基于有限元的擺桿-擺錘系統模態分析

吳燕瑞，劉 婷，程國飛，魏文強，蘇開華

（中山火炬職業技術學院，廣東 中山 528437）

目前在評價金屬材料沖擊韌性的方法中，儀器化沖擊試驗作為一種新方法，得到了廣泛的認可。該方法通過測出沖擊過程中的力-位移曲線來計算沖擊功，并使用曲線上的特征值-最大力Fm將沖擊功分成了2 部分：裂紋形成功及裂紋擴展功；另外，還使用曲線上的特征值來計算沖擊試樣斷口的韌性斷面率[1]。相對于傳統的沖擊試驗方法，儀器化沖擊試驗的沖擊功具有更加明確的物理意義，能更準確評價材料的刃脆性。

儀器化沖擊試驗方法用于評價材料沖擊韌性的可靠性，關鍵在于能準確地獲得沖擊過程的力-位移曲線。目前的儀器化沖擊試驗方法主要采用應變式力傳感器測出沖擊過程中擺錘所受到的力-時間曲線，而位移一般通過用力-時間曲線計算得到，或者通過傳感器直接測出[2]。但是該方法對應變式力傳感器的標定是在靜加載的情況下進行的，而測定沖擊載荷屬于動態測量，導致測量誤差大、線性度差和漂移嚴重等問題[3]。于是，學者Anton 等[4]提出用加速度傳感器測出沖擊過程的載荷歷程、位移傳感器測出位移歷程，再將2 路數據相結合從而獲得力-位移曲線，但是發現由于擺桿-擺錘系統在沖擊載荷的作用下產生振動響應，導致采集到的加速度信號存在高頻振蕩信號，最終導致用力-位移曲線計算出的沖擊功與沖擊試驗機表盤上的讀數相差非常大。據此，蘇文桂等[3]通過分析加速度信號中振蕩信號的來源，提出的加速度信號中的振蕩信號主要來自擺桿受到試樣的反作用力后的振動響應。因此僅需要采用低通濾波和平滑技術對采集到的加速度信號進行處理，就可以去除加速度信號中的振蕩對計算結果的影響[3]。

實際上，上述分析方法中所測得的加速度信號是擺錘-擺桿系統在沖擊激勵下的響應，并不是輸入的沖擊激勵本身。如果將擺錘-擺桿系統看做線性時不變系統，其在瞬時沖擊激勵下的響應，可以看做是系統在激勵下引起的各階固有模態振型振動的疊加。因此，如果先通過模態試驗求出擺桿-擺錘系統的模態振型，再測得其在沖擊激勵下的響應，就可以根據激勵、系統和響應這三者的關系，求出系統受到的沖擊激勵。另外，在儀器化沖擊試驗方面，主要從時域角度對力-時間曲線的特征值進行分析，很少從系統沖擊頻譜響應角度對輸入的激勵特征值進行分析。本文擬對夏比沖擊試驗機的擺桿-擺錘系統建立模型，采用有限元對系統進行模態分析，得到系統的前15 階模態的振型及固有頻率，為下一步的模態實驗提供理論支撐，并為預測擺錘-擺桿系統在沖擊激勵下的頻譜響應特性提供參考。

1 模態分析基本理論

模態是作為彈性體的結構固有的振動形式，結構的每一個自振頻率都會對應1 個振型，任何1 個振型又都有特定的模態參數，即質量、剛度、固有頻率及阻尼比與之對應。識別出結構的這些模態參數的過程就稱為模態分析。模態分析的經典理論基礎是假設系統的復雜振動是由無數獨立的單自由度振動線性疊加的結果。模態分析就是將系統的復雜振動分解為許多簡單而獨立的單自由度振動，并用一系列的模態參數來表征振動的過程[5]。通過模態分析，獲得系統的模態振型，就可以預測系統在某一已知激勵作用下，系統的各階模態的振動響應特性；或者在不方便測得輸入的激勵時，通過測得系統輸出的振動響應，計算輸入的激勵。

目前模態的分析方法按照計算方法可分為：理論模態分析和實驗模態分析。

理論模態分析是將線性定常系統振動微分方程組中的物理坐標變換為模態坐標，使方程組解耦，成為一組以模態坐標及模態參數描述的獨立方程，以便求出系統的模態參數[6]。目前，理論模態分析的主要方法是基于計算機仿真技術的有限元計算分析法（FEM）。有限元法利用數學近似的方法對真實物理系統（幾何和載荷工況）進行模擬，其核心思想是先用簡單而又相互作用的元素（即單元）去簡化實際結構，然后就可以用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統[7]。有限元法的具體實施步驟：首先將結構離散化，建立1 個數學模型（該模型的特征向量包含了振動系統的固有頻率矢量及固有振型矢量）；然后，通過求解該數學模型，從而得出系統的各階模態所對應的固有振型及固有頻率。隨著近代計算機技術的不斷發展，有限元分析軟件也得到不斷完善，各種操作簡單的有限元軟件使得有限元模態分析法得到了廣泛的應用。

