利用曲線系 巧解競賽題

梁文勇

?江蘇省大豐高級中學

解析幾何題中常涉及大量的繁瑣計算，但如果選取適當方法，就可以避繁就簡，使問題迎刃而解.曲線系思想是把符合某種條件的一系列曲線用帶有參數的方程統一表示出來，再根據題目中的另外條件確定其中的參數或方程的特征，以此為基礎，進一步解決問題[1].本文中利用曲線系對2021年的兩道數學競賽題進行解答，希望與大家交流.

原參考答案如下：

圖1

進一步得

因為a2∈(4,+∞)，所以f(a)∈(1,3).

解：由題意，設MN的方程為y=k1(x+2)，即y-k1x-2k1=0；設PQ的方程為y=k2(x-m)，即y-k2x+k2m=0.因為直線MP，NQ過M，N，P，Q四點，所以設MP，NQ兩直線的統一方程為

①

②

又直線MP，NQ都過點D(1,0)，設其方程分別為x=t1y+1，x=t2y+1，則MP，NQ的方程可統一為(x-t1y-1)(x-t2y-1)=0，展開為x2-(t1+t2)xy+t1t2y2-2x+(t1+t2)y+1=0，其x2的系數與常數項相等，xy的系數與y的系數互為相反數，因此①式展開也有x2的系數與常數項相等，xy的系數與y的系數互為相反數，則有

因為a2∈(4,+∞)，所以f(a)∈(1,3).

(1)求橢圓C的方程；

圖2

⑤

這里也是通過A1A2，EF的統一方程的系數特征，直接找到m，n之間的關系，避免了繁瑣運算.

通過兩道競賽題的解析，我們看到曲線系方法應用特征明顯，結構精巧，過程簡捷明快，常可減少運算，是訓練數學思維、培養數學素養的好方法，在解題實踐中可有意識地加以運用.

作為練習，最后留一道題：