構造『等時圓』 妙解經典題

■河南省新鄉市第一中學 寧長興

“等時圓”模型是以實際生活為依據的真實情景模型,它與日常生活生產聯系緊密。以“等時圓”模型為載體的試題,要求同學們在熟練掌握勻變速直線運動規律的基礎上,靈活建構“等時圓”模型,實現問題的突破。下面舉例分析,供同學們參考。

一、“等時圓”模型的建立

如圖1所示,設圓中某一條弦與水平方向之間的夾角為α,圓的直徑為d。一質點沿這條光滑弦做初速度為零的勻加速直線運動,根據牛頓第二定律得加速度a=gsinα,根據幾何關系得位移s=dsinα,根據勻加速直線運動規律得運動時間,因此所有小球從圓的頂端沿光滑弦軌道由靜止下滑到弦軌道與圓的交點或者從圓上的各個位置沿光滑弦軌道由靜止下滑到圓的底端所用的時間都相等。

圖1

二、利用“等時圓”模型規律求解經典題

例1如圖2所示,P為一半徑為R的圓周的最低點,光滑細桿PA放在圓周上。在光滑桿上套一個小環,讓小環以某一初速度從最低點P拋出沿桿運動,當它抵達A點時,速度恰好為零,求小環沿桿從P點運動到A點所用的時間。

圖2

解析：小環沿桿從P點運動到A點做勻減速直線運動,根據運動的對稱性可知,小環從P點運動到A點速度減小為零所需的時間與小環從A點由靜止下滑到P點所需的時間相等。根據“等時圓”模型的規律可知,小環從A點由靜止下滑到P點所需的時間

點評:本題以小環沿光滑細桿上滑為背景,考查勻減速直線運動模型。根據題述情景,將勻變速直線運動模型轉化為“等時圓”模型,就可以化腐朽為神奇,快速求得時間。

例2如圖3所示,在設計三角形的屋頂時,為了使雨水能盡快地流下,并認為雨水是由靜止開始從屋頂上A點無摩擦地流下的。試分析在屋頂寬度(2L)一定的條件下,雨水流下所用時間最短時,雨水離開屋頂時的速率。

圖3

解析：如圖4所示,過屋頂上A點作垂線AF與水平線BD垂直,垂足為F,并以L為半徑、O為圓心,作與AF、BF相切的圓,轉化為“等時圓”模型。根據“等時圓”模型的規律可知,從圓周上各點向最低點B引弦,則雨水從圓周上各點沿弦下滑到最低點B經過的時間相等。從垂線AF引傾角不同的屋頂AB、CB、EB、…,則在不同傾角的屋頂中,只有CB是圓的弦,而其他的均為圓的割線,雨水沿弦CB流下所用的時間最短。根據幾何關系可知,弦CB與水平方向之間的夾角為45°,即CF=BF=L。根據機械能守恒定律得,解得雨水離開屋頂時的速率

圖4

點評:本題以雨水沿屋頂下流為背景,考查勻加速直線運動模型。根據題述情景,實現斜面模型到“等時圓”模型的轉化,則可巧妙找到時間最短對應的屋頂傾角。

1.過空間任一點A可作無限多個斜面,若將若干個小物體從A點分別沿傾角各不相同的光滑斜面同時滑下,則在同一時刻這些小物體所在位置構成的面是( )。

A.球面 B.拋物面

C.水平面 D.無法確定

2.如圖5所示,位于豎直面內的圓環軌道與水平面相切于M點,與豎直墻相切于A點,豎直墻上另一點B與M點的連線和水平面之間的夾角為60°,C是圓環軌道的圓心。已知在同一時刻,甲、乙兩球分別從A、B兩點由靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到M點,丙球由C點自由下落到M點。則( )。

圖5

A.甲球最先到達M點

B.乙球最先到達M點

C.丙球最先到達M點

D.三個球同時到達M點

參考答案：1.A 2.C