拱橋的理論極限跨徑分析

張顯雄, 鄧卓章, 方根深, 葛耀君

(1.保利長(zhǎng)大工程有限公司，廣州 510000；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；3.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，武漢 430000；4.同濟(jì)大學(xué)橋梁結(jié)構(gòu)抗風(fēng)技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

公元605年，中國(guó)跨徑37.5 m的趙州橋建成，是世界上第一座空腹式單孔圓弧弓形石拱橋[1]，同時(shí)創(chuàng)造了拱橋跨徑世界紀(jì)錄并保持了近700年之久，直到1300年意大利建成跨徑38 m的Maddalena橋才被打破。中國(guó)幅員遼闊，地形地貌復(fù)雜多樣，山區(qū)面積約占國(guó)土面積的70%[2]，近年來，隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和山區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的持續(xù)推進(jìn)，大跨徑拱橋因其良好的經(jīng)濟(jì)性、耐久性和受力性能，在跨越江河峽谷時(shí)具有顯著的優(yōu)勢(shì)，并不斷刷新拱橋跨徑的世界紀(jì)錄。中國(guó)的鋼拱橋建設(shè)經(jīng)歷了20世紀(jì)80年代、90年代的探索和實(shí)踐，進(jìn)入21世紀(jì)后，多次刷新了鋼拱橋跨度的世界紀(jì)錄。2003年建成的上海盧浦大橋是一座大跨度鋼箱拱肋中承式拱橋，主跨跨度550 m，將沉寂了26年的拱橋跨度紀(jì)錄從518 m提升到550 m。2009年建成的重慶朝天門大橋是一座大跨度鋼桁拱肋中承式拱橋，主跨跨度552 m，再次刷新拱橋跨度世界紀(jì)錄。中國(guó)大跨度混凝土拱橋建設(shè)起步雖然較晚，但是發(fā)展迅速。1997年，中國(guó)建成了主跨420 m的鋼筋混凝土拱橋——重慶萬(wàn)州長(zhǎng)江大橋，創(chuàng)造了混凝土拱橋跨度新的世界紀(jì)錄。2016年，中國(guó)又建成了主跨445 m的滬昆高鐵北盤江特大橋，再次刷新了混凝土拱橋跨度的世界紀(jì)錄。目前在建的南丹—天峨下老高速公路主跨600 m的天峨龍灘特大橋?qū)⒃俅嗡⑿鹿皹虻目鐝郊o(jì)錄，進(jìn)一步推動(dòng)了拱橋極限跨徑問題的研究。

中外學(xué)者對(duì)拱橋極限跨徑的研究由來已久[3]。戴競(jìng)[4]從工程應(yīng)用角度出發(fā)，假定活載為恒載的0.75倍，鋼材容許應(yīng)力取158 MPa，得到鋼拱橋的極限跨徑為1 307 m。夏旻[5-6]以拱肋材料強(qiáng)度為限定條件，研究了恒載下分別以拋物線、懸鏈線作為合理拱軸線時(shí)拱橋的極限跨徑，并對(duì)極限跨徑下拱橋最佳矢跨比范圍進(jìn)行討論。李曉輝等[7]提出了理論極限跨徑與理論可行跨徑的概念，基于理論假定、經(jīng)驗(yàn)和已有研究成果，給出了混凝土拱橋和鋼拱橋的理論可行跨徑。王劍[8]利用ANSYS APDL語(yǔ)言參數(shù)化建模循環(huán)計(jì)算，逐步推斷出不同截面在滿足材料強(qiáng)度、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性情況下鋼拱橋的極限跨徑。趙會(huì)東[9]以混凝土拱橋在軸力作用下的壓應(yīng)力達(dá)到混凝土容許應(yīng)力為控制條件，分析得出了主拱自重狀態(tài)下的極限跨徑。王湘川[10]提出了基于響應(yīng)面法的極限跨徑求解優(yōu)化方法，通過建立極限跨徑優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用多元非線性優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，得到滿足各項(xiàng)限制條件的鋼管混凝土拱橋極限跨徑最大值為821 m。J?rvenp??等[11]指出鋼拱橋以500 MPa計(jì)算，僅考慮均布荷載，拋物線拱的極限跨徑為6 250 m，最優(yōu)矢跨比為1/2.309，懸鏈線拱為8 284 m，最優(yōu)矢跨比為1/2.962。何賓旺等[12]開展了下承式系桿鋼拱橋拱腳應(yīng)力及極限承載力研究。

