基于彈塑性理論的軟巖隧道最大變形量預測方法研究

趙昀，馬秋峰

(1.中南勘察設計院集團有限公司，武漢 430074；2.山東理工大學資源與環境工程學院，淄博 255100)

隧道一旦開挖后，原巖應力平衡狀態被打破，隧道圍巖失去原有支撐，向已開挖的空間發生移動變形。針對軟巖隧道變形量大的特點，需要一個能量釋放的過程，以有效的減小支護結構的載荷、降低支護成本并提高支護結構的安全性。然而過大圍巖變形將會導致隧道邊緣的節理裂隙發育、貫通，甚至是圍巖發生失穩。因此，準確預測隧道圍巖的最大變形量將有利于選擇合適的支護時機，同時確保隧道的穩定性。

學者們對隧道開挖后的變形特征與力學響應開展了大量研究。張常光等[1-2]、高永濤等[3]通過分析、歸納常用的巖土強度準則，推導了理想彈塑性巖體中隧道的應力場與位移場，并對常用強度準則進行了評價。蘇雅等[4]針對軟弱巖層隧道開挖后的力學響應，推導了隧道圍巖穩定極限變形的估算公式，并對影響因素進行了敏感性分析。劉杰等[5]探究了淺埋偏壓隧道軟硬交互水平層狀圍巖壓力的分布情況，分析了硬巖與軟巖層厚比對隧道圍巖壓力分布的影響規律。Zhang等[6]、陳有亮等[7]基于Fick第二定律與非關聯塑性流動法則，推導了軟巖遇水隧道應力和位移解。王志龍等[8]利用巖土控制變形分析方法，分析了圍巖級別、地應力等多個因素對圍巖變形的影響。邱明明等[9]分析了淺埋偏壓賦存條件隧道的大變形特征，并給出了防治措施和加固方案。王明年等[10]基于雙線性準則，推導了隧道彈塑性位移和應力解析解，并分析了各因素對應力場和位移場的影響。賀耕夫等[11]建立了襯砌-正凍圍巖-未凍圍巖簡化力學模型，基于Hoek-Brown準則推導出了圓形隧洞理想彈塑性圍巖的塑性區半徑解析解。任汀等[12]建立了考慮時間效應的非線性本構方程對TBM施工隧道圍巖變形與地表沉陷進行了計算，與現場實測結果一致。李小豐[13]基于Massinas和Sakellariou解發展了隧道彈塑性解，并給出了臨近應力和塑性區半徑解的新方法。付睿聰等[14]考慮了加載實際歷史對隧道圍巖應力場和位移場的影響，通過有限元軟件進行對比，認為不考慮加載歷史得到的位移和塑性區將小于實際情況。

目前，基于強度理論推導隧道圍巖應力場與位移場研究取得了較為豐碩的成果，然而無論在現場支護時機的選擇，還是安全性分析過程中，隧道邊緣最大變形量都是非常重要的參數[4，15-16]。鑒于此，基于松動圈剪切滑移理論，利用Hoek-Brown準則推導得到最小支護應力，將其代入隧道邊緣徑向位移公式，給出了圓形隧道邊緣最大變形量的求解方法。通過對比現有數值計算方法，探究本文方法的準確性與合理性，最后分析各個力學參數對最大變形量的影響特征。研究成果將為預測隧道邊緣最大變形量提供一種有效的計算方法。

1 軟巖隧道讓壓支護的變形理論

1.1 軟巖隧道的變形理論

假設在深度為H位置開挖一條半徑為r0的圓形隧道，圍巖的彈性模量為E，泊松比為v，剪切模量為G。同時假設遠場應力σ0為靜水應力場。盡管大多數情況下遠場應力為非對稱應力場，但文獻[1，5]中指出軟弱巖層無法承受較大的應力差，將軟弱巖層中的應力場近似為靜水應力場是可以接受的。同時假設圍巖材料為彈塑性體，且滿足Hoek-Brown準則。

如圖1所示，隧道開挖后，由內向外依次呈現以下4個區域：松動區、塑性區、彈性區和原始應力區。

隧道的半徑為r0；松動區的半徑為rd；塑性區的半徑為rp

根據Hoek-Brown準則[17]，其表達式為

(1)

式(1)中：σ1、σ3分別為最大、最小主應力，MPa；σci為完整巖石的單軸抗壓強度，MPa；mb、s、α為Hoek-Brown準則相關參數，其表達式分別為

(2)

(3)

(4)

