概率統計的壓軸題型

湖北省天門中學 白敦亮

概率統計的壓軸題經常以決策判斷的開放性問題來巧妙設置,全面考查數學建模與數據分析等核心素養,以及創新意識,從數學角度進行科學創新與判斷,為決策或判斷提供理論支持。

一、概率統計中的決策問題

例1某蛋糕店計劃按天生產一種面包,每天生產量相同,生產成本每個6 元,售價每個8元,未售出的面包降價處理,以每個5元的價格當天全部處理完,該蛋糕店記錄了30天這種面包的日需求量(單位:個),整理得表1:

表1

(1)若該蛋糕店一天生產30 個這種面包,以記錄了30天的日需求量的頻率作為日需求量發生的概率,求當天的利潤不少于60元的概率。

(2)該蛋糕店想提高該面包的銷售利潤,員工甲和乙分別提出兩種方案。甲的方案:保持一天生產30個這種面包;乙的方案:加大產量一天生產31個這種面包。

根據以上30 天日需求量的日平均利潤來決策哪一種方案收益更好。

解析：(1)當天需求量n＜30 時,當天的利潤y=8n+5(30-n)-6×30=3n-30,當天需求量n≥30時,當天的利潤y=8×30-6×30=60,故當天的利潤y關于當天需求量n的函數解析式為N*。則日利潤表為表2:

表2

故當天的利潤不少于60 元的概率P=

表3

點評:根據概率統計中的相關知識來對現實生活中的具體方案進行決策,是此類壓軸題中比較常見的類型,關鍵是抓住概率或統計中相關的變量及對應的幾何意義來解答。

二、概率統計與數列的交匯問題

例2為有效防控新冠疫情從境外輸入,中國民航局根據相關法律宣布從2020年6月8日起實施航班熔斷機制,即航空公司同一航線航班,入境后核酸檢測結果為陽性的旅客人數達到一定數量的民航局對其發出“熔斷”指令,暫停該公司該航線的運行(達到5個暫停運行1周,達到10個暫停運行4周),并規定“熔斷期”的航班量不得調整用于其他航線,“熔斷期”結束后,航空公司方可恢復每周1班航班計劃。已知某國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境,該航線第一次航班被熔斷的概率是,且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是,未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是。一條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班次數,記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為pn。

(1)求p2;

(3)求數列{pn}的前n項和Tn,并說明Tn的實際意義。

點評:該題是以概率或統計知識為背景,利用數列的概念、通項公式或遞推公式、求和公式等來綜合應用,借助研究數列相關知識,反饋概率統計中的方案決策等實際應用問題。

三、統計與線性回歸分析的交匯問題

例32022年6月的某一周,“東方甄選”直播間的交易額共計3.5億元,數據統計如表4:

表4

(1)通過分析,發現可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關系,請用相關系數(系數精確到0.01)加以說明;

(2)利用最小二乘法建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.1),并預測下一周的第一天(即第8天)的交易額。

因為交易額y與t的相關系數近似為0.98,說明交易額y與t具有很強的正線性相關,從而可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關系。

點評:對于此類線性回歸方程問題的求解,可以借助統計中的數據分析,合理構建對應的線性回歸模型,結合對應的信息加以合理的決策、預測或判斷。

預計今后高考對概率統計中的創新性問題的考查,主要是以實際生活為背景的統計、統計案例與概率的綜合,這符合新課標對應用性考查的要求。