基于深度學習的高中數學解題策略探究*
——判斷三角形解的個數問題

高 輝

?重慶市永川北山中學校

黃基云

?重慶市永川區教育科學研究所

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》對正、余弦定理要求是：“借助向量的運算，探索邊長與角度的關系，掌握正弦定理、余弦定理；能用正、余弦定理解決簡單的實際問題.”[1]于是新教材(2019人教A版)在內容設置上，“兩邊及其夾角”表示的面積公式未做介紹[2]，也沒有了對三角形解的個數的探究.那么是不是就意味著這樣的題型就沒有研究的必要了呢？答案是否定的.解三角形一直以來就是高考的重點內容、高頻考點，而要更好地理解并掌握正、余弦定理，就要探究三角形解的個數，才能有效引導學生深度理解，深度思考，由低階思維到高階思維，由淺層學習到深度學習.

1 問題呈現，觸發思考

問題已知下列各三角形中的兩邊及其一邊所對的角，判斷三角形是否有解；如果有解，請給出解答.

(1)a=10,b=20,A=60°；

本題的條件背景簡單，在學習了正、余弦定理之后，學生都知道這是解三角形的基礎題型(SSA)，用正弦定理和余弦定理都可以，屬于固定套路，固定模型，是低階思維，淺層學習.但是此題先要確定是否有解，具備一定的開放性.那么怎樣判斷三角形是否有解呢？對于多數學生而言，肯定都是嘗試著用正弦定理或者余弦定理去解答.

2 多解剖析，深度理解

方法1：用正弦定理計算出角B的正弦值，如果它的值在區間(0,1]上，三角形就至少有一解；如果它的值不在區間(0,1]上，三角形無解.對于有解的情況，可以根據三角形的性質(三角形的內角和為180°、大邊對大角等)判斷解的個數.

又B∈(0,π)，則sinB∈(0,1].

因為B∈(0,π)，所以B=60°或120°.

故此三角形有兩解.

點評：通過正弦定理的有效應用，發現此情境下導致三角形解的個數變化的根源是正弦函數，從而揭示數學本質，并找到知識間的聯系，有效促進學生對正弦定理的深度理解，讓學生的思維得到升華.在有效促進深度學習的同時，培養和提升學生的數學運算、直觀想象等核心素養.

方法2：用余弦定理可以得到關于邊c的一個一元二次方程，通過判斷方程有無正實數根來判斷三角形是否有解.判斷解的個數，也可以根據三角形的性質(兩邊之和大于第三邊等)來檢驗是一解還是兩解.

解析：(1)由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA,將a=10,b=20,A=60°代入，并整理得

c2-20c+300=0.

因為Δ=400-1 200=-800<0，所以方程c2-20c+300=0無實數解.故三角形無解.

故三角形有兩解.

點評：通過余弦定理的有效應用，發現此情境下導致三角形解的個數變化的根源是一元二次方程，在夯實余弦定理的同時，引發了深度理解，深度思考，有效促進了深度學習，培養學生數學運算、直觀想象等核心素養.

以上兩種方法實質上就是代數法，可以增強學生對正、余弦定理的理解，進一步積累兩個定理應用的基本活動經驗，培養和發展數學運算核心素養.同時也夯實了三角形的基本性質，對其應用有了更加深入的思考.著名數學家華羅庚先生曾有詩云：“幾何與代數是統一體，永遠聯系，切莫分離！”那么用幾何法能解決此題嗎？答案是肯定的.下面我們用幾何法作答.

方法3：已知三角形的兩邊a,b及其一邊所對的角A，那么就可以先作出角A和確定角的一邊b，三角形的第三個頂點B就自然在角的另一邊上，然后畫出已知角所對邊的最小值(過點C作角的另一邊的垂線段，D為垂足)，比較已知邊與此值(或另一條已知邊)的大小關系來判斷解的個數，即以點C為圓心，a為半徑畫圓，圓與射線AD的交點(非A點)個數就是三角形解的個數，如圖1.然后再解三角形.

圖1

解析：(1)由a=10,b=20,A=60°，可得

所以a

所以bsinA

因此三角形有兩解,如圖1所示.

故三角形有兩解.

為了更好地理解和記憶，引導學生聯想實數的幾何意義，可以利用“數軸”分解的優勢，歸納此情境下三角形解的情況：以a為判斷對象，以bsinA,b為數軸上的分界點，把數軸分成五個區域，于是解的個數對應于這些區域，簡記為“01211”[3].如圖2所示.

圖2

進一步，角A為直角或鈍角時，三角形解的個數該如何判斷呢？顯然當a≤b時，無解；當a>b時，有一解.當然，也可直接通過三角形的基本性質進行判斷.通過對幾何法的解析，滲透了數形結合思想，培養和發展了學生的直觀想象、數學抽象等核心素養.

點評：此類解三角形問題，代數法和幾何法均可以解決，但關鍵在于已知的元素是兩邊及其一邊所對的角，即SSA.其解題模式是固定的，如圖3所示.

圖3

3 拓展探究，深度思考

探究1抓住此類問題的關鍵，已知條件是SSA型，下面的變式就可以迎刃而解了.

變式1把前面的問題條件改為：

(1)a=10,c=20,A=60°；

探究2如果把其中一邊設為變量，即知道三角形的一邊一角和解的個數，能求出它的范圍嗎？

把此方程看作是關于c的一元二次方程，因此三角形解的個數問題就轉化為一個一元二次方程正實數根的個數問題.易知三角形要有兩解，此方程就要有兩個正實數根.

圖4

方法3：(幾何法)結合圖4知，有兩解的條件為asinB

點評：幾何法在解決此類題型上顯然具有優越性.但是在實際操作過程中，幾何法對于多數學生而言是比較困難的.故在教學中，一定要引導學生畫圖思考，通過直觀觀察，得出不等式，從而解決問題.

探究3如果已知三角形的一邊一角，還能確定三角形哪些量的范圍呢？

即a=2sinA,b=2sinB.

點評：本題除了以上方法外，也可以用余弦定理結合基本不等式及三角形的性質求得，在這里不再贅述.不難發現，將解三角形的問題轉化為求三角函數的值域或者基本不等式求最值問題，既體現了試題的基礎性，又體現試題的綜合性，符合高考命題的評價體系.此外還可以引導學生思考是否能求三角形面積的范圍.再如，為什么已知的邊和角是相對應的？其原因是如果邊與角不對應缺乏研究的必要性.

4 題后反思，深度學習

數學是自然的，教師要營造一個善于思考的課堂文化氛圍，讓思維自然流淌，自然生長，才能激發學生的學習興趣，體驗數學學習的快樂.在新時代的教育背景下，題海戰術要逐漸遠離舞臺，因為這不是新課程標準所倡導的，它是學生苦不堪言的源頭.有效脫離題海戰術，實現定“量”提“質”、減“量”提“質”就成了亟待解決的問題.一題多解，一題多變，常態化地對問題進行深度理解、深度思考，有效促進學生的深度學習就顯得尤為重要.