作為3種大跨徑橋型(懸索橋、斜拉橋、拱橋)之一的拱橋，在過去近百年的時(shí)間里，跨徑增長(zhǎng)十分緩慢，相比于懸索橋和斜拉橋跨徑的突飛猛進(jìn)，拱橋的跨徑幾乎是處于停滯狀態(tài)。早在1931年美國(guó)就已經(jīng)建成了主跨504 m的Bayonne橋，而直到2019年，拱橋的跨徑紀(jì)錄還停留在552 m(重慶朝天門大橋)，八十多年的時(shí)間里跨徑僅增長(zhǎng)不到10%。而隨著鋼管混凝土、勁性骨架混凝土拱橋技術(shù)以及高性能鋼和超高性能混凝土等新材料的發(fā)展，拱橋的跨徑將取得進(jìn)一步突破。其中，混凝土拱橋在材料的應(yīng)用上具有天然的合理性，且超高性能混凝土的應(yīng)用使其跨越能力也不斷增大，勁性骨架施工法又為其解決了施工的難題，可以說混凝土拱橋是最具有潛力的超大跨徑拱橋形式。鋼拱橋雖然在經(jīng)濟(jì)性上沒有優(yōu)勢(shì)，但是從理論分析來看，鋼拱橋具有很強(qiáng)的跨越能力，陳寶春等[17]認(rèn)為修建3 300 m的鋼拱橋具有技術(shù)可行性。

已有的拱橋理論極限跨徑推導(dǎo)均未考慮面外穩(wěn)定條件，而面內(nèi)穩(wěn)定條件推導(dǎo)采用的都是實(shí)腹式矩形截面，且未考慮超高強(qiáng)度材料的應(yīng)用。為此，從強(qiáng)度、面內(nèi)穩(wěn)定和面外穩(wěn)定條件出發(fā)，分別基于拋物線拱軸線和懸鏈線拱軸線推導(dǎo)拱橋的理論極限跨徑，并針對(duì)混凝土拱橋和鋼拱橋，分析其理論極限跨徑隨矢跨比和材料強(qiáng)度的變化關(guān)系。

1 拋物線拱軸線

1.1 強(qiáng)度條件

如圖1所示，取半跨拱為研究對(duì)象。以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則拋物線拱軸線的方程為

l為拱橋跨徑；f為矢高；q均布荷載集度；M、Hg和Q分別為拱頂處的彎矩、軸力和剪力

y=4fx2/l2

(1)

當(dāng)恒載為均布荷載時(shí)，恒載壓力線與拋物線拱軸線重合，故在恒載作用下，拱結(jié)構(gòu)中只有軸力，沒有彎矩和剪力。拱頂截面處的彎矩和剪力都為0，僅有恒載水平推力Hg，其表達(dá)式為

(2)

拱腳處的軸力計(jì)算公式為

(3)

式(3)中：θj為拱軸線在拱腳處切線與水平線夾角。

設(shè)主拱自重在總荷載中占比為λ(在強(qiáng)度條件中可以理解為僅考慮主拱自重的設(shè)計(jì)強(qiáng)度折減率，或者理解為僅考慮主拱自重的極限跨徑折減率)，拱結(jié)構(gòu)為等截面，截面面積為A，拱結(jié)構(gòu)材料容重為γ，恒載集度q=γA，材料抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為fd，考慮《公路橋涵通用設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG D60—2015)[18]中結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)和永久作用分項(xiàng)系數(shù)分別為1.1和1.2，可得基于拋物線拱軸線推導(dǎo)出來的拱橋理論極限跨徑強(qiáng)度條件為

(4)

即

(5)

1.2 穩(wěn)定條件

1.2.1 面內(nèi)穩(wěn)定

拋物線拱在均布荷載作用下，雖然只承受軸向壓力而沒有彎矩，但軸向壓力沿著拱軸是變化的，且考慮到拱的曲率也是變化的，其平衡微分方程是變系數(shù)的，直接求解比較困難，一般只能用數(shù)值法進(jìn)行計(jì)算。工程上常用拱的計(jì)算長(zhǎng)度來近似計(jì)算，類似于中心受壓直桿的臨界力計(jì)算方法，不論采用什么線形的拱軸線，拱的臨界壓力均可近似簡(jiǎn)化為求拱的計(jì)算長(zhǎng)度S0的問題。參考中心壓桿臨界荷載計(jì)算公式，拱的面內(nèi)穩(wěn)定臨界壓力Ncr1(通常作為1/4跨徑截面處的臨界軸壓力)可表示為

