“從問題到方程”教學設計

劉暢

一、教學背景

《義務教育課程方案（2022年版）》在課程實施意見中提出：培養學生會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界。基于此，筆者以“從問題到方程”為例，貫徹落實新課標的要求。“從問題到方程”這一課題中的“到”韻味深長，筆者認為，更多的要帶領學生經歷探索實際問題中數量關系的過程，教給學生探究問題的方式，并注重對學生抽象能力、應用意識和建模能力的培養。

二、教材分析

“從問題到方程”是蘇科版數學七年級上冊第四章第一節的內容，是在學習了有理數以及代數式之后探究的又一個重要內容。這節課重在探索實際問題中的數量關系，并用方程描述，再歸納總結出一元一次方程的概念，并使學生意識到方程是刻畫現實世界的數學模型，為后面解一元一次方程以及用一元一次方程解決實際問題做鋪墊，并且為后續二元一次方程、一元二次方程的學習提供了思路。

三、學情分析

學生在小學時期就學習過方程的概念，但他們對從生活問題中抽象出數學模型乃至方程較為陌生。到了初中階段，我們進一步加強對方程的學習，經歷了從生活中的實際問題到建立方程的過程，使學生充分感受到方程的簡明性和優越性。

四、教學目標

1.探索實際問題中的數量關系，并用方程描述，通過對多種實際問題中數量關系的分析，使學生初步感受方程是刻畫現實世界的有效模型。

2.通過觀察，歸納一元一次方程的概念。

3.培養學生的數學建模能力，提高抽象問題的解決能力。

五、教學重難點

探索實際問題中的等量關系以及歸納一元一次方程的概念。

六、教學過程

（一）創設情境，導入新課

（出示購買物品稱重的圖片）

師：在日常生活中，我們利用天平性質來測量物體質量，那么，天平的原理是什么呢？

生：等量！

師：你能說一說其中的等量關系式嗎？

生：兩邊重量相同。

出示一個1 g小球、2個同樣的大球與5 g砝碼在天平上（如圖1）。

師：如何精準地知道雙方的等量關系呢？你們有什么方法？

生：天平兩邊物體重量相等，可以用等式方法。

出示笛卡爾對數學問題的理解。

師：著名的數學家、哲學家以及幾何的創始人笛卡爾認為世間萬物中的一些問題都可以轉化為數學問題，再將這些數學問題進一步轉化為代數問題，最后將代數問題再簡化成解方程。從他的話語中我們可以看出什么？

生：我們可以知道世界萬物都能轉化為數學問題，而這些數學問題我們都可以運用解方程的方法來解決。

師：找到等量關系就可以根據等量關系式列出方程嗎？這個方程又是一個什么方程呢？我們又該如何解這個方程呢？

生：2個相同大球的質量加1個1 g小球的質量等于5 g砝碼的質量。

師：方程可以看作是數學中描述相等關系的一架天平。今天我們共同學習“從問題到方程”。

（設計意圖：本環節借助實例的方式，引導學生再次復習等式的性質，同時，通過復習的方式，引出本次探究的問題，再從“天平”這一實際問題入手，引導學生說出其中的等量關系，并嘗試建立方程，從而引出本課的課題。）

（二）探究新知

1.探索發現，了解天平與等式關系

出示2x+1=5

師：根據剛剛我們找出的等量關系，發現通過方程描述這類等量關系最為簡明，因此，請大家根據等式的性質嘗試列出方程。

生：設一個大球的質量為xg，就可以得到：2x+1=5。

2.由天平看等式性質

師：你知道天平的特性是什么嗎？如何才能保持天平兩邊的平衡呢？

生：兩邊質量相同。

師：沒錯，天平的原理就是兩邊質量相同，這樣才能保持平衡。那么，你還能運用天平原理，也就是方程來描述等量關系嗎？

問題一：

師：學校開展籃球聯賽，規定：勝一場得2分，負一場得1分。某籃球隊比賽了12場，共得20分。那么，你該如何去描述其中數量之間的等量關系？

生：勝場得分+負場得分=20分。

師：如何建立方程呢？

生：設勝了x場，可知負了（12-x）場。得到方程：2x+1（12-x）=20。

問題二：

師：想一想：以繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺。繩長、井深各幾何？這個問題究竟問的是什么，從中你發現哪些信息呢？

