追本溯源：2022年新高考Ⅱ卷第21題解法探究

李中勇 郭萬里 秦 君

?四川外語學院重慶第二外國語學校

1 試題再現

(1)求C的方程；

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.

2 第(2)問解法分析

思路1：此題涉及直線PQ與雙曲線相交，因此可以利用解析幾何常規處理方法，先從設直線著手.設出直線PQ的方程，與雙曲線方程聯立，由韋達定理得出x1+x2，x1x2.以P，Q的坐標為載體，根據直線PM，QM的斜率，可以利用直線方程的點斜式寫出PM，QM直線方程，聯立得出點M的坐標，進而得出點M的軌跡方程.同時，可以用點差法研究AB中點N的軌跡.對照二者的軌跡方程，可以任意選擇①③?②或①②?③或②③?①.

思路2：從條件入手，不同的條件對應不同的解法思路.

(2)參考新人教A版選擇性必修第一冊(2020年5月第1版)第128頁習題3.2拓廣探索第13題,根據直線PQ與雙曲線相交，并結合|MA|=|MB|，可以聯想到中點弦問題.

(3)參考新人教A版選擇性必修第一冊(2020年5月第1版)第68頁探究與發現，根據①M在AB上，及③|MA|=|MB|，可以聯想到利用直線參數方程中t的幾何意義和傾斜角α來解決問題.

解法思維導圖如圖1所示.

圖1

3 具體解法

解法1：軌跡探索.

(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

圖2

設點M的坐標為(xM,yM)，則

設A(x3,y3)，B(x4,y4)，AB中點為N(x0,y0).

若選擇①②?③.

若選擇①③?②.

若點M,N重合，則k=kAB，所以PQ∥AB.

若選擇②③?①.

因為PQ∥AB，k=kAB，則M，N重合，所以M在AB上.

解法2：選擇①③?②，通過尋找點之間的關系，利用中點和斜率坐標表示.

解法3：選擇①③?②，雙曲線的點差法與退化雙曲線(漸近線)的點差法相結合.

由題意，可設P(x1,y1),Q(x2,y2)，M(x0,y0),N為PQ的中點.

前面已經由點差法得到kAB·kOM=3.

同理可得kPQ·kON=3.

即kAB·kOM=kPQ·kON

綜上可得kAB=kPQ，即PQ∥AB.

解法4：設M(x0,y0)，則直線PM的方程為

即kAB=kPQ，所以PQ∥AB.

4 思考與延伸

思考：在上述試題解法中，并沒有用到直線AB過雙曲線的右焦點F這一條件，因此直線AB不經過雙曲線的焦點F，本題的結論依然成立.

圖3

(1)求Γ的方程；

(2)如圖3，過原點O作相互垂直的直線l1,l2分別交雙曲線于A，B兩點和C，D兩點,A，D在x軸同側.設直線AD與漸近線分別交于M，N兩點，是否存在直線AD使M，N為線段AD的三等分點？若存在，求出直線AD的方程；若不存在，請說明理由.