實驗模態分析（EMA）就是通過實驗建立1 個激勵-系統-響應的模型，目的是研究激勵、系統和響應這3 個模態參數之間的關系。實驗模態分析的步驟：首先利用實驗測得系統受到的激勵時間歷程和響應時間歷程，然后運用數字處理技術求出頻響函數和脈沖響應函數，再運用參數識別方法，求得系統的模態參數，這些模態參數包括固有頻率、固有振型、模態質量、模態剛度和模態阻尼比等[6]。系統受到的外部激勵通常使用力錘或激振器施加，再使用傳感器來采集激勵及響應。在實際應用中，實驗模特分析具有很大的局限性：需要結構的激勵信號。但是，鑒于結構的特點與工作環境，一些結構很難人為地輸加激勵或激勵信號無法測試[8]。

針對擺桿-擺錘系統的特點，本文采用有限元法對系統進行模態分析，并求解出其前15 階模態的振型及頻率。

2 擺桿-擺錘系統有限元模型及其模態分析

2.1 擺桿-擺錘系統的數學模型

將擺桿-擺錘系統看做是1 個n 階自由度的線性時不變系統，其運動微分方程為[9]

式中：M 為系統質量矩陣；C 為系統阻尼矩陣；K 為系統剛度矩陣。

對于線性時不變系統，其上任一點的響應值可用其各階模態響應的疊加來表示。令

式中：qr為第r 階模態坐標；φr為第r 階振型系數。

設振動系統受到簡諧激勵的作用，即f（t）=Fejωt，則qs=Qsejωt，F 為激勵幅值，ω 為穩態響應頻率。

可得到當激勵作用于j 點時，i 點的響應為[5]

式中：Hij為i、j 兩點的傳遞函數。

2.2 幾何模型的建立

沖擊試驗機型號為JXB-300。擺桿-擺錘系統可以看作用鉸鏈約束于機架的剛體，因此只建立擺錘-擺桿系統的三維幾何模型。經過簡化之后，模型主要包括擺桿、擺錘。用UG NX 軟件建立的擺錘-擺桿系統幾何三維模型，如圖1 所示。

圖1 擺桿-擺錘系統的幾何模型

2.3 有限元模型的建立

2.3.1 材料添加

將幾何模型導入SOLIDWORKS 軟件，建立有限元模型。模型所采用的材料屬性見表1。

表1 材料屬性表

2.3.2 網格劃分

選定Solid 187 四面體單元對模型進行網格劃分，單元總數為3 978 個，節點總數為11 911 個，具體劃分情況如圖2 所示。

圖2 擺桿-擺錘系統的有限元模型

2.3.3 添加約束

根據實際情況，在擺桿頂部添加鉸鏈約束、沿銷軸徑向及軸向添加固定約束，保留系統繞銷軸旋轉的自由度。

2.4 模態分析結果

對擺桿-擺錘系統進行有限元模態計算分析，其前15 階模態振動頻率和振型如圖3 所示。

圖3 擺桿-擺錘系統的前15 階模態振型

根據共振理論，當系統受到的外部激勵與其固有頻率相等時，將引起結構的共振。那么，可以預測在模態實驗中，當輸入的外部激勵與系統的某一階固有頻率相近或相等時，將激起系統以對應固有頻率振動為主的振動響應，其響應的頻譜能量只要集中在對應的固有頻率處，即該固有頻率處的功率譜密度的幅值最大。故可在進行模態實驗時，將激振器的激振頻率值設置為上述有限元分析得出的系統的固有頻率值，并采集系統的響應。可以預測系統的響應在對應頻譜處的功率譜密度幅值將是最大的。擺桿-擺錘前15 階固有頻率的計算值見表2。

表2 擺桿-擺錘前15 階固有頻率

從表2 的分析結果中可以看出，擺桿-擺錘的15階固有振動頻率均低于3 000 Hz。沖擊激勵的脈沖持續時間越長，其能量就越集中在低頻處，越能激起系統低階固有頻率的振動，反之沖擊脈沖持續時間越短，越能激起系統高階固有頻率的振動。據此在進行擺桿-擺錘系統的模態實驗時，可根據輸入的沖擊激勵的頻譜特性預測擺錘-擺桿的振動響應的頻譜特性。

在實際的沖擊試驗中，試樣受到的擺桿-擺錘的沖擊載荷的作用，如果該沖擊載荷的能量主要集中在試樣的一階固有頻率處，試樣將因為共振而發生斷裂。根據文獻[10]試樣的一階固有頻率約為10 000 Hz，即沖擊試驗中試樣受到的擺桿-擺錘系統的沖擊激勵的頻譜能量主要集中在約10 000 Hz 處。反過來試樣對擺桿-擺錘系統的反作用力的主要能量也是集中在10 000 Hz 左右，一方面可以預測擺桿-擺錘系統在越接近10 000 Hz 的固有頻率處的振動響應將越強烈。其表現為響應信號中的高頻振蕩現象，但是由于系統阻尼的存在，該響應很快就衰減掉；另一方面系統低階固有頻率處的被激起的振動響應很小，可以忽略不計。這些結論與文獻[10]在沖擊試驗中所測得的結論均一致，表明該有限元分析結果是可靠的。

3 結論

本文基于有限元法對擺桿-擺錘系統的模態進行分析，分析結果獲得了比較好的預期目標，可以為下一步模態實驗提供有效的理論支撐；另外，也可以預測系統在沖擊激勵下的頻譜響應，為后續從頻域角度分析沖擊試驗的沖擊激勵頻譜特征值提供數字化模型。