深探學科核心 沁透數學思維

馮東榆 莊鴻新

2023年10月27日，第十屆“新課堂·新教師”海峽兩岸基礎教育交流研討活動在福建省石獅市舉行。福州市鼓樓區教師進修學校葉育新老師為與會代表展示人教版五上“數學廣角——植樹問題”的教學。

教學片段一：化繁為簡，自主生成

課件展示校園植樹情境。

有一條小路長200米，在小路一邊每間隔5米種一棵樹，一共要種幾棵樹？

師：請你猜一猜，一共可以種幾棵樹？

生反饋：40棵，41棵。

師：我在其他班上課的時候還有同學說種了39棵，先來說說是怎么得到種40棵樹的想法呢？

生：小路長200米，每隔5米種一棵樹，一共可以種40棵，小路的終點不種樹，就是40棵樹。

師：40棵樹是怎么得到的呢？

生：200除以5等于40。

師：小路每隔5米種一棵樹，5米是樹間距，全長200米除以間距5米等于40，40表示什么意思呢？

生：40表示樹的數量。

師：每隔5米種一棵樹，全長200米除以間距5米等于40，表示有40個間隔，40是間隔數，而我們要求的是樹的棵數，這個問題需要我們繼續研究。同樣是在200米的小路上種樹，為什么種樹的棵數不相同呢？

生：他們種樹的情況不一樣，41棵是路的起點和終點都種樹了，40棵是只有起點或者終點種樹。

師：在小路的一邊植樹有幾種情況呢？

生：有4種情況，第一種是小路的起點植樹，終點不植樹；第二種是小路的終點植樹，起點不植樹；第三種是小路的起點和終點都植樹；還有一種是小路的起點和終點都不植樹。

師：還有同學有不同意見嗎？來說說你的想法。

生：我覺得應該只有三種不同的植樹情況，因為小路的起點植樹、終點不植樹和在小路的終點植樹、起點不植樹這兩種情況是一樣的，只能算一種。

師：說得很精彩，植樹的方式是不一樣的，在路的起點植樹、終點不植樹和在路的終點植樹、起點不植樹這兩種情況是一樣的，屬于只種一端；這條路的起點和終點都植樹，屬于兩端都種；這條路的起點和終點都不植樹，屬于兩端都不種。（課件圖略）

【賞析】葉老師通過在具體的現實生活情境中抽象出開放性的數學問題，引導學生積極主動地去“猜一猜”，學生基于已有的“包含除”知識基礎和實際生活經驗，在思考、分析、交流中由淺入深地探究植樹問題幾種不同的植樹情況。整個過程中，葉老師沒有刻意引導學生思考“間隔、間隔數和棵數”之間的關系，讓學生對已有的經驗性理解進行改造和提煉，獲得了對植樹問題不同情況的概念性理解。

教學片段二：自主探究，建構模型

葉老師展示學習單，布置學習小組分別對三種情況進行探究。

活動要求：

1.先畫一畫，選擇一條全長（10米、15米、20米、25米……）的小路畫出示意圖。

2.再填一填，尋找其中的規律。

3.想一想，互相說一說。

①我發現，在（ ）情況下，植樹棵數可以這么求：植樹棵樹＝ ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

②你能說說這是為什么嗎？（可借助剛才的畫圖說明道理，和周邊同學先互相說一說）

學生進行小組活動，教師巡視指導。

第四小組學生匯報。

生：我們組選擇全長20米的小路進行畫圖探究只種一端的情況，它可能是起點種，終點不種；也可能是起點不種，終點種。

師：你們有什么發現呢？借助你畫的圖來說一說。

生：從圖1中，我們可以看到，20米長的小路每隔5米種一棵樹，20÷5=4（個），有4個間隔，只種一端的情況下，20米長的小路種4棵樹。

師：20÷5=4（個），既然是4個間隔，為什么是種了4棵樹呢？能結合圖說清楚你的想法嗎？

生：這種情況是只種一端，我們可以終點種、起點不種，在圖中就是一個間隔種了一棵樹，一個間隔又種了一棵樹，一共是4個間隔，就種了4棵樹。

師：20米長的小路探究完了，長10米、15米、25米的小路在只種一端的這種情況下是怎樣的呢？

生：在表格中，全長10米的小路，10÷5=2（個），有2個間隔，因為只種一端，植樹棵數是2棵；全長15米的小路，15÷5=3（個），有3個間隔，植樹棵數也是3棵；最后全長25米的小路，25÷5=5（個），有5個間隔，植樹棵數也是5棵。（表格略）

師：你有什么發現？

生：我發現盡管小路的長度不一樣，但是在只種一端的情況下，間隔數都等于樹的棵數。

師：為什么“間隔數=樹的棵數”，你能進一步解釋一下嗎？

生（結合圖示說明，圖略）：只種一端，我們可以先看起點種、終點不種的情況，在圖中，一棵樹對應著一個間隔，一棵樹對應著一個間隔……最后每棵樹都對應著一個間隔，所以間隔數=樹的棵數。

師：你的想法真精彩，原來在只種一端的情況下，每個間隔都對應著一棵樹，間隔數和棵數是一一對應的，那植樹棵數怎么求呢？

生：間隔數=全長÷間距，樹的棵數=全長÷間距。

【賞析】雖然植樹問題的三種情況各有不同，但本質是一樣的，教學時都是引導學生通過“一一對應”理解間隔數和棵數之間的關系，從而建立數學模型。在上述片段中，葉老師給予了學生充足的時間以小組合作探究的形式對植樹問題中的只種一端情況展開學習。學生用畫線段關系圖的方式從簡單的問題開始探究，充分理解間隔數與棵數之間的關系。學生借助直觀的表格探索“只種一端”的規律，發現間隔數和樹的棵數相等的關系，再次理解一個間隔對應著一棵樹，從而建立起只種一端情況下的數學模型，就此向學生滲透“一一對應”的數學思想。

教學片段三：模型識別，遷移類推

師：原來植樹當中還有那么多的規律，現在就讓我們帶著規律去解決問題吧。（習題略）

師：這道題屬于我們今天學習的植樹問題三個類型中的哪一類？你覺得題目中哪些地方需要注意？自己動手算一下。

師：在植樹問題中，一定要是“樹”嗎？除了“樹”，還能換成別的事物嗎？

教師出示圖片：福州地鐵一號線，有紐扣的襯衫，整齊排列的禮炮與士兵。

師：你能發現這里面有植樹問題嗎？把什么看作是樹？

生：地鐵站可以看作樹，紐扣可以看作樹，禮炮也可以看作樹。

【賞析】在習題環節，葉老師通過引導學生將所學知識進行應用、小結、發散，解決教材例題1至3，以及練習中的習題，加強對植樹問題模型的概念性理解，并以點到面拓展應用。本課尾聲，葉老師提出“在植樹問題中，一定要是‘樹嗎”，在師生的精彩問答中激活學生的發散思維，順勢豐富植樹模型內涵，以“樹”為支點，巧妙激起學生對“間隔數”類型問題的研究興趣。

［作者單位：廣東省深圳市寶安小學（集團）羅租小學 廣東省深圳市新安中學（集團）外國語學校 責任編輯：王彬］