封閉腔體排液孔的流量系數研究*

胡仁強，張 濤，盧柳韻，許常悅

（南京航空航天大學 飛行器環境控制與生命保障工業和信息化部重點實驗室，南京 210016）

引言

封閉腔體排液流動有諸多的應用場景，如航空發動機短艙排液、管路排液以及飛機燃油箱串油等.封閉腔體排液孔的流動本質上屬于小孔流動.通過調研發現，近年來有關小孔流量系數的研究較為廣泛.目前，人們關于小孔流量系數的研究主要聚焦于如下兩個方面：一是小孔流量系數的影響因素研究；二是小孔流量系數的經驗公式研究.

小孔流動的流量系數受到諸多因素影響，如小孔幾何參數、小孔形狀、小孔加工工藝（孔口倒角）等.聶俊領[1]研究了小孔幾何參數對流量系數的影響，當小孔的長度與直徑的比值趨于一個較大值時，小孔的流量系數趨于一個定值.吳進軍等[2]對鱗片狀孔的流量系數進行了研究，結果表明孔的直徑越大，鱗片狀孔的流量系數也越大.Ding 等[3]研究了飛機起落架減震器中的小孔幾何參數（小孔長度與直徑比l/d、小孔直徑與管道直徑比d/D）及Reynolds 數對小孔流量系數的影響.他們指出Reynolds 數對小孔流量系數的影響較為復雜，l/d的值越大，小孔的流量系數越小.曹睿等[4]對垂直銳邊小孔的流量系數進行了研究，他們發現，小孔直徑和小孔厚度對流量系數存在耦合影響.郭成富等[5]利用實驗手段研究了倒角圓孔的流量系數，分析了不同倒角的小孔流量系數.研究發現，倒斜角和倒圓角的小孔流量系數均大于垂直銳邊孔的流量系數.史維祥和葛思華[6]也對小孔流量系數開展了實驗研究，結果表明在不同油壓差下，小孔直徑增加，流量系數顯著上升.此外，基于對實驗數據的分析，他們還提出了計算小孔流量系數的經驗公式.Webster 等[7]研究了流體的可壓縮性對帶倒角和不帶倒角的小直徑比銳邊孔板流量系數的影響，結果表明，壓縮性對倒角和未倒角孔的流量系數影響均很大；與不可壓流體相反，倒角孔的流量系數比未倒角孔的流量系數小.

人們在研究小孔流量系數的厚徑比尺寸影響時還發現，小孔存在薄孔和厚孔兩種類型[8].當厚徑比小于1.5 時，小孔流量系數變化非常劇烈；當厚徑比在2 ～ 10 范圍之內，且Reynolds 數大于2 × 104時，小孔的流量系數會保持一個恒定值[9].雖然人們發現了薄孔和厚孔的流量系數不同，但是對其流動機理的差異分析較少.

為了便于工程應用，需要建立小孔流動的流量系數計算公式.例如，Abd 等[10]利用實驗手段研究了孔徑和Reynolds 數對小孔流量系數的影響，得到了大量的實驗數據，并建立了計算小孔流量系數的經驗公式.Fu 等[11]試驗研究了堰孔的流量系數，通過量綱分析推導了流量系數與四個無量綱參數的關系式，并對流量系數經驗公式進行了優化和驗證.Eghbalzadeh 等[12]通過試驗獲取了渠道側壁孔的流量系數，提出了考慮孔形狀影響的側壁孔流量系數計算公式.Werth 等[13]提出了用小孔的投影面積和表面積來確定小孔流量系數的方法，并給出了這兩種方法的計算公式.除此之外，黃一帆等[14]根據數值模擬結果得到了一種新的經驗公式，該經驗公式可以預測T 型微通道內冪律流體液滴破裂的不同流型.雖然人們已經得到了一些經驗公式，但是這些公式普適性較差.

流量系數是表征小孔流動性能的重要參數，但小孔的流量系數受諸多因素的影響.雖然近年來可以見到不少有關對小孔流量系數的研究報道，但是仍缺乏對小孔流量系數影響因素的系統研究.此外，工程上希望能夠有一類應用廣泛、可靠度高的小孔流量系數計算公式.本文采用兩相流數值方法對排液孔流動進行模擬，以此得出大量工況下的小孔流量系數.基于對大量數據的分析，借助量綱分析方法獲取適用于不同工況的小孔流量系數預測公式，旨在為工程上小孔的流量系數計算提供理論參考.