師：同學們可以通過畫示意圖理解這個問題的意思。

（展示學生畫的圖，如圖2所示）

生：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺。繩長、井深各幾尺？

師：你能描述其中的等量關系嗎？

生：3×（井深+4）=4（井深+1）。

師：等號兩邊都表示的是什么量？

生：繩長。

師：如果設井深為x尺，如何列出方程？

生：設井深為x尺。可列出方程：3（x+4）=4（x+1）

師：還有其他的等量關系嗎？還可以設繩長為x尺來列方程組。

列式略。

師：實際問題中已知量和未知量之間的相等關系，可以用多種不同的方式描述。通過比較可以看出，用方程描述這種等量關系最簡明。

（設計意圖：旨在培養學生的思維，同一個問題，從不同的等量關系、不同的角度都能解決這個問題。）

3.數學運用

用方程描述下列問題中數量之間的等量關系：

某公園的門票價格為：成人票8元/張，兒童票3元/張。買門票共花了44元，共有8人去公園。

師：你能找出其中的相等關系嗎？

生：成人票的總價+兒童票的總價=44元。

設成人x人，可知兒童為（8-x）人，可列方程：8x+3（8-x）=44。

變式：某公園的門票價格為：成人票8元/張，兒童票3元/張。買門票共花了44元。你能找出其中的相等關系并列出方程嗎？

生：成人票的總價+兒童票的總價=44元。

設成人x人，兒童y人，可列方程：8x+3y=44。

師：這兩個問題之間有什么聯系與區別？

生：聯系是等量關系是一樣的，區別是第二個問題有兩個未知量，因此要設兩個未知數，而第一個問題只有一個未知量，因此只要設一個未知數。

師：總結得很到位！

（設計意圖：在這個情境中，等量關系不變，但未知數的設法不一樣了，讓學生能夠概括其中的聯系與區別，為后面一元一次方程概念的歸納與辨析做鋪墊。）

甲、乙兩人加工同一種服裝，乙每天比甲多加工1件，乙加工服裝24件所用時間與甲加工服裝20件所用時間相同。

師：如何用方程來描述其中數量之間的相等關系？

生：乙加工服裝24件所用時間=甲加工服裝20件所用時間。

設甲每天加工x件，可知乙每天加工（x+1）件。則可列出方程：■=■

正方形桌面的面積是2 m2，求它的邊長。

生：設正方形的邊長為x m，可列方程：x2=2。

4.自主歸納，形成方法

師：在剛剛我們描述的過程中，你們的思路是什么樣的？

生：審題、尋找等量關系、設未知數、列方程。

（設計意圖：讓學生經歷“從問題到方程”的過程，引導學生自主歸納其一般步驟，從而培養學生的歸納概括能力，以形成自己的知識體系，為后續用方程解決實際問題做鋪墊。）

（三）歸納一元一次方程的概念

出示：①2x+1=5；②2x+1（12-x）=20；③3（x+4）=4（x+1）；④8x+3（8-x）=44；⑤8x+3y=44；⑥■=■；⑦x2=2

師：觀察上述問題中的方程，你能將它們分類嗎？

（學生小組討論交流）

生：⑤中含有兩個未知數，其他的方程都只含有一個未知數。

生：⑥方程等號兩邊不是整式，其他方程的兩邊都是整式。

生：⑦中未知數的次數是2次，①②③④⑥中未知數的次數都是1次。

師：同學們歸納得真全面！我們把像①②③④這樣只含有一個未知數并且未知數的次數是一次的方程叫做一元一次方程。你能再寫幾個一元一次方程嗎？

（展示學生的作品，讓其他同學進行辨析）

（四）練習鞏固

1．下列式子中：①5x+3y=0；②6x2-5x；③3x＜5；

④x2+1=3；⑤x+1=3是一元一次方程的有（? ）。

（設計意圖：本題考查了一元一次方程的概念，通過觀察、辨析，有助于學生深刻地理解一元一次方程的概念。）

2．用方程描述下列問題中數量之間的等量關系：

（1）一頭半歲的藍鯨體重22 t，90天后體重為30.1t。設藍鯨體重平均每天增加xt，可得方程? ?。

（2）把50 kg大米分裝在3個同樣大小的袋子里，裝滿后還剩余5 kg，設每個袋子可裝大米xkg，可得方程? ?。

（3）甲、乙兩城市間的鐵路經過技術改造后，列車在兩城市間的運行速度從100 km/h提高到120km/h，運行時間縮短了2 h。設甲、乙兩城市間的路程為xkm，如何列方程？

（設計意圖：本題讓學生再次經歷用一元一次方程解決實際問題的過程，鞏固用一元一次方程解決實際問題的一般步驟。）

3.請你賦予2x+1=5其他的實際意義。

（設計意圖：讓學生編題目，是為了讓學生更深刻地理解知識并應用知識，培養學生的發散性思維，讓學生在交流、討論中碰撞出思維的火花。）

七、案例小結

本節課的設計重點沒有放到一元一次方程的概念，而是著重帶領學生經歷“從問題到方程”的過程。如何分析問題中的數量關系，如何找到等量關系，如何列出方程，是本節課的核心內容。通過這一系列的教學步驟，學生不僅能夠學到一元一次方程的基本知識，還能夠在解決實際問題的過程中培養數學建模和解決問題的能力。這種實踐性的教學方法有助于學生更好地理解和應用數學知識。

（作者單位：江蘇省南京江寧開發區學校）

編輯：溫雪蓮