基于SIR 模型的航班延誤擴散行為研究

王亞含，姚紅光 WANG Yahan,YAO Hongguang

（上海工程技術大學 航空運輸學院，上海 201620）

0 引言

近年來，航班計劃在穩步調整，航班運行量也在穩步增加，但不可避免的航班延誤擴散現象一直為航空運輸帶來了許多負面影響，如旅客的不滿、航空公司成本的損失、航空公司的服務滿意度受到影響等。2017 年至2020 年全國客運航班公司平均航班正常率穩步增長，但延誤航班的數量卻在增加[1]。因此，對航班延誤擴散傳播行為的趨勢變化進一步分析有利于掌握其客觀規律，對其研究可以為有關部門在緩解航班延誤擴散問題上提供決策依據。

劉玉潔等人[2]建立的延誤波及模型是分析同一航班鏈下的航班延誤波及情況，基于貝葉斯網絡從微觀的縱向航班鏈角度來討論延誤波及的有關問題。丁建立等人[3]結合有色Petri 網和時間Petri 網雙理論，對延誤航班間的關聯邏輯關系建立航班延誤鏈式反應關系模型—有色-時間Petri 網，通過仿真實驗得出，延誤時間越長，影響到下游航班個數越多。Wu 等人[4]考察延誤傳播效應使用了Copula 函數，對緩沖時間進行變量，結果表明增加緩沖時間，可降低延誤航班對下游航班的影響。邵荃等人[5]考慮到復雜網絡的拓撲結構建立了有權有向的網絡模型，對某省會機場進行延誤橫向、縱向波及效應的分析。Nakata 等人[6]應用傳染病傳播理論分析了運輸網絡下網絡拓撲連接性的不同與傳播程度的關系。

近年來傳播動力學理論也被逐漸用于空中交通延誤相關研究中，其中部分學者建立傳播動力學模型對航班延誤擴散展開研究。武喜萍等人[7]以宏觀角度分析航空交通延誤傳播與負荷容量級聯失效模型之間的相似性，并把此模型和SIS 模型進行結合改進建立了空中交通延誤傳播SIS 模型，最后通過實例驗證了改進模型的有效性。王興隆等人[8]從宏觀機場節點角度出發，考慮到機場網絡下延誤傳播具有時變性，以機場為節點，構建了時變機場網絡延誤傳播模型，根據其網絡延誤傳播過程里機場節點不同狀態之間的轉變機理，來進行模型仿真并進行實驗參數分析。Li Shanmei 等人[9]基于平均航班延誤波動，從網絡層面建立了數據驅動模型下的易感-感染-康復-易感傳播模型，對其進行相軌跡分析，更好地了解機場網絡下延誤波動演化的過程，并通過仿真來模擬模型下機場網絡間的延誤傳播。張兆寧等人[10]為了能夠更好的應對航班延誤大面積擴散問題，在空中交通網絡環境下基于SEIR 模型相關理論，建立了航班延誤傳播模型，通過分析節點狀態變化計算基本再生數來分析預測大面積航班在機場間發生延誤傳播的過程變化情況。代曉旭等人[11]建立空中交通擁擠傳播SIR 模型，分析擁擠傳播影響因子和消散因子對延誤傳播的影響，在結合實例過程中發現若空中交通擁擠情況較復雜時，新的參數情況則需考慮進來。王晶華等人[12]針對大面積航班延誤傳播問題，基于航班狀態轉化，構建SIR 傳播模型，并對延誤傳播參數和消散參數進行分析討論，來探索大范圍面積的航班延誤傳播的動態過程和變化規律。

現通過分析SIR 模型與延誤擴散之間的相似性，將傳統SIR 模型與航班延誤擴散行為結合起來，建立航班延誤擴散SIR 傳播模型，通過比較不同數值下相軌線的變化來分析正常狀態航班和已延誤并有擴散能力的航班二者變化關系，改變參數變化，以此更好地理解航班延誤擴散的演化趨勢。

1 航班延誤擴散機理及SIR 模型

1.1 航班延誤擴散機理

一般情況下，航班晚于計劃的15 分鐘起飛或到達時，即視為航班起飛或到達延誤。據民航局統計，近年來因天氣等一些不可抗力的延誤因素引起的航班延誤一直以來占較大的比例。而一旦發生航班延誤現象，由于航班時刻連續性、空間有限性以及機組間相關性等互相作用原因，延誤則不可避免的會影響波及到機場及航空公司下游其他航班，航班延誤擴散現象往往產生。