1 物理模型和數值計算方法

1.1 物理模型

在當前計算中，需要對封閉腔體進行建模，并在其底部中心開圓形小孔.建立的計算模型為圓弧狀旋成體.為了模擬液體從封閉腔體內部的排出過程，在小孔下方設置一個圓柱形計算域，圖1 給出了計算模型的示意圖以及排液孔局部的網格拓撲結構，第一層網格高度為5 × 10?5m，總網格數約為40 萬.

需要說明的是，本文采用控制變量法來開展相關研究工作，分析水頭高度h、水力直徑d、厚度l等對小孔流量系數的影響.表1 給出了圓形小孔的幾何參數.

表1 圓形排液孔的幾何參數Table 1 Geometric parameters of circular drain orifices

1.2 數值計算方法

封閉腔體的排液過程屬于不可壓縮的氣液兩相流動.該流動過程不考慮傳熱影響，故流動的控制方程僅包含連續性方程和動量方程.在直角坐標系下，封閉腔體排液孔的流動控制方程可以寫成如下形式：

在控制方程(1)和(2)中，ui表示速度分量，p為流體靜壓，F為體積力，ρ和 τij分別為混合介質密度和黏性應力項：

其中，α為氣相體積分數，ρl為液相密度，ρg為氣相密度，Sij=0.5(?ui/?xj+?uj/?xi)為應變率張量，μ為流體黏性系數.氣液兩相的界面捕捉可采用基于level-set 的volume of fluid（VOF）方法，王金城等[15]曾采用VOF 方法研究水滴撞擊壁面形成氣泡群的問題，尹強等[16]也曾采用VOF 方法研究了液滴的對心碰撞過程.由于本文研究的封閉腔體排液孔流動的Reynolds 數最大約為O(104)，故需要考慮湍流影響.這里采用Reynolds 平均Navier-Stokes（RANS）方法進行湍流計算，黏性應力項的計算公式需進行如下改寫：

其中，μL為分子黏性系數，μT為湍流黏性系數.μT需要通過湍流模型進行求解，本文采用的湍流模型是文獻[17]提出的realizablek-ε 兩方程模型.

控制方程(1)和(2)的求解采用基于交錯網格的Simple 算法，動量方程和湍流模型方程的離散采用二階迎風格式，本文的數值模擬工具采用的是商用軟件FLUENT.圖1所示的計算域入口和出口邊界處設為定壓條件，即一個大氣壓，固壁為無滑移無穿透的黏性壁面.

圖1 封閉腔體簡化模型及排液孔局部的網格拓撲結構Fig.1 The simplified model for the closed cavity and the mesh topology of the drain orifice

1.3 排液孔流量系數的量綱分析

量綱分析方法常用于構建物理量之間的相關關系.為了獲取封閉腔體排液孔流量系數的計算公式，首先需要獲取影響流量系數的物理量.在工程上，小孔的流量系數有如下定義[18]：

其中，Q=vA為流經小孔的體積流量，A為小孔的橫截面積，g為重力加速度，h為水頭高度.我們知道，影響排液孔出流速度的因素有水頭高度h、排液孔水力直徑d、小孔厚度l、流體密度ρ、動力黏度μ以及重力加速度g.因此，可以構建如下隱函數：

根據π定理，選取d，v和ρ 為3 個基本量，可以用這3 個基本量組成如下4 個無量綱量：

其中，ai，bi和ci(i=1,2,3,4)為待定系數.根據量綱一致性原則可以得出這些待定系數的值，從而可以得出4 個無量綱量的具體形式如下：

依據π定理并結合式(7)和(9)，不難得出利用函數φ表達出的小孔出流速度v的計算式：

根據式(6)，小孔的流量系數計算公式可以寫成如下形式：

2 結果與討論

2.1 算例驗證與計算細節

為了驗證當前數值計算方法的可靠性，本文對錐形漏斗底部無厚度圓孔的排液流動進行計算，并與已有試驗數據[19]進行對比.依據不同的小孔直徑d和水頭高度h，文獻[19]給出了66 組試驗數據.這里，隨機選取四組工況下的小孔流量系數進行對比，如表2所示，表中exp 表示文獻中的實驗數據，num 表示數值計算的數據.可以看出，當前計算結果與試驗數據吻合較好，這說明當前數值計算方法具有較好的可靠性.