(6)

式(6)中，lz為拱的面內(nèi)穩(wěn)定計(jì)算長(zhǎng)度，對(duì)于無(wú)鉸拱l(fā)z= 0.36la；la為拱軸線長(zhǎng)度(弧長(zhǎng))；E為拱結(jié)構(gòu)材料的彈性模量；Iz為拱截面的豎向抗彎慣性矩。

拋物線拱軸線的弧長(zhǎng)(按級(jí)數(shù)展開取前兩項(xiàng))可近似表示為

=l(1+8n2/3)

(7)

均布荷載作用下，拱1/4跨徑截面處的軸力為

(8)

式(8)中：θl/4為拱軸線在l/4跨徑處切線與水平線夾角。

根據(jù)面內(nèi)穩(wěn)定條件Nl/4≤λNcr1/φ，穩(wěn)定安全系數(shù)φ=4.0，可得基于拋物線拱軸線推導(dǎo)出來的拱橋理論極限跨徑面內(nèi)穩(wěn)定條件為

(9)

式(9)中：λ為細(xì)長(zhǎng)比。

為了計(jì)算式(9)中的Iz/A，考慮寬度為b、高度為h、板厚為t的箱形截面，由于截面板厚t相對(duì)于截面寬高b、h是小量，可以忽略含t的高次項(xiàng)，截面慣性矩與面積之比可表式為

(10)

(11)

式中：Iy為拱截面的側(cè)向抗彎慣性矩。

拱橋的主拱截面高跨比h/l一般為1/50～1/100，寬跨比b/l一般為1/20～1/30，此處取h=l/50，b=l/30，由此可將理論極限跨徑的面內(nèi)穩(wěn)定條件改寫為

(12)

1.2.2 面外穩(wěn)定

拱的面外穩(wěn)定臨界壓力Ncr2同樣可以近似寫成中心受壓直桿臨界荷載形式，即

(13)

表1 面外穩(wěn)定計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)

根據(jù)面內(nèi)穩(wěn)定條件Nl/4≤λNcr2/φ，穩(wěn)定安全系數(shù)φ=4.0，可得基于拋物線拱軸線推導(dǎo)出來的拱橋理論極限跨徑面外穩(wěn)定條件為

(14)

2 懸鏈線拱軸線

2.1 強(qiáng)度條件

當(dāng)拱橋的恒載集度(單位長(zhǎng)度上的重力)由拱頂向拱腳連續(xù)分布、逐漸增大且與拱軸縱坐標(biāo)近似呈線性關(guān)系時(shí)，其合理拱軸線為懸鏈線。懸鏈線的線形除了跟矢跨比有關(guān)外，還跟拱軸系數(shù)有關(guān)，可以通過調(diào)整拱軸系數(shù)對(duì)拱的受力進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)非均布荷載的適應(yīng)能力較強(qiáng)，是目前大、中跨徑拱橋采用最普遍的拱軸線形。如圖2所示，取半跨拱為研究對(duì)象，以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，距拱頂x處恒載集度qx可表示為

l為拱橋跨徑；f為矢高；qj和qd分別為拱腳和拱頂荷載集度；M、Hg和Q分別為拱頂處的彎矩、軸力和剪力

(15)

式(15)中：m=qj/qd為拱軸系數(shù)。

懸鏈線拱軸線的方程為

(16)

當(dāng)恒載由拱頂向拱腳連續(xù)分布、逐漸增大且與拱軸縱坐標(biāo)近似呈線性關(guān)系時(shí)，恒載壓力線與懸鏈線拱軸線重合，故在恒載作用下，拱結(jié)構(gòu)中只有軸力，沒有彎矩和剪力。拱頂截面處的彎矩和剪力都為0，拱頂截面僅有恒載水平推力Hg可由式(17)計(jì)算。

(17)

拱腳處的軸力為

(18)