式中:mi為反映巖石的軟硬程度的參數；GSI為地質強度指標；D為擾動參數，介于0～1。

基于Hoek-Brown準則，Carranza-Torres[18-19]推導隧道邊緣徑向位移量ux的計算公式為

(5)

式(5)中：r0為開挖隧道的半徑，m；G為剪切模量，GPa；σ0為遠場應力，MPa；pe為保持圍巖彈性狀態的支護應力，當支護應力psp大于pe時隧道圍巖將保持彈性應力狀態，MPa；v為泊松比；P為歸一化臨界應力；S0為歸一化的天然應力；rp為塑性區半徑，m。

式(5)中，S0、P、pe和rp的表達式分別為[18-19]

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：psp為支護應力，MPa。

通過式(5)～式(9)可以看出，影響隧道邊緣徑向位移ux的因素主要分為三類：遠場應力σ0、圍巖力學參數和支護應力psp。

1.2 基于Hoek-Brown準則的最大變形量

在極坐標條件下，根據靜力平衡方程

(10)

式(10)中：r為半徑，即該點位置距圓心的距離，m；σr為徑向應力，MPa；σθ為環向應力，MPa。

由于松動圈巖石滿足Hoek-Brown準則，同時將σr視為最小主應力，σθ為最大主應力。根據式(10)和式(1)可得

(11)

式(11)中：C為積分常數項。

根據邊界條件，在隧道邊緣，r=r0位置，徑向應力等于支護應力，σr=psp，因此得到C的表達式為

(12)

將C代入式(8)，進一步整理得到徑向應力σr的表達式為

(13)

得到徑向應力σr后，代入Hoek-Brown準則[式(1)]中可得出環向應力σθ的表達式為

(14)

至此建立了基于Hoek-Brown準則的隧道圍巖塑性區應力場公式。為了求解最大變形量。從式(2)中可知，當隧道條件一定的情況下，支護應力越小，變形量越大。但過小的支護應力將會帶來安全隱患。利用松動圈剪切滑移理論確定最小支護應力，進而計算最大變形量。

根據讓壓支護理論[20-21]，隨著隧道邊緣變形量的增加支護應力呈現先減小后增大的趨勢。隧道開挖后隨著變形量增加隧道圍巖內部能量釋放，所需的支護應力逐漸減小。進一步繼續增大隧道邊緣的變形，圍巖內部的節理裂隙發育、貫通，支護應力將增大。因此必然存在一個最小支護應力。

根據松動圈剪切滑移理論[22]，假設松動圈內部存在一定量的隨機節理，由圓形隧道的對稱性和應力場公式可知，環向應力即為最大主應力，徑向應力為最小主應力。

如圖2所示，取任意單元，假設內部存在一條節理，節理方向與徑向應力方向的夾角加設為α。采用τj和σnj分別表示節理面上的正應力和剪應力，根據受力條件，正應力和剪應力的表達式分別為

圖2 含節理單元示意圖

(15)

(16)

同時假設抗剪強度τmax為

τmax=fσα+c0

(17)

式(17)中：f為摩擦系數，f=tanφj，其中φj為節理面摩擦角，(°)；c0為節理黏聚力，MPa。

根據剪切滑移準則，當剪應力超過抗剪強度τmax時，節理發生剪切滑移，因此發生剪切滑移的條件為

(18)

借助于莫爾圓，如圖3所示。利用圖3能夠確定優先發生剪切滑移的裂紋角度αd(根據對稱性)為

τj為節理面上的剪應力；φj為節理摩擦角

(19)

(20)

式(20)中：等號左側為單位長度隧道所受到的支護力；等號右側為單位長度隧道圓心上方松動區巖體的質量。

(21)

式(21)中：γ為圍巖重力密度，kN/m3。

根據定義環向應力σθ等于遠場應力σ0所處的位置定義為松動區邊界，即當r=rd時，有σθ=σ0，代入式(21)得

(22)

2 計算方法驗證

2.1 彈塑性應力場驗證

對所推導結果進行驗證，將本文結果與現有研究進行對比。文獻[23]中基于Hoek-Brown準則給出了彈塑性應力場理論解答，根據算例中的工況，圓形隧道半徑r0= 4 m，埋深為200 m，覆巖重力密度γ=0.027 kN/m3，因此遠場應力σ0= 5.4 MPa。巖石力學參數與算例中保持一致，如表1所示，假設存在0.1 MPa支護應力情況下，塑性應力場計算結果與文獻[23]的對比結果如圖4所示?？梢钥闯?，本文結果與文獻[23]的結果一致，證明本文關于塑性區應力場推導的準確性。