表2 數值與試驗結果對比Table 2 Comparison of numerical and experimental results

為了開展網格無關性驗證，選取三種不同分辨率的網格對圓孔排液流動進行數值計算，即20 萬(grid 1)、40 萬(grid 2)和100 萬(grid 3).用于驗證的圓孔排液流動工況為：水頭高度h= 50 mm、水力直徑d= 10 mm、小孔厚度l= 2 mm.圖2 給出了沿小孔中軸線上的流向速度分布，可以看出，網格數量40 萬的計算結果與網格數量100 萬的計算結果幾乎完全吻合.因此，為了節省計算量，本文采用40 萬的網格完成其余全部算例的數值計算.

圖2 網格無關性驗證結果Fig.2 Grid independence verification results

2.2 單一幾何參數對排液孔流量系數的影響

由上述分析可知，影響小孔流量系數的幾何參數有水頭高度h、小孔水力直徑d以及小孔厚度l.為了分析單一幾何參數對小孔流量系數的影響，這里采用控制變量法研究流量系數隨某一幾何參數的變化規律.所謂控制變量法是在研究小孔流量系數隨某一個影響因素的變化規律時，其他影響因素要保持一致.

圖3 給出了小孔流量系數隨孔厚度的變化，由圖可知小孔流動存在薄孔和厚孔兩種流動特性.這里選取的小孔水頭高度為200 mm，小孔直徑d取為5 mm.當小孔厚度呈現為薄孔特性時，流量系數約為0.61；當小孔厚度為厚孔特性時，流量系數約為0.8.

圖3 小孔流量系數隨孔厚度的變化Fig.3 Evolution of the discharge coefficient with the orifice thickness

圖4 給出了小孔流量系數隨小孔上方水頭高度h的變化.這里選取的水頭高度范圍為10 ～ 500 mm，小孔直徑d取為5 mm.考慮到薄孔和厚孔特性的影響，小孔厚度l取為2 mm 和20 mm 兩種規格.當h<200 mm時，小孔流量系數隨水頭高度的增加而減小，此時的液位稱為低液位；當h≥200 mm時，小孔流量系數幾乎保持一個定值，約為0.61，此時的液位稱為高液位.由此可以看出，低液位時的小孔排液較快，而高液位時的小孔流量系數直接影響小孔排液的速率.

圖4 小孔流量系數隨水頭高度的變化Fig.4 Evolution of the discharge coefficient with the head height

不同的工程問題對排液孔尺寸有不同的要求[20]，故需要研究小孔水力直徑對流量系數的影響.圖5 給出了圓形小孔流量系數隨水力直徑d的變化.這里，選取的小孔水力直徑為5 ～ 20 mm，水頭高度h為200 mm，厚度l取2 mm 和20 mm 兩種規格.當l=2 mm時，水力直徑對小孔流量系數幾乎不存在影響.當l=20 mm時，水力直徑較小的小孔Cd值較大，而水力直徑較大的小孔Cd值則較小，且與l=2 mm時的Cd值幾乎相同，這意味著l=20 mm的小孔呈現明顯的薄孔和厚孔兩種特性.

圖5 小孔流量系數隨水力直徑的變化Fig.5 Evolution of the discharge coefficient with the hydraulic diameter

2.3 薄孔和厚孔兩種特性分析

通過上述分析可以看出，小孔排液呈現薄孔和厚孔兩種特性.為了深入分析這兩種特性的影響，這里對小孔流量系數幾何參數的綜合影響和流動機理進行討論.我們知道，影響小孔流量系數的三個幾何參數（水頭高度h、厚度l和水力直徑d）并未獨立，而是存在耦合影響.事實上，從量綱分析得出的小孔流量系數計算公式(11)可以看出，利用h/d，l/d和Re這三個無量綱數更能反映這些耦合影響.

