基于2-PCR_2-UPS并聯機構的運動學分析與工作空間

賀陽濤，馬春生，文杰，劉建國，李瑞琴

(中北大學機械工程學院，太原 030051)

相比于串聯機構，并聯機構具有剛度高、精度好、承載能力強和動態響應快等優勢[1-2]。在一些精度要求較高的場合，串聯機構因某些精度限制不能滿足要求，并聯機構則可以廣泛應用到各種場合。

近年來，并聯機構相關領域的理論研究取得相當程度的發展，并且在生活生產中的應用也越來越廣泛。張俊轅等[3]通過對2-RPU/UPR并聯機構的相關分析驗證了其在應用方面的合理性。李特奇等[4]應用Adams軟件分析驗證了2RRS/2UPS機構的驅動選取的合理性問題。胡健等[5]提出了一種2-RPU/UPS并聯機構并對其展開了運動學分析。史寶周等[6]結合Adams與MATLAB軟件對3-UPS機構關節約束反力的計算方法進行了分析驗證。袁成志等[7]利用MATLAB編程計算分析對碼垛機器人進行了連桿參數優化。董海濤等[8]通過SolidWorks和MATLAB以及Simulink對建立的碼垛機器人進行了動力學仿真分析。但上述研究多是基于理論研究，缺少工程實踐運用。

為此，提出一種2-PCR_2-UPS非對稱并聯機構，同時可運用于其他行業產品的碼垛與分揀。利用SolidWorks軟件中對2-PCR_2-UPS并聯機構進行建模；根據螺旋理論對2-PCR_2-UPS機構的自由度進行分析，并結合修正的G-K(Grübler-Kutzbach)公式驗證其正確性；在求解機構的運動學逆解過程中主要運用閉環矢量法，使用MATLAB程序語言繪制得出機構工作空間；在Adams軟件中建立虛擬樣機進行仿真分析以證實機構設計的可行性，為下一步的實踐提供了理論基礎。

1 2-PCR_2-UPS機構構型及自由度分析

如圖1所示，2-PCR_2-UPS并聯機構由2條PCR支鏈、2條UPS支鏈、靜平臺以及動平臺組成。相同的運動支鏈呈現相對分布，PCR支鏈的移動副(P)沿X軸方向排布，圓柱副(C)可以同時實現Z軸方向上的移動和轉動，以及繞Z軸轉動的轉動副(R)。UPS支鏈的虎克鉸(U)可同時完成X與Y方向的轉動，球副(S)位于動平臺上，二者中間通過移動副相連。

圖1 2-PCR_2-UPS并聯機構

如圖2所示,定平臺在下方、動平臺在上方，并且二者的外形輪廓都是圓形，A1A3與A2A4互相垂直、B1B3與B2B4互相垂直，C2B2桿和C1B4桿兩桿桿長相等且與動平臺水平。定平臺圓心O到A1、A2、A3、A4點的距離都是R，動平臺圓心O0到B1、B2、B3、B4點的距離都是r。固定坐標系O-XYZ和動坐標系O0-X0Y0Z0如圖2所示。

圖2 2-PCR_2-UPS機構簡圖

依據螺旋理論[9-10]，求解得出機構自由度。

首先對UPS支鏈展開分析，并以虎克鉸U副的中心為原點建立圖2所示的局部坐標系A1-X1Y1Z1，得到運動螺旋系為

(1)

式(1)中：＄i1～＄i6為UPS支鏈的運動螺旋；a11、b11為U副中一個轉軸軸線坐標分量；(a12,b12,c12)為P副的方向余弦；(XB1,YB1,ZB1)為B1點坐標。

由式(1)可知，上述所求的6個運動螺旋互相之間是線性無關的，即對動平臺無任何的約束。

對支鏈PCR而言，以移動副的移動中心為原點建立局部坐標系A2-X2Y2Z2，如圖2所示。求得運動螺旋系為

(2)

