基于高斯積分法高精度獲得各密度級平均密度并用Exce l實現的方法

申永強

（冀中能源股份有限公司 東龐礦，河北 邢臺 054201）

0 引 言

煤礦對應煤層原煤浮沉基元灰分與密度的線性回歸方程可以應用于該礦選煤廠實驗數據的檢驗核對；在對原煤分組入洗確保最大產率時，也可使用線性回歸方程對等基元灰分的分選密度進行預測；分配曲線的繪制也要用到平均密度，而分配曲線廣泛地用于分選設備的評價和產品的預測優化。因此，平均密度的精確計算非常重要，一般情況下都是借助于計算機編程進行精確計算，復雜繁瑣。本文提供了一種借助Excel完成平均密度精確計算的簡便方法。

1 平均密度精確計算公式變形

根據《評定煤用重選設備工藝性能的計算機算法》的規定，遵循質量守恒原理，平均密度的計算可以按照如下公式進行精確計算：

通過對平均密度計算公式的變形，轉化為數學計算問題，即密度曲線數學模型的建立和數值積分的計算。

2 密度曲線數學模型的建立

以東龐2號煤原煤50～0.5 mm粒度級浮沉試驗數據為基礎，利用改進的LOGITISC、雙曲正切、復合雙曲正切三種模型進行擬合，選擇擬合誤差最小的模型作為浮物累計產率與密度函數關系，求導獲得的表達式。

2.1 浮物累計產率與密度函數關系的獲得

東龐2號煤原煤50～0.5 mm粒度級浮沉數據見表1。

表1 東龐2號煤原煤50～0.5mm粒度級浮沉組成Table 1 Composition of 50～0.5 mm particle size grade float and sink of Dongpang No.2 coal

利用excel中規劃求解功能，獲得各種模型的參數和擬合誤差[3]，擬合過程不再敘述。密度曲線模型見表2。

表2 密度曲線模型Table 2 Density curve model

雙曲正切模型的擬合誤差最小為0.40，滿足《評定煤用重選設備工藝性能的計算機算法》的規定，故浮物累計產率與密度關系的表達式為：

對式（2）求導獲得的表達式：

將式（3）的表達式代入式（1）中，獲得平均密度的計算公式：

式（2）式（3）式（4）中，a=-381.470 36；b=382.098 80；c=5.805 19；d=0.668 83。

至此，將平均密度的計算公式轉化為以密度為變量的定積分函數。

2.2 常用模型函數的導函數

為了方便獲得平均密度變形公式的表達式，將選煤上常用數學模型函數的導函數進行匯總，見表3。

表3 常用模型函數的導函數Table 3 Derivative functions of common model functions

3 平均密度的確定

各密度級平均密度確定包括中間密度級和端部密度級。而端部密度級平均密度可以通過中間各密度級的平均密度對平均灰分的線性回歸方程外推獲得[4]，計算較為簡單，因此本文不再做端部密度平均密度的計算部分。

由于中間密度級的平均密度的精確計算公式式（4）中包含有積分項，用Excel直接計算較為困難，故利用數值積分計算方法[5]：只利用有限個節點和函數在有限個節點處的函數值的四則運算，近似計算出平均密度，進而再借助Excel工具實現平均密度的精確計算。

關于數值積分計算的方法較多，本文采用計算較為簡單的三點高斯-勒讓德求積公式進行近似計算，具有5次代數精度。

3.1 一般有限區間的三點高斯-勒讓德求積公式

對于一般有限區間[a,b]，三點高斯-勒讓德求積公式：余項為：

式中：xi和Ai分別為高斯點和高斯系數,η∈(-1,1)。其中，余項的實質為近似計算的誤差。

高斯-勒讓德求積公式一般表達式轉變為三點高斯-勒讓德求積公式，高斯點和高斯系數通過查表獲得。常用的高斯點和高斯系數見表4。

?

3.2 中間密度級平均密度的e xce l表格計算過程

為了方便理解計算，將所有步驟按表5格式在Excel中依次輸入數據。

表5 高斯積分法平均密度計算表Table 5 Gauss integral method average density calculation table

（1）取中間各個密度級的下限和上限，分別放入第2、3列；計算（b-a）/2和（b+a）/2的值，分別放入第4、5列。

（2）從表4中選取A0、X0和A1、X1和A2、X2的值，分別放入第6、7列和第10、11列和第14、15列。

（3）分別計算當i=0、1、2時的值，作為t0、t1、t2，放入第8、12、16列。

（4）在第9、13、17列分別輸入以t0、t1、t2單元格為變量的目標函數——式（4）積分項中的被積函數。其中a=-381.470 35、b=382.098 80、c=5.805 19、d=0.668 83，ti為變量。

（5）分別計算當i=0、1、2時的值，作為∑0、∑1、∑2，放入第18、19、20列；并計算∑0+∑1+∑2的值，放入第21列。

（6）各密度級的產率從表2中選取雙曲正切列的數據，計算yi-yi-1的值，放入第22列；并計算(yi-yi-1)/(∑0+∑1+∑2)的值，放入第23列，即為平均密度。

3.3 高斯求積公式計算平均密度的誤差分析

在對三點高斯-勒讓德求積公式近似計算獲得的平均密度的值進行誤差分析時，雖然可以對式（7）所示的余項的表達式進行計算，但計算難度較大，較為復雜，且計算機編程計算結果的精度較高。故本文以計算機編程計算結果為真值，對高斯法計算平均密度進行誤差分析，見表6。為了方便進行誤差分析，增加表5中平均密度列所數據小數點后保留的位數，并列于表6中。

續表

表6 高斯法計算平均密度誤差分析Table 6 Gauss method to calculate the average density error analysis

從表6可以看出，高斯法計算結果中，1.4～1.45和1.45～1.6密度級平均密度的計算誤差最小，其次是1.3～1.4和1.5～1.6密度級，而1.6～1.8密度級計算誤差最大，絕對誤差停留在小數點后第四位。

從一般有限區間的三點高斯-勒讓德求積公式余項的表達式也可以得出，密度級越寬，高斯法計算誤差越大。

4 結 論

（1）借助Excel計算工具，運用三點高斯-勒讓德求積公式，可以較為精確地獲得各密度級的平均密度。

（2）該方法利用Excel可以完成所有計算，既簡單精度又高，密度級范圍為0.2 g/L時，絕對誤差停留在小數點后第四位，密度級范圍為0.1 g/L時，絕對誤差停留在小數點后第六位，可以滿足實際使用要求。