從圖4 可知，當h≥200 mm(l/d≈2)時，小孔流量系數可以認為不受水頭高度影響.此時，小孔流量系數Cd僅與l/d和Re這兩個無量綱數有關，如圖6所示.為了便于討論，這里的水頭高度取為200 mm.可以認為，小孔的流量系數以l/d≈2或Reynolds 數Re≈9 600為界限取為兩種定值，即

圖6 h/d≥40時小孔流量系數隨厚徑比l /d和Reynolds 數R e 的變化：（a）厚徑比l/d；（b）ReFig.6 Evolution of the discharge coefficient with thickness to diameter ratio l /d and Reynolds number R e for h/d≥40:（a）thickness to diameter ratio l/d；（b）Re

在重力作用下，液體進入排液孔時壓力下降.在銳角小孔入口處，流體發生流動分離，產生分離剪切層，進而在拐角下游形成回流區.當厚徑比l/d較小時，如l/d=0.4的薄孔，小孔內部的壓力未得到恢復，液體便流出小孔，如圖7(a)所示；當厚徑比較大時，如l/d=2的厚孔，沿著小孔側壁的壓力得到恢復，液體發生再附現象，如圖7(b)所示.這里，水頭高度取為200 mm.對比圖7(a)和圖7(b)可以看出，當液體流經厚徑比較小的排液孔時，壓力損失較大，流量系數較小；當液體流經厚徑比較大的排液孔時，壓力損失則較小，流量系數較大.

圖7 利用流線和壓力云圖描述的小孔附近流動拓撲結構：(a)l/d=0.4；(b)l/d=2Fig.7 The flow topology near the orifice of plotted streamlines and contours of pressure:(a)l/d=0.4;(b)l/d=2

為了深入認識薄孔和厚孔內部壓力損失差異的機理，有必要對小孔入口處的分離剪切層失穩過程進行分析.剪切層的失穩過程與剪切層的增長密切相關，剪切層增長率可以用其渦量厚度δω來描述[21].這里，δω的定義為

其中，U1和U2分別為剪切層兩側的平均流向速度，(?U/?r)max表示沿排液孔徑向的最大流向速度梯度.圖8 給出了薄孔和厚孔中分離剪切層的渦量厚度分布.可以看出，在剪切層的初始演化階段，厚孔的剪切層增長較快，增長率約為0.16.由于剪切層的快速增長，使得厚孔內部的分離剪切層失穩早于薄孔，進而導致厚孔內部的壓力得到恢復.

圖8 渦量厚度沿分離剪切層的分布Fig.8 Distribution of the vorticity thickness along the separated shear layer

2.4 小孔流量系數的預測公式

上文已經得到了排液孔流量系數與三個無量綱參數的關系式(11).這里，利用數值模擬數據對不同工況下的排液孔流量系數進行公式擬合.由于影響排液孔流量系數的因素較多，也就是說流量系數公式中的自變量較多.因此，小孔流量系數的計算公式采用非線性曲線擬合較為合適：

式中，αi和βi(i=1,2,3)均為待定系數，這些系數可以由本文數值計算的數據求出.當l/d<2，且水頭高度h<200 mm 時，根據數值計算數據可以求得

因此，式(14)可以寫成

當l/d<2，且水頭高度h≥ 200 mm 時，根據數值計算數據可以得出

式(14)可以寫成

為了對式(18)進一步分析，這里對公式右邊第一、二和三項分別標記為Iterm1，Iterm2，Iterm3，顯然這些項均大于零.需要注意的是，本文考察的小孔直徑最大為20 mm.結合式(18)的適用條件，即h≥ 200 mm，l/d<2，可以得出h/d>10.因此，這三項具有如下關系：

因此，可以合理把式(18)改寫成Cd≈0.61，這與上文給出的結論一致，見式(12).

3 結論

本文利用VOF 方法對封閉腔體流動進行模擬，獲取了排液孔的流量系數.采用控制變量法研究了水頭高度、水力直徑、小孔厚度對小孔流量系數的影響，并擬合了計算小孔流量系數的經驗公式.通過對數值結果的分析與討論，得出了如下結論：

1)當h<200 mm時，小孔流量系數隨水頭高度的增加而減小；當h≥200 mm 時，小孔流量系數幾乎保持一個定值，約為0.61.

2)小孔流動存在薄孔和厚孔兩種流動特性：當l/d<2時，小孔厚度呈現為薄孔特性，流量系數約為0.6；當l/d≥2時，小孔厚度為厚孔特性，流量系數約為0.8.

3)當h≥200 mm時，小孔流量系數不受水頭高度影響.此時，小孔流量系數Cd僅與l/d和Re這兩個無量綱數有關，小孔的流量系數以l/d≈2或Re≈9 600為界限取為兩種定值.