“同構(gòu)法”構(gòu)造函數(shù)在解題應(yīng)用中的一點(diǎn)商榷

姚順禹 王恩普

?江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)淮安市新淮高級中學(xué)

1 引言

在研究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的一類恒成立問題時(shí)，如果能夠在不等式的兩邊構(gòu)造出相同的結(jié)構(gòu)，借助于函數(shù)的單調(diào)性，剝?nèi)?fù)雜的“外衣”，從而簡化運(yùn)算過程，通常把這種方法稱為“同構(gòu)”.對于同一個(gè)問題，由于角度不同，可能構(gòu)造出的相同結(jié)構(gòu)對應(yīng)的函數(shù)略有差異，正是因?yàn)檫@一點(diǎn)，使得“同構(gòu)法”引起了很多人的關(guān)注與研究.在學(xué)習(xí)同構(gòu)法的過程中，有學(xué)生對其中的一種借助同構(gòu)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)的解法產(chǎn)生了疑問.筆者查閱了多本期刊和網(wǎng)絡(luò)資料，發(fā)現(xiàn)利用同構(gòu)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)解決問題的時(shí)候，有些推理過程值得商榷，下面以2020年高考數(shù)學(xué)山東卷第20題的第(2)問為例，來做一些研究.

2 試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

本文中只研究第(2)問借助同構(gòu)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)的解法，首先來看下面的解析.

解析：由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且a>0.

設(shè)g(x)=x-lnx+lna，則

當(dāng)01時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)min=g(1)=lna.

若x-lnx+lna-1≥0在(0，+∞)上恒成立，則只需g(x)min=g(1)=lna≥0，可得a≥1.

評注：上述過程采用了同構(gòu)的思路，相比較直接求導(dǎo)研究最值的方法而言，避開了利用隱零點(diǎn)解決問題的過程，相對簡單并且容易理解.

3 問題思考

前文已經(jīng)提到，本題的恒成立問題有很多解決方案，此處僅對上文提及的同構(gòu)法處理此類問題給出相應(yīng)的改進(jìn)方案.

改進(jìn)方案一：分類討論

解法1：由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，且a>0.

以下過程同原解答過程.

解法2：由題可知，函數(shù)f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，a>0.

當(dāng)00，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.所以g(x)max=g(1)=1.

評注：上述兩種解答過程中利用同構(gòu)“脫去外衣”的前提是在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，如果不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要進(jìn)行分類討論.由于部分區(qū)間顯然可以保證不等式恒成立，因此只需考慮在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情況，最后將兩類情況綜合即可.

改進(jìn)方案二：改變同構(gòu)形式

解析：由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，且a>0.

由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1，于是有ex+ln a-1≥lnx-lna+1，變形得

ex+ln a-1+x+lna-1≥lnx+x.

即ex+ln a-1+lnex+ln a-1≥x+lnx.

設(shè)g(x)=x+lnx，則有g(shù)(ex+ln a-1)≥g(x).

由g(x)的定義域?yàn)?0，+∞),得ex+ln a-1>0，且x>0.

所以ex+ln a-1≥x,即x+lna-1≥lnx在(0，+∞)恒成立.

以下過程同原解答.

評注：這樣的同構(gòu)形式與原解答的形式的區(qū)別在于，構(gòu)造后g(ex+ln a-1)≥g(x)中的ex+ln a-1與x恰好都在所構(gòu)造函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，可以順利得出ex+ln a-1≥x，進(jìn)而解決問題.

4 反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》指出：邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).在本文開頭的解法中，如果只看結(jié)果與答案一致而忽視了過程的邏輯性，這對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是極其不利的.平時(shí)在解題過程中，必須要認(rèn)真審視每一個(gè)步驟是否符合思維邏輯，培養(yǎng)用批判性思維考慮問題的習(xí)慣，勇于懷疑，敢于質(zhì)疑，嚴(yán)密論證，科學(xué)推理，同時(shí)也能進(jìn)一步促進(jìn)創(chuàng)造性思維的形成.