式(2)中：a21為A2點在X方向上的分量；b22為B2點在Y方向上的分量。

對式(2)求反螺旋，求得其約束螺旋系為

(3)

通過上述的分析，對式(3)進行反螺旋的求解，繼而可知機構的運動螺旋系為

(4)

綜上所述，2-PCR_2-UPS并聯機構擁有的自由度數目是4，分別為沿X、Y、Z三軸的移動以及繞Z軸的轉動。修正的G-K公式為

(5)

求得M=4，即機構有4個自由度，與螺旋理論所求結果一致。

2 2-PCR_2-UPS機構位置逆解分析

采用封閉矢量法[12]對2-PCR_2-UPS機構的每個支鏈進行逆解分析。

2.1 對UPS支鏈進行運動學逆解

對于UPS支鏈進行運動學逆解分析，在計算過程中，已知動平臺O0在定坐標系O-XYZ下的空間坐標為O0=(x,y,z)、姿態角為(α,β,γ)，即動坐標系分別繞定坐標系x、y、z軸轉動的角度，li(i=1,3)為UPS支鏈中P副的長度量，即AiBi(i=1,3)的長度量。

在O-XYZ下A1點的坐標為

A1=(0,-R,0)

(6)

在O0-X0Y0Z0下B1點的坐標為

B1=(0,-r,0)

(7)

動平臺的旋轉矩陣為

(8)

點B1在定系下的表達式為

(9)

求得B1的絕對坐標為

B1=(x+rsinγ,y-rcosγ,z)

(10)

運用幾何關系，可得

(11)

2.2 對PCR支鏈進行運動學逆解

對于PCR支鏈，設C1B4桿和B2C2桿的桿長皆為l5，li(i=2,4)為PCR支鏈中P副的長度量，即OAi(i=2,4)的長度，在求解過程中，(x,y,z,α,β,γ)均為已知參數。

在O-XYZ下C2點的坐標為

C2=(l2,0,z)

(12)

在O0-X0Y0Z0下B2點的坐標為

B2=(r,0,0)

(13)

動平臺的旋轉矩陣如式(8)所示。點B1在定系下的表達式如式(9)所示。

求得B2的絕對坐標為

B2=(x+rcosγ,y+rsinγ,z)

(14)

利用幾何關系，可求得

(15)

求得

(16)

同理可得

(17)

3 工作空間

通過工作空間分析便于更直觀地了解機構的運動空間范圍，工作空間的主要影響因素包括：移動副的活動范圍、運動副的轉角范圍和機構奇異位型[13-15]。所設計的機構主要固定值為：定平臺直徑為400 mm，動平臺直徑為200 mm，l5的桿件長度是150 mm。限制的約束分為移動副的移動量約束和一定數量的轉動約束，包括：移動桿l1和l3的最小值為70 mm、最大伸長量是500 mm，移動副A2與A4的位置(即桿l2與桿l4的長度)最小值距離到定平臺圓心距離為5 mm、最大距離到定平臺圓心距離為 300 mm；U副的X軸方向的轉動限制為0°～90°、Y軸方向的轉動限制為-90°～90°以及C副繞Z軸轉動的限制為-90°到90°。然后通過MATLAB編程，同時限制移動副與轉動軸的活動范圍，求出機構的運動學逆解，進而得出機構所有的可達點位置并記錄下來，最后利用函數關系繪制工作空間[16-17]，最終的工作空間如圖3所示。通過觀察分析，2-PCR_2-UPS機構沒有奇異位置，在X-Y平面內動平臺繞Z軸轉動的角度最大為90°，具有較大范圍的工作空間。

4 2-PCR_2-UPS機構仿真分析

為機構的運行平穩，防止因突然抖動而導致運輸產品的破壞，采用Adams軟件對機構的逆向運動學過程進行仿真分析，對機構的實際運動性能進行科學的預測分析。.

