帶雙參數的a,b無限維李代數W(a,b)的性質

余德民, 方春華, 王春輝

(1.湖南理工學院數學學院,湖南 岳陽 414000;2.岳陽市第十三中學,湖南 岳陽 414000)

帶雙參數的a,b無限維李代數W(a,b)的性質

余德民1, 方春華1, 王春輝2

(1.湖南理工學院數學學院,湖南 岳陽 414000;2.岳陽市第十三中學,湖南 岳陽 414000)

研究了帶雙參數的a,b的無限維W(a,b)型李代數,這類李代數是Virasoro李代數的推廣.本文研究了這類李代數的兩類子代數,一類子代數同構無中心的Virasoro李代數,另一類子代數是交換李子代數,并且是理想.研究了這類李代數同構和同態,證明了g不是單李代數.

李代數;同構;同態

1 引言

vir為單李代數.本文研究一類單帶雙參數的 a,b無限維 W(a,b)型李代數g,這類李代數是Virasoro李代數的推廣,g為C上線性空間,其基向量為Li,Wj(?i,j∈Z),張成的復數域C上的線性空間，李運算定義如下：

此運算在基向量上線性擴張,其中 a,b為復數,并滿足反對稱性和Jacobi不等式,稱 g為帶雙參數的a,b無限維李代數W(a,b),蘇育才教授研究了無限維李代數 W(a,b)的中間系列模(文獻[1]),許螢博士研究了雙參數的a,b無限維李代數 W(a,b)的表示 (文獻 [2]).本文作者曾研究了Virasoro李代數及其推廣的Virasoro李代數(文獻[3-7]),夏春光博士研究了推廣的Virasoro李代數的結構分類,導子和自同構和最高權模(文獻[8-10]).本文研究了這類李代數的子代數,同構和同態.

2 主要結果

設由 Li(?i∈Z)張成的子空間為g1.

定理 2.1g1是g的無限維非交換子代數.

證明?i,j∈Z,可驗證

從而,g1是g的子代數,g1也是g的無限維非交換子代數.構造g1到映射如下:φ1在g1的基向量Li上線性擴張.

定理 2 .2φ1是 g1到的同構.

證明從構造知φ1是g1到同構的線性映射,且既是單射.可驗證

從而 φ1是 g1到的同構.

從同構的意義上說,無中心的Virasoro李代數(以后簡化為),是無限維李代數W(a,b)的子代數,也可以說無限維李代數W(a,b)的子代數是無中心的Virasoro李代數(以后簡化為)的推廣.

設由 Wi(?i∈Z)張成的子空間為g2.

定理 2 .3g2是g的無限維交換子代數,并且是g2是g的理想,從而g不是單李代數.

證明?i,j∈ Z ,由于

從而,g2是g的無限維交換子代數,?i,j∈Z,由于

從而g2是g的理想,從而g不是單李代數.

構造g到g映射如下:

φ2在g的基向量Wj,Li上線性擴張.

定理2.4φ2是 g到 g的同構.

證明從構造知φ2是g到g同構的線性映射,且既是單射.可驗證

從而 ?u,v∈g,

則φ3是g到g的同構.當參數

構造g到g映射如下:

φ3在g的基向量Wj,Li上線性擴張.

定理2.5當參數φ3是g到g的單同態,其中當 n=?1,φ3是 g到 g的同構.

證明從構造知φ3是g到g同構的線性映射,且既是單射.可驗證

從而 ?u,v∈g,

則φ3是g到g的單同態.當n=?1,φ3是g到g的同構.

3 結論

本文首先定義了帶雙參數的a,b的無限維W(a,b)李代數,證明了g2是g的無限維交換子代數,并且是g2是g的理想,并用比較強的技巧構造φ2是g到g的同構,以后將研究無限維李代數W(a,b)的表示理論.

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Property of an new in fi nite dimensional W(a,b)Lie algebra with parameter a,b

Yu Deming1,Fang Chunhua1,Wang Chunhui2
(1.College of Mathematics,Hunnan Institute of Science and Technology,Yueyang 414000,China;2.Thirteen Middle School in Yueyang,Yueyang 414000,China)

In this paper,In fi nite dimensional Lie algebra W(a,b)with two parameter a,b is constructed and the in fi nite dimensional lie algebra is a generalization of Virasoro-like Lie algebra.Two Subalgebra are studied.One is isomorphic to Virasoro Lie algebra with no central.The other is abelian and the other is ideal.Isomorphisms and homomorphism of the in fi nite dimensional Lie algebra are studied.We prove that it is not a simple Lie algebra.

Lie algebra,isomorphisms,homomorphisms

O152.5

A

1008-5513(2017)05-0462-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.003

2017-03-10.

國家自然科學基金(11771135);湖南省社科基金教育學專項課題(XSJ17B16);湖南省省級教研教改項目(緗教通(2016)400)).

余德民(1975-),博士,副教授,研究方向：李代數.

方春華(1979-),博士,副教授,研究方向：計算數學.

2010 MSC:17B05,17B40