反饋教師課上講解題目畫圖太過粗糙，不利于學生理解題目的時候，教師應該及時改進不足，為學生提供更好的學習體驗。

其次，初中數學教師應該重視提升學生解決實際問題的能力，而不是做題的能力。一方面，初中數學教師在備課時應該盡可能選取與現實生活聯系密切的內容輔助教學；另一方面，為了幫助學生認識到二次函數的有用性，初中數學教師可以通過改編題目的方式提升題干的趣味性和與生活的聯系密切度。

最后，初中數學教師應該放棄題海戰術，與其讓學生將課余時間全用在機械式做題上，不如留給學生總結反思的時間。鑒于很多學生總結反思能力不足，初中數學教師可以要求學生建立改錯本，每周安排學生寫反思總結周志，幫助學生開展總結反思活動。另外，初中數學教師還要在課堂上強調定期總結反思的意義，提高學生對總結反思工作的重視。

（三）利用信息技術，直觀展示圖像

二次函數圖像與性質的關系是二次函數學習的難點，主要是因為二次函數圖像變換較復雜，且學生在學習過程中不能直觀地觀察到二次函數圖像的變化情況。傳統的教學過程中，初中數學教師利用直角板等工具在黑板上為同學們展示函數圖像，但存在畫圖不標準、作圖時間長等問題。手繪函數圖像不僅效率較低，且受教師個人作圖 水平的影響較大，而利用幾何畫板等繪圖軟件繪制函數圖像，圖像清晰，教師只需要輸入函數解析式即可得到圖像，教師還可以通過調解函數圖像線條顏色幫助學生更清楚地看到不同函數解析式所對應的圖像的區別。利用信息技術直觀展示二次函數的圖像變化，一方面能豐富課程內容，引起學生的學習興趣，另一方面能讓學生更直觀地體會到二次函數的各種性質與二次函數解析式中各項系數之間的關系，從而幫助學生在解題過程中靈活應用二次函數知識。

首先，初中數學教師應該利用最簡單的二次函數，即y=ax2（a ≠0）的函數圖像做示范，讓學生通過觀察圖像的變化明確二次函數解析式中的二次項系數a 與二次函數圖像的拋物線開口方向、大小等性質的關系。二次函數y=ax2（a ≠0）的函數圖像較簡單，涉及二次函數解析式系數較少，學生容易理解，不會因為學習內容難而喪失學習信心。初中數學教師在此過程中可以與學生開展互動，活躍課堂氣氛，可以指定學生定義a 的值或提問學生從二次函數圖像中看出來的二次函數的性質。

其次，初中數學教師應該利用函數圖像在坐標系中的上下移動，其函數解析式常數項之后加向上移動單位或減向下移動單位的性質，利用y=ax2+t（a ≠0）做示范，讓學生通過觀察圖像的變化明確二次函數解析式中二次項系數和常數項對二次函數圖像的影響。

最后，初中數學教師應該利用函數圖像在坐標系中的左右移動，其函數解析式常數項之后加向左移動單位或減向右移動單位的性質，利用y=a（x-h)2（a≠0）做示范。

需要注意的是，初中數學教師還可以在講解練習題的過程中，利用幾何畫板等繪圖軟件模擬題干內容，從而幫助學生更直觀地理解題干內容，從而提升運用二次函數知識解題的靈活性。例如初中數學教師在講解如圖1所示的題目時，初中數學教師可以通過在黑板或繪圖軟件中繪制出題干描述的圖形情況，幫助學生理解題目。

圖1 例題

首先，初中數學教師可以通過黑板或繪圖軟件繪制出題目所述的直角坐標系和直角△ABC，如圖2 所示。其次，教師引導學生根據題意確定二次函數圖像的對稱軸為直線x=1.5，并要求學生在圖上做出符合要求的二次函數圖像，分析符合題目要求的二次函數圖像的特點，找出符合題目要求的二次函數圖像的臨界情況。最后，要求學生將符合題目要求的二次函數圖像臨界情況找出來，并通過將點坐標代入的方式求出a 的取值范圍。

圖2 題目所述圖形

（四）總結數學模型，提高解題效率

以較復雜的函幾結合題目為例，該類題目一般是給出動點性質求動點的具體坐標，初中數學教師可以通過課堂示范的方式幫助學生學會如何總結數學模型，然后給出專門設計的習題冊，幫助學生總結出解答該類型題目的解題模型。例如，該類題目的解題模型可分為三個步驟，首先，按照題意設動點坐標；其次，分類討論并按照題意列式計算；最后，根據題目篩選答案。其中分類討論并按照題意列式計算這一環節，題意不同，其列式方法也有所不同。例如若題目要求動點與兩定點構成等腰三角形，則應該分三類討論，并根據“等腰三角形兩邊相等”的性質，利用距離公式列式計算；若題目要求動點與兩定點構成直角三角形，則應該分三類討論，并根據直角三角形的勾股定理（a2+b2=c2），利用距離公式列式計算。下面以圖3所示題目（3）為例，示范如何使用數學解題模型提高解題效率。

圖3 函幾結合例題

圖3 所示題目（3），通過分析題干特征，可得出該題目是二次函數函幾結合題目，可以利用函幾結合解題模型提升解題效率。首先，根據題意設動點P 的坐標，題干描述動點P 在x軸上，即點P 橫坐標不確定，但縱坐標始終為0，所以點P 坐標可設為（x0，0）；其次，分類討論且根據題意列式計算，因為題目并沒有具體說明等腰△PBC 的頂角頂點的位置，所以P、B、C 三點都有同樣作為等腰三角形頂角頂點的概率。根據解題模型，當題目出現動點與兩定點構成等腰三角形，則應該根據等腰三角形兩邊相等的性質，利用距離公式列式計算。

第一種情況：當點P 為等腰△PBC 的等角頂點，則PC=PB，列式為：

解得：x0=0，所以點P 坐標為（0，0）

第二種情況：當點B 為等腰△PBC 的等角頂點，則BC=BP，列式為：

第三種情況：當點C 為等腰△PBC 的等角頂點，則CP=CB，列式為：

解得：x0=±1，，所以點P 坐標為（1，0）或（-1，0）

利用數學模型解題，一方面可以幫助學生快速鎖定解題思路，從而提高解題效率，另一方面可以提升學生的歸納總結能力，幫助學生養成創建數學模型解題的習慣，提高創建數學模型的能力，提升數學認知水平。需要注意的是，首先，初中數學教師在課上要通過示范、引導的方式讓學生自己總結數學模型，不能直接將數學模型告訴學生；其次，初中數學教師要及時歸納總結，幫助學生全面認識數學模型，即數學模型的適用題目特征、數學模型的應用方式、數學模型應用注意事項。

三、結語

初中數學二次函數的難點主要表現在函數概念、函數圖像與性質、二次函數實際應用、數形結合這四個方面，初中學生對函數概念的理解不透徹、函數意識薄弱、數形結合能力欠缺和不擅長總結反思是影響他們學好二次函數的主要原因。針對上述問題，初中數學教師首先應該適應課程改革，轉變教學方法，其次可以通過創設教學情境激發學生興趣，利用信息技術直觀展示圖像，總結數學模型，幫助學生提高解題效率，不斷優化二次函數的教學方法，有效提高學生對二次函數的掌握程度。