在Adams中導入2-PCR_2-UPS并聯機構的模型，對其中的各構件進行相應的運動副連接，建立圖4所示的虛擬樣機模型。在進行仿真分析之前，再次驗證機構自由度的準確性。然后在動平臺中心點施加式(18)所示的驅動函數，仿真時間10 s，步數2 000步，結果如圖5～圖7所示。

圖4 虛擬樣機模型

圖5 各支鏈移動副的長度沿坐標軸分量變化曲線

圖6 各支鏈移動副的速度沿坐標系分量變化曲線

圖7 各支鏈移動副的加速度沿坐標系分量變化曲線

(18)

式(18)中：T為施加的移動方向驅動函數；R為施加的轉角驅動函數；t為仿真時間。

從圖5(a)和圖5(b)可以看出，UPS支鏈中P副的移動規律呈現周期性變化，運動平穩，便于進行驅動控制。并且兩個子圖中的Z軸方向的長度分量是完全同步的，進一步證明了動平臺在運動過程中的平穩性。從圖5(c)、圖5(d)可以看出，PCR支鏈中P副只能實現X方向的移動，對機構的構型分析進行了驗證。

結合速度和加速度變化曲線，發現約3 s時各支鏈的波動幅度較大，尤其是支鏈3在X軸方向的加速度變化。并且通過相同時間段(圖5)的位移曲線可以看出，此時動平臺距離定平臺較近。這就要求在實際的控制過程中，當動平臺距離靜平臺較近時，需要降低各桿件移動副的運動速度，以保證機構運動的平穩性。

從圖5～圖7曲線的變化規律可以看出，各個驅動副在運動過程中無間斷點和突然的跳動，運動過程平穩且連續，所以該并聯機構完全可以適用于碼垛、分揀的工作。

5 2-PCR_2-UPS機構的工程應用分析

2-PCR_2-UPS機構可以通過繞Z軸的旋轉改變快遞件的擺放角度，以達到規整產品的目的；同時可以通過X、Y、Z3個方向上的移動完成對不同高度快遞件的要求將其擺放到相應位置。

在實際生活中，快遞件的平均尺寸為290 mm×150 mm×190 mm，2-PCR_2-UPS機構的動平臺是直徑200 mm的圓，可以實現快遞件的抓取工作；并且快遞件重量不超過10 kg，2-PCR_2-UPS機構可以完成相應快遞件的分揀工作；在快遞分揀車間，傳輸帶的寬度尺寸平均為400 mm，2-PCR_2-UPS機構的工作空間完全可以實現相鄰或相接傳輸帶間快遞的分揀工作。

2-PCR_2-UPS機構對快遞產品的分揀工程實例，如圖8所示。在SolidWorks中完成對支架、吸盤的三維建模之后，在快遞分揀流水線上對該并聯機構進行仿真分析，位于動平臺上的吸盤將目標快遞件從一條傳送帶上取走[圖8(a)]；最后將快遞產品運送到另外一條目標傳送帶上[圖8(c)]，完成整個分揀工作。整個運動過程平穩有序，在快遞行業的流水線上具有很好的應用前景。

圖8 2-PCR_2-UPS并聯機構的分揀工程應用

6 結論

(1)通過2-PCR_2-UPS并聯機構的建模以及螺旋理論的分析，得出機構自由度為4，即沿X、Y、Z軸方向上的移動與圍繞Z軸的轉動，結合修正的G-K公式驗證其準確性。在求解運動學逆解過程中主要使用閉環矢量法，為機構的驅動副選取提供了基礎。

(2)通過在MATLAB中繪制出機構的工作空間，經過觀察得出，機構工作空間范圍廣、整體呈對稱分布、空間性能良好，通過Adams仿真分析可以得出機構運動過程連續且平穩，可以滿足各類快遞件的碼垛與分揀工作，同時在其他行業的碼垛與分揀工作中也具有廣泛的適用性。