線性轉化在物理實驗數據處理中的應用

■湖北省松滋市第一中學 劉萬強 魏朝陽

數據處理是物理實驗中的重要組成部分,利用線性圖像處理實驗數據是重要的、常見的手段之一,它能夠形象準確直觀地反映出實驗過程的變化趨勢和特征等動態特性,具有尺規作圖方便直觀、信息提取便捷準確、內涵豐富外延深刻等優勢。下面就線性函數的意義、線性函數的轉化和實驗案例進行分析討論,供大家參考。

一、線性函數的物理意義

線性指因變量與自變量之間成一次函數的關系,即y=kx+b,其圖像為一條傾斜的直線。研究線性圖像的斜率、截距、面積等,具有特殊的意義。如圖1所示,圖像的斜率表示縱軸因變量y隨橫軸自變量x的變化快慢,主要用來討論物理量的變化率。截距b對應特殊的工作狀態,需要借助函數關系的表達式分析其物理意義,常用于尋找線性元件的工作點。面積表示縱軸物理量對橫軸物理量的累積。

圖1

二、復雜函數的線性轉化

若按物理量的關系作出的圖像是曲線,導致利用圖像獲取有關參數比較困難,則需要將該圖像線性化,即將復雜的函數關系用直線表示出來。常見的線性轉化有:

1.若y=a·xb,其中a、b為常數,則lgy=blgx+lga,lgy為lgx的線性函數,斜率為b,截距為lga。

2.若xy=c,其中c為常數,則為的線性函數,斜率為c,截距為0。

3.若y=ax2+bx+c,其中a、b、c為常數,則為x的線性函數,斜率為a,截距為b。

在高中物理實驗中,若進行數據處理時兩個物理變量的函數關系不是一次函數,則需要進行線性轉化。教材中常見的線性轉化如表1所示。

三、線性轉化的案例分析

1.直接建立線性關系。通過實驗原理的分析,轉換實驗中的物理量,將實驗數據之間的函數關系直接呈現為線性關系的情況比較常見。比如“探究彈簧彈力與伸長量的關系”中的m-x圖像,可以聯立f=kx和f=mg,變形得

例1某實驗小組要測定一節蓄電池的電動勢及內阻,要求測量結果盡量準確,實驗器材如下:電流表A1(量程為0～200 μA,內阻為800 Ω),電流表A2(量程為0～300 mA,內阻約為0.3 Ω),定值電阻R1(阻值為4 Ω),定值電阻R2(阻值為9 200 Ω),滑動變阻器R(最大阻值為50 Ω),待測蓄電池(電動勢約為2 V),開關S,導線若干。

(1)實驗小組連接的實物電路如圖2所示,圖中虛線框內的電表應選_____(選填“A1”或“A2”),圖中虛線框內的定值電阻應選_____(選填“R1”或“R2”)。

圖2

(2)電流表A1的示數用I1表示,電流表A2的示數用I2表示,該小組多次改變滑動變阻器滑片位置,得到了多組I1、I2數據,并作出I1-(I1+I2)圖像,如圖3所示。根據圖像可知,待測蓄電池的電動勢為____V,內阻為____Ω。(結果均保留2位有效數字)

圖3

(3)從實驗設計原理來看,該蓄電池電動勢的測量值_____(選填“大于”“小于”或“等于”)真實值,內阻的測量值____(選填“大于”“小于”或“等于”)真實值。

解析：(1)圖中虛線框內的電表應選A2,因為該電表用來測量通過滑動變阻器的電流,需要選擇量程較大的電流表。蓄電池的電動勢約為2 V,電流表A1串聯一定值電阻改裝為電壓表使用的量程應為0～2 V,因此串聯電阻,即虛線框內的定值電阻應選R2。

(2)根據實驗電路知I1(R2+RA1)=E-(I1+I2)(r+R1),整理得,結合I1-(I1+I2)圖像得解得E=1.9 V,r=1.0 Ω。

(3)因為實驗設計中已考慮到電表內阻,所以電動勢和內阻的測量沒有誤差。

答案：(1)A2R2(2)1.9 1.0(3)等于 等于

點評:本題根據閉合電路歐姆定律I1(R2+RA1)=E-(I1+I2)(r+R1),推導出直接呈現出I1為(I1+I2)的線性關系,利用截距和斜率,順利解得電動勢E和內阻r。

2.間接建立線性關系。若物理實驗數據之間的函數關系呈現的是非線性關系,則往往需要通過倒數、平方、對數等轉換,建立線性關系。比如“測電源電動勢和內阻”的實驗中要想得到線性的圖像,則需將閉合電路歐姆定律進行“倒數轉化”,變形為;再如“利用單擺測定重力加速度”實驗中要想得到線性的T2-l圖像,則需將單擺周期公式進行“平方轉化”,變形為

例2某同學利用一根壓縮的彈簧彈開帶有遮光片的滑塊測量滑塊與木板間的動摩擦因數。實驗裝置如圖4所示,將木板水平固定在桌面上,將彈簧的左端固定在擋板上,彈簧的右端與滑塊剛好接觸(但不拴接),將光電門固定在木板上靠近滑塊處。實驗步驟如下:

圖4

(1)用游標卡尺測量遮光片的寬度d,其示數如圖5所示,則d=____cm。

圖5

(2)將光電門連接計時器,讓滑塊壓縮彈簧至P點(圖4中未畫出),釋放后滑塊被彈開并沿木板向右滑動,計時器記錄遮光片通過光電門的時間Δt,并測量滑塊停止時的位置與光電門之間的距離x,則可用____表示滑塊經過光電門時速度的大小。

(3)改變P點的位置,多次重復步驟(2)。

圖6

解析：(1)游標卡尺的示數d=1 cm+2×0.1 mm=1.02 cm。

(4)滑塊從光電門運動到停止,根據牛頓第二定律得μmg=ma,根據勻變速直線運動速度和位移的關系得v2=2ax,整理得,結合圖像得斜率解得

答案：(1)1.02 (2)(4)