表1 巖體參數表[23]

圖4 應力分布對比

2.2 塑性區半徑驗證

采用2.1節中的工程背景，對不同支護應力條件下塑性區半徑進行計算，計算結果與文獻[23]中的計算結果進行對比，結果如圖5所示?？梢钥闯?，本文計算結果與文獻[23]中的塑性區半徑一致，證明了本文結果的合理性與準確性。

圖5 塑性區半徑對比

2.3 最大位移量驗證

鑒于Vlachopoulos等[24]的研究中關于隧道最大變形量的研究已經得到了證實，且與本文算法一致采用了Hoek-Brown準則，因此利用文獻[24]中的計算方法對本文算法進行驗證。其工程背景如下：隧道半徑r0=4 m，遠場應力σ0=28 MPa，給出了兩類巖體中的隧道變形結果，分別稱為Case1和Case2，其巖體參數如表2所示。最大位移量的計算對比結果如表3中所示。

表2 巖體參數[24]

表3 兩種方法計算結果對比

分別對Case1和Case2進行計算，根據支護應力psp利用本文方法對最大變形量uxmax進行計算。然后利用文獻[24]中的方法進行數值計算，從計算結果可以看出，兩種工況下誤差分別為4.4%和2.6%，表明兩種方法的計算結果具有較好的一致性，證明了本文方法的合理性。

3 參數分析與討論

通過對隧道最大變形量uxmax的推導可知，uxmax的影響因素主要包括：遠場應力σ0、巖體地質強度指標GSI、巖石單軸抗壓強度σci、彈性模量E、泊松比v和H-B模型中的參數mi。分別取GSI=20、30、40、50和60的不同巖體，對上述參數進行敏感性分析。在對某個參數進行敏感性分析時，其他參數如表1、圖6所示。

圖6 隧道最大變形量關于各參數的敏感性

圖6(a)給出了隧道邊緣最大變形量與遠場應力σ0的關系?？梢钥闯?，當GSI一定時，σ0與uxmax呈現正相關，曲線呈現上凹型曲線，說明隨著遠場應力σ0的增大，最大變形量增長量越大。通過對比不同GSI，當GSI=20時，遠場應力從10 MPa增長至40 MPa過程中，uxmax增長了13.3 mm，平均增長率為0.44 mm/MPa，GSI分別為30、40、50和60時，平均增長率為0.21、0.12、0.076、0.05 mm/MPa?？梢钥闯觯S著GSI的增長，uxmax對σ0的敏感性逐漸減弱。當地質強度指標較小時，應關注遠場應力對隧道邊緣變形量的影響；當地質強度指標較大時，可近似將變形量視為常數。

圖6(b)、圖6(c)分別為單軸抗壓強度σci和參數mi對隧道最大變形量影響敏感性分析，可以看出，σci和mi對uxmax均呈現負相關。由圖6(b)可知，σci與uxmax呈現上凹形曲線，說明隨著單軸抗壓強度的增大最大變形量減小且減小速率越來越慢。對比GSI分別為20、30、40、50和60時，平均降低率為0.44、0.18、0.06、0.027、0.010 mm/MPa，說明隨著GSI的增大，σci對uxmax的敏感性降低，特別是當GSI超過40后，σci對uxmax變得不再敏感。如圖6(c)所示，參數mi對uxmax的敏感性規律與σci類似，不再贅述。

4 結論

基于Hoek-Brown準則建立了軟巖隧道的最大變形量估算方法，分析了各個影響因素對最大變形量的影響規律，得出如下結論。

(1)基于Hoek-Brown準則推導了塑性區應力場，得到松動區尺寸關系式，引入剪切滑移準則，推導得到了最小支護應力，代入Carranza-Torres位移公式，建立了軟巖隧道的最大變形量估算公式。

(2)利用現有研究成果對本文推導過程和計算結果進行驗證，結果顯示本文方法計算得到的最大變形量與文獻結果的相對誤差均小于5%，證明了本文估算方法的合理性與準確性。

(3)最大變形量與遠場應力σ0呈現正相關，與單軸抗壓強度σ0、參數mi呈現負相關。隨著地質強度指標GSI的增加，最大變形量關于σ0、σci、mi的敏感性均呈現減弱的趨勢，當GSI較大時(超過40時)，最大變形量可近似視為常數。

(4)最大變形量與彈性模量E、泊松比v呈現負相關，隨著地質強度指標GSI的增大，最大變形量與E之間以及最大變形量與v之間的敏感性并未產生顯著的改變。