如果沒有出現航班延誤情況整個航班計劃將是一個動態平衡的狀態。假設出現初始的航班延誤時，航班計劃的動態平衡狀態被打破，鑒于航班運行是由多個部門協同合作完成，資源之間具有共享性，與此同時航班延誤擴散不僅會受到多部門間的制約，還會受到其他不同因素的影響，例如，跑道、機場容量、地面設施、每天初始延誤航班的數量、航班延誤時間、飛機停留所需的服務時間、該航班鏈下的機場總數、航班總計劃量、每條航線中航班數量、航空網絡中航線數、空域等這些因素都會影響航班延誤的擴散程度。如果延誤的航班得不到及時妥善處理，航班計劃系統魯棒性則會下降，在航空網絡環境下，延誤波及的擴散一開始由初始航班的延誤通過網絡中節點間的耦合聯結作用影響到下游其他原航班的計劃，造成“多米諾骨牌”連鎖反應，最終會使得整個航班運行系統將會被打破，導致航班延誤數量急劇增加，形成航班延誤擴散現象。例如圖1 中，建立由10 個機場組成的簡單航班計劃模型，機場下航班間的聯系通過航線實現，除始發機場外停留時間均為一小時，可以看出，若其中某個機場的某個航班出現延誤，在有限資源相互制約下，可能導致該機場的其他航班無法正常按航班計劃運行，產生擴散情況。

圖1 航班計劃模型示意圖

1.2 航班延誤擴散SIR 模型分析

傳統SIR 模型可分為三類：易感者S，t 時刻內未染病但有可能被該類疾病傳染的人數比例則記為S（t）；染病者I，t 時刻內已被感染成為病人而且具有傳染力的人數比例則記為I（t）；移出者R，t 時刻內已從染病者中移出的人數比例則記為R（t）。而航空網絡下航班延誤擴散屬于時空傳播動力學范圍，所以上述的傳播機制在航班延誤擴散中也存在。

把SIR 傳播動力學模型傳播過程按其內在規律類比到航班延誤擴散過程中也具有一定的相似特征，可以發現：

（1）上游延誤航班將延誤傳播到與之相連的下游其他航班；這就相當于已延誤并有擴散能力的航班I 可將延誤擴散到其他相關聯的正常狀態航班S。

（2）延誤的航班不會對正在完成飛行任務的航班有影響，其延誤擴散的連鎖反應僅存在于待完成航班中。

（3）延誤航班若能妥善控制延誤擴散所造成的風險，則該航班不會受延誤擴散的影響；這就相當于待完成該次飛行任務的航班R 已不受航班延誤擴散行為的影響。

所以航班延誤擴散SIR 模型下的三種類型狀態，即機場下正常狀態航班S，指發生延誤時，還未受到延誤擴散的影響，其隨時刻t 的比例變化記為S（t）；機場下已延誤并有擴散能力的航班I，且具有的擴散能力還可能影響與之相關聯的后續航班,其隨時刻t 的比例變化記為I（t）；機場下已恢復正常狀態的航班R，指能控制住延誤擴散所造成的風險，不受延誤擴散的二次影響，其隨時刻t 的比例變化記為R（t）。

由以上分析可知，這兩種傳播過程所涉及到的類型狀態、傳播行為都具有一定程度的相似性，在理論上一定程度的論述了借鑒傳播動力學模型的基本思想來研究航班延誤擴散的合理可行性。

2 航班延誤擴散傳播模型

對于航班延誤擴散SIR 模型，假設一定空域內單位時間內航空網絡中運行航線數N 是不變的；不考慮返航、備降和取消航班等其他情況；根據以上說明，基于SIR 的航班延誤擴散模型傳播機制如圖2 所示。

圖2 航班延誤擴散SIR 模型

為了方便研究，以公式（1）為傳播過程中所處狀態下隨時間變化的密度表達方程組：

在式（1）中，方程組分別表示為t 時刻正常狀態下航班所占的比例；t 時刻已延誤擴散的航班比例和時刻航班已恢復正常狀態時所占比例。α 為延誤擴散系數，表示延誤擴散航班的傳播概率，在實際情況下，航班計劃安排、空域容量等因素影響其取值；β 為延誤消散系數，表示由延誤擴散狀態恢復為航班正常狀態的概率，在實際情況下，空域容量、機場容量等因素影響其取值；其二者均為正實數，其比值v 表示相對移除率，表達式為：

