數形結合與乘法意義的融合
——以二年級第一學期“5的乘法”為例

徐沁馨 上海市七寶實驗小學

乘法的引入，由“從加到乘”的學習，使學生從認識相同加數開始，結合具體事例，通過動手操作、觀察、探究等學習活動，逐步體會乘法運算的意義。在行為與圖階段，學生通過對實物進行連續添加，初步理解乘法的基本含義。在符號語言階段，則是利用“幾個幾”“幾的幾倍”構建乘法的含義，利用乘法口訣進行求解。在進行乘法概念的教學時，教師要緊密聯系數形結合的數學思想，創設乘法概念的實際情景，引導學生自主探究，獨立寫出乘法算式，感知兩個因數交換位置積不變，并且根據算式編寫乘法口訣，以學生為課堂的主導者。下面以二年級第一學期“5 的乘法”為例，在教學實施過程中，建立以學生為中心的研究性學習教學模式，談談數形結合與乘法意義融合的設想與實踐。

一、數形結合引入，探索5的乘法算式結果

我們調查發現，有接近一半的孩子已經會背乘法口訣表，一小部分孩子能用乘法口訣表計算表內乘法。但這些孩子只是機械地背乘法口訣表，不了解乘法的含義，而理解乘法的含義恰恰是這個單元的教學重點。利用小圓片的引入，先出示一排5 個小圓片，學生在學習了交換和看圖列算式的基礎上，通過不同的觀察角度可以列出1×5=5 和5×1=5 兩個算式。然后依次增加5 個小圓片直到5 個5。區別于數射線的引入，數射線展示的是一個完整的變化過程，單獨拿出兩個算式，學生在觀察規律時不容易發現因數與積之間的關系。另外在教學10 的乘法時，我們就借助了百數圖為輔助工具，讓學生探究10 的乘法的計算方法。現在教學5 的乘法時再次利用小圓片更直觀形象地展示每次增加1個5的變化過程。

教學片段1：

根據小圓片寫出5的乘法算式（見圖1）

圖1

師：現在小眼睛仔細看屏幕，這里一共有幾個小圓片？你會用乘法算式表示嗎？

生：這是1個5，乘法算式是1×5=5，還能看作5個1，乘法算式是5×1=5。

師：你們學得真扎實，從不同的角度觀察小圓片可以是1個5和5個1，這兩個算式有一個小秘密——交換因數位置積不變。

現在多了5 個小圓片，你能根據圖片列出兩個算式嗎？將結果填在橫線上（見圖2）。

圖2

師：為什么5×5你們只寫了一個算式呀？

生：因為他們的因數相同，所以只有一個算式。

師：觀察這列算式，你們有什么發現呢？

生：一個因數都是5，另一個因數依次增加1，積就大5。

師：你們觀察得真仔細，每多1個5，積就多5。

從一開始引導學生，通過之前學習過交換和看圖列式的基礎上，知道一幅圖能寫出兩個乘法算式，為之后的一句乘法口訣對應兩個算式做鋪墊。并且通過讓學生觀察算式找出其中的規律，借助小圓片理解并說出含義。

根據規律完成5的乘法算式

師：沒有小圓片幫忙了，按照現在的規律你能繼續往下列出算式嗎（見圖3）？

圖3

生：6×5=30，5×6=30；7×5=35，5×7=35；8×5=40，5×8=40；9×5=45，5×9=45。

這節課的新授部分是從看圖寫兩個乘法算式開始的，安排了由圖到符號語言的過渡環節，從1×5 到5×5，借助小圓片不僅使學生理解了乘法的意義，還觀察了算式間的變化規律，推算出計算結果。然后放手在脫離實物的情況下用已有的學習方法推算出剩下算式的結果。

二、獨立編寫5的乘法口訣

《5 的乘法》是在《10 的乘法》之后，編口訣的第一課時，讓學生經歷編口訣、學會類推口訣、引導探究口訣表中各項之間的關系，熟練口算表內乘法，尤為重要，才能為后面學習2、4、8的乘法打好基礎。

教學片段2：

師：根據前三句的口訣編寫（1×5=5），我們可以把乘法算式的兩個因數1和5作為口訣的前半句，一五，把積作為后半句，由于結果是5又比10小，為了順口，可以在積的前面加一個得，一五得五。