設(shè)主拱自重在總荷載中占比為λ(或者理解為僅考慮主拱自重的極限跨徑折減率)，拱結(jié)構(gòu)為等截面，類似地，可得基于懸鏈線拱軸線推導(dǎo)出來的拱橋理論極限跨徑強(qiáng)度條件為

(19)

2.2 穩(wěn)定條件

2.2.1 面內(nèi)穩(wěn)定

懸鏈線拱的面內(nèi)穩(wěn)定臨界壓力Ncr1(通常作為1/4跨徑截面處的臨界軸壓力)同樣采用參考中心壓桿的臨界壓力公式[式(6)]，懸鏈線拱軸線弧長(zhǎng)的積分表達(dá)式為

(20)

(21)

即4n2k2=(m-1)2時(shí)恰好m=1/cosθj，此時(shí)拱腳的恒載集度為

(22)

設(shè)拱腳微弧段ds的水平投影長(zhǎng)度為dx，則有dx=dscosθj，式(22)可寫為

(23)

(24)

通過式(24)就可以根據(jù)矢跨比n確定合理的拱軸系數(shù)m，此時(shí)懸鏈線拱軸線的弧長(zhǎng)為

(25)

則拱1/4跨徑截面處的軸力為

(26)

根據(jù)面內(nèi)穩(wěn)定條件Nl/4≤λNcr1/φ，穩(wěn)定安全系數(shù)φ=4.0，并引入式(10)的截面特性，可得基于懸鏈線拱軸線的拱橋理論極限跨徑面內(nèi)穩(wěn)定條件為

(27)

2.2.2 面外穩(wěn)定

懸鏈線拱的面外穩(wěn)定臨界壓力Ncr2同樣采用參考中心壓桿的臨界壓力公式(13)，根據(jù)面外穩(wěn)定條件Nl/4≤λNcr2/φ，穩(wěn)定安全系數(shù)φ=4.0可得

(28)

即

(29)

3 懸鏈線拱軸線

綜合上述理論推導(dǎo)，，分別將拋物線和懸鏈線拱軸線強(qiáng)度、面內(nèi)穩(wěn)定和面外穩(wěn)定條件如表2所示，則理論極限跨徑lmax可表示為

lmax=min{lmax1,lmax2,lmax3}

(30)

3.1 混凝土拱橋

根據(jù)《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG 3362—2018)[19]第3.1條和《活性粉末混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(DBJ43/T 325—2017)[20]第3.3條和第3.4條，混凝土的抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fd和彈性模量E如表3所示,混凝土的容重γ取26.0 kN/m3。

表3 混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值和彈性模量

根據(jù)表2和表3可以得到不同材料類型對(duì)應(yīng)的拋物線和懸鏈線拱軸線混凝土拱橋在強(qiáng)度條件下的理論極限跨徑lmax1、在面內(nèi)穩(wěn)定條件下的理論極限跨徑lmax2、在面外穩(wěn)定條件下的理論極限跨徑lmax3和綜合理論極限跨徑lmax，如圖3～圖5所示。

C60、C80、R100、R120、R140、R160、R180、R200為混凝土抗壓強(qiáng)度等級(jí)

C60、C80、R100、R120、R140、R160、R180、R200為混凝土抗壓強(qiáng)度等級(jí)

圖5 混凝土拱橋理論極限跨徑

表2 不同條件下的極限跨徑

可以看出，在混凝土材料強(qiáng)度等級(jí)較低(如C60)時(shí)，極限跨徑由強(qiáng)度條件控制，隨著混凝土材料強(qiáng)度等級(jí)的提高，逐漸變?yōu)榉€(wěn)定條件控制，到R200時(shí)完全由面內(nèi)穩(wěn)定條件控制；在矢跨比1/5時(shí)，拋物線拱軸線條件下，采用C60的理論極限跨徑為627 m，采用R200的理論極限跨徑為2 161 m，而懸鏈線拱軸線條件下采用C60的理論極限跨徑為586 m，采用R200的理論極限跨徑為2 099 m。