以上方程組不存在解析解，相對移除率在模型中采用相軌線分析法，對式（1）計算可得S（t）與I（t）間的關系，S-I 相平面上的相軌線方程為：

解得：I+S-vlnS+C=0。

新的函數關系為：f（S,I）=I+S-vilnS+C。

不斷地調整參數α，β 和初始值S（0），I（0）的取值，從輸出的數據及圖形來觀察航班延誤的傳播規律。分別取v=0.6、1、5/3，其相軌線如圖3（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）所示，相軌線方向全部為逆時針。

圖3

對比以上圖形可得，隨著改變相對移除率的取值，曲線的峰值也不同，說明了延誤擴散反應程度不一。由圖3（a）、（d），圖3（b）、（e），圖3（c）、（f）可知，通過改變初始值S（0），I（0）也可影響到航班延誤擴散的行為。進一步的，如果v 的比值小于1 時，S（t）呈現單調下降的趨勢，I（t）則呈先上升后下降的變化，表明在此情況下，航班延誤擴散行為有蔓延現象，延誤航班數量將到達某個峰值，航班延誤擴散情況較為嚴重。反之，如果v 的比值大于1 時，S（t）和I（t）均呈現單調下降的趨勢，甚至下降至0，這表明通過減少正常航班節點或增加相對移除率的情況下，航班延誤擴散行為將有效得到控制，延誤擴散情況得到緩解。由此可以得到以下結論：

（1）當S=v 時，該點所在曲線的位置為最高點位置，I（t）達到峰值，因延誤擴散造成航班延誤數量此時最多。

（2）當S＜v 時，I（t）值減小，延誤擴散狀況得到緩解且進入消散階段。

（3）當S＞v 時，I（t）值增大，延誤擴散狀況進一步加劇。

3 航班延誤擴散模型仿真分析

3.1 延誤擴散系數變化下的擴散行為分析

（1）賦予一組初始標準化數據；模型求解方法步驟如下所示：設定各個變量和參數的初始取值，S（0）=0.98，I（0）=0.02，R（0）=0。時間t 為自變量，因變量則為各節點狀態的比例。

（2）輸入有關參數，參數取值參考文獻[11]；把上述數據代入公式（1）。

（3）運行模型；使用Matlab 對建立的數學模型仿真。

（4）分析圖形變化。

取β=0.1 保持不變，α 分別取0.15、0.3、0.45、0.6、0.75，觀察I（t）和S（t）的變化，如圖4（a）、（b）所示。

圖4

圖4（a）中隨著時間t 的增加，I（t）曲線變化為先上升后下降；比較五組數據可知，當增大延誤擴散系數α，I（t）曲線越陡峭，也更早的達到峰值，且峰值在不斷變大，其增長和下降的也更快。圖4（b）S（t）中隨著時間t 的增加而下降，且當延誤擴散系數α 越大，S（t）下降速度越快，最后較早達到平穩狀態。以上分析可得，在航班延誤傳播過程中，已延誤并具有擴散能力的航班隨時間的增加則先上升后下降，說明延誤擴散行為在初期較為嚴重，到后期逐漸消散。并且系數α 越大，延誤的航班敏感度較高，則導致延誤擴散傳播的現象更嚴重。所以降低延誤擴散率，將有效地緩解航班延誤擴散現象。

3.2 延誤消散系數變化下的擴散行為分析

取α=0.8 保持不變，β 分別取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，觀察I（t）和S（t）的變化，如圖5（a）、（b）所示。

圖5

在圖5（a）中，比較五組數據可得I（t）曲線的變化趨勢隨著延誤消散系數β 的增大而變得平緩，峰值在不斷減小且出現時間較靠前；圖5（b）S（t）曲線隨著延誤消散系數β 的增大其穩定值在升高，達到穩定狀態時所需的時間也較長，表明S（t）轉換成I（t）的概率在增大。以上分析可得，在航班延誤擴散傳播過程中，延誤消散系數β 越大，延誤航班擴散行為消散的越快，即已延誤并具有擴散能力的航班比例呈減小趨勢，延誤傳播嚴重現象得到緩解，最終擴散將會停止。正常狀態下的航班也將會達到平衡。

4 結束語

通過分析航班延誤擴散行為的傳播現象與傳染病SIR 模型間的相似性，發現航班延誤擴散傳播過程與傳染病的傳播相結合有較大可行性。于是基于SIR 模型的基礎上建立了航班延誤擴散傳播動力學模型，通過對相軌線進行分析比較，討論相對移除率v 的數值變化與延誤擴散行為的關系，研究得出盡可能讓S 小于v，來緩解延誤擴散行為的嚴重性；通過對參數進行分析，得出其參數變化對延誤及消散的影響。希望在今后的研究中，應積極考慮航班狀態間的轉變情況，為減少延誤擴散現象提出可行措施與意見。