還有哪個算式也能用這個口訣呢？

生：5×1=5。

師：你很善于觀察，因數相同的兩個乘法算式用同一個乘法口訣。

2×5=10，口訣可以寫成二五一十

3×5=15，口訣可以寫成三五十五

現在積是兩位數，為了朗讀順口工整，我們怎么讀就怎么寫。

小朋友們想不想自己試著編寫口訣呀？現在將剩下的5的乘法算式自己編寫一下。

（一）展示學生獨立編寫的口訣，一起探索解決問題

學生根據之前教師的示范，自行解決問題（見圖4）。

圖4

生：①積滿十了，口訣不用加“得”；②積是兩位數，怎么讀就怎么寫。

（二）繼續展示編寫口訣時大小因數的順序問題（見圖5）

圖5

（三）教師出示編寫口訣視頻（見圖6）

圖6

教師錄制了一段口訣編寫視頻，介紹了編寫口訣的原則和方法。

師：你們聽懂了嗎？能不能根據剛才老師視頻里講的修改一下？

齊讀口訣

德國教育家第斯多惠曾說過:“科學知識是不應該傳授給學生的,而應當引導學生去發現它們,獨立地掌握它們。”學生如果不學會探索、獨立思考,就不可能把知識轉化為能力。學生是課堂的主導者，將課堂交給學生，教師做適當的引導示范作用，讓學生去自主探究解決問題，增強學習能力。

三、利用數形結合驗證5和10乘法之間的關系

數形結合思想是數學思想中的一種。我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”“數離不開形，形離不開數”，可見數形結合思想是解決數學問題的一種非常重要的方法。

（一）通過觀察算式，發現規律

教學片段3（見圖7）：

圖7

師：觀察這三組算式，你有什么發現嗎？

生：第一個因數相同，5是10的一半，積也是一半。

（二）借助百數圖驗證想法

師：老師請出我們一位好朋友——百數圖（見圖8），借助百數圖再來理解一下。

圖8

師：通過同學們的觀察以及百數圖的驗證，我們發現5的乘法和10的乘法之間的關系，幾個5是幾個10的一半。

學生知道5和10加倍與一半的關系，但對于算式中幾個5是幾個10的加倍與一半的關系較難理解，很難說出5的乘法和10的乘法之間也存在加倍與一半的關系。所以利用數形結合的思想，請出了百數圖來幫忙，在媒體演示的過程中直觀感受5 的乘法和10 的乘法之間也存在加倍與一半的關系。

小學數學分為“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”這四個學習領域，數形結合思想在這四個領域中都得到了廣泛的應用。在乘法的學習中，利用百數圖幫助學生理解數量關系，用最直觀的方式體現了5 與10 的乘法之間加倍與一半的關系。數形結合思想在“數與代數”中的學習中無處不在，應用十分廣泛。

新課程改革以后，小學數學教材對學生的實踐能力、自主探究能力和合作交流能力等方面給予了足夠的重視，教學內容也不僅僅是單純地傳授理論知識，其中包含著的信息更加豐富多樣、開放且多元化。教師在上課之前，需要做的不僅是認真鉆研教材內容，熟練掌握教材傳達的有效信息，更要創造性地使用教材多向學生傳達數學知識，并不只是單純地教課本知識。在探究數學知識的過程中，可以借用圖形、視頻等相結合的方式，動態展示多元化的教學方式，激發學生的積極性。并且在設計問題時，多給學生一些思考時間，讓學生去自主交流探索，適當地引導點撥，擴寬學生的思路。

低年級階段由于身心發展尚不成熟，想要維持長久的注意力，首先需要把他們學習的積極性調動出來，其中最好的方法就是借助現代化的教學設備輔助教學，把靜態的知識變為動態的，化抽象為具體。借助多媒體課件的重現力，把學生知識融為一體。課堂上，教師通過不同的教材內容，傳授不同的數學思想和方法。《5 的乘法》這節課，運用到數形結合的思想和方法，使數與形兩種信息互相轉換并且優勢互補，從而能將復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化。新課程改革的環境下，教師要做一個具有創新精神的引導者，不再按教材內容去講解，而是創造性地選擇使用教材，改變原有的數學教學方式，放手讓學生去發現問題，解決問題，激發學生的創造性，培養解決數學問題的能力。教師要提供給學生更多的實踐、探索機會，加深學生對數學的理解，挖掘學生的創造力。

教育的先導性，決定了創新發展不可能是一個短期的目標，而是一個長期的過程。創新已是當今世界國家競爭的核心，但歸根到底，競爭的還是教育的創新發展能力。利用教師制作的配音視頻，讓學生自主探究乘法口訣，是一種創新的教學方式，激發教育活力；利用數形結合的數學思想構建教學課程，使學生更加直接簡單易懂地了解5的乘法和10的乘法之間的關系，使課堂成為充滿旺盛生命力的活力教育。