3.2 鋼結(jié)構(gòu)拱橋

中國(guó)在高性能橋梁結(jié)構(gòu)鋼的研發(fā)與應(yīng)用上不斷突破創(chuàng)新，2020年7月建成通車的滬通長(zhǎng)江大橋使用了Q500q鋼，2021年建成通車的武漢江漢七橋使用了Q690q鋼。而現(xiàn)行的《公路鋼結(jié)構(gòu)橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG D64—2015)[21]中鋼材的最高牌號(hào)僅Q420，為了得到更高等級(jí)鋼材的強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，根據(jù)《橋梁用結(jié)構(gòu)鋼》(GB/T 714—2015)[22]第7.4.1條中50 mm<厚度≤100 mm鋼材的下屈服強(qiáng)度和《公路鋼結(jié)構(gòu)橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG D64—2015)[21]條文說明第3.2.1條鋼材抗拉、抗壓和抗彎強(qiáng)度設(shè)計(jì)值計(jì)算方法(以鋼材的屈服強(qiáng)度為基準(zhǔn)除以材料抗力分項(xiàng)系數(shù)1.25并取5的整數(shù)倍，此處向下取5的整數(shù)倍)得到鋼材的強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fd如表4所示。鋼材的彈性模量E取2.06×105MPa，容重γ取78.5 kN/m3。

根據(jù)表4和表5，可以得到不同材料類型的拋物線和懸鏈線拱軸線鋼拱橋在強(qiáng)度條件下的理論極限跨徑lmax1、在面內(nèi)穩(wěn)定條件下的理論極限跨徑lmax2、在面外穩(wěn)定條件下的理論極限跨徑lmax3和綜合理論極限跨徑lmax，如圖6～圖8所示。

圖6 拋物線鋼拱橋理論極限跨徑

表4 鋼材強(qiáng)度設(shè)計(jì)值

圖7 懸鏈線鋼拱橋理論極限跨徑

圖8 鋼拱橋理論極限跨徑

表5 矢跨比1/5時(shí)鋼拱橋理論極限跨徑

可以看出，在鋼材強(qiáng)度等級(jí)較低(如Q345)時(shí)，極限跨徑由強(qiáng)度條件控制，隨著鋼材強(qiáng)度等級(jí)的提高，逐漸變?yōu)榉€(wěn)定條件控制，到Q550時(shí)，完全由面內(nèi)穩(wěn)定條件控制；在矢跨比1/5時(shí)，拋物線拱軸線條件下，采用Q345的理論極限跨徑為2 077 m，采用Q500～Q690的理論極限跨徑為2 948 m，而懸鏈線拱軸線條件下采用Q345的理論極限跨徑為1 942 m，采用Q500～Q690的理論極限跨徑為2 865 m。

為便于對(duì)比，表5和表6分別列出了矢跨比1/5時(shí)基于兩種拱軸線的鋼拱橋和混凝土拱橋理論極限跨徑。可以看出，基于懸鏈線推導(dǎo)出來的理論極限跨徑略小于基于拋物線的結(jié)果，主要是由于基于拋物線拱軸線推導(dǎo)時(shí)，假設(shè)恒載為均布荷載，相當(dāng)于忽略了拱腳相對(duì)拱頂?shù)暮爿d集度增量，使得推導(dǎo)出來的理論極限跨徑略有增大。

表6 矢跨比1/5時(shí)混凝土拱橋理論極限跨徑

4 結(jié)論

從強(qiáng)度、面內(nèi)穩(wěn)定和面外穩(wěn)定條件出發(fā)，分別基于拋物線拱軸線和懸鏈線拱軸線求解了拱橋的理論極限跨徑，給出了不同矢跨徑和不同材料類型的拱橋理論極限跨徑。得出如下主要結(jié)論。

(1)研究結(jié)果表明基于懸鏈線推導(dǎo)出來的理論極限跨徑略小于基于拋物線推導(dǎo)出來的理論極限跨徑，但結(jié)果相差不大。

(2)在矢跨比1/5時(shí)，當(dāng)混凝土拱橋主拱采用R200超高性能混凝土?xí)r，其理論極限跨徑可超過2 000 m；當(dāng)鋼拱橋主拱采用Q690高強(qiáng)鋼材時(shí)，其理論極限跨徑可超過2 500 m。

所獲得的理論極限跨徑未考慮結(jié)構(gòu)的局部曲屈失穩(wěn)等問題，在實(shí)踐環(huán)節(jié)中需結(jié)合特定需求做詳細(xì)校核。