單元整體設計，提高思維能力
——以《四邊形——矩形》設計為例

樓立煥

一、單元設計的意義與作用

課堂教學中會碰到教師課堂教學目標不明確，學生參與度低的情況，原因主要是教師對教學的整體把握欠缺，筆者在對教材的整體研究過程中，更深刻地體會到單元整體教學的重要。從系統角度把握單元知識，找到單元核心知識、核心技能是關鍵，以核心知識(技能)統籌單元所學知識，從而實現從單個知識到整體單元的跨越，這也是進行“思維課堂”的必經之路。明確了這一點之后，就不難進行單元的統整設計了。首先要進行的就是單元核心知識的羅列，從而明確單元主題，后續的分步教學、活動設計、單課目標都圍繞這一主題及單元核心知識展開。

二、以四邊形為例的單元內容和內容解析

在單元設計中考慮到學生們對平行四邊形有一定的掌握，因此，在平行四邊形的演示環節，將平行四邊形轉化為矩形，便于學生們理解平行四邊形與矩形之間的聯系，根據演示結果來試著總結矩形的定義；在學習平行四邊形性質時，從軸對稱角度分析矩形性質，促進學生們對知識運用的質量得到有效提升；同時，在教學過程中積極引入現實案例，從學生們身邊挖掘數學抽象問題，并在課堂上加以詳細解析，使學生們能夠在課堂上感受到數學源于生活并可以服務生活的作用，有利于提升學生的學習興趣。

四邊形是三角形后第二個學習的直線型的幾何圖形，因此其學習模式可遵循三角形學習的一般模式，比如從概念、性質、判定、應用等方面進行研究，從一般到特殊的方向進行延伸；并且四邊形作為多邊形內容的具體實例來講為后續的多邊形學習提供了學習依據。但同時我們也需要關注四邊形與三角形之間的差異性，這種差異性往往就是四邊形最為重要的特質所在，而對特殊四邊形的學習，我們需聚焦到各四邊形內部的聯系與各自的特征，從單元整體的角度去進一步感知其特性與具體問題之間的聯系(圖1)。

圖1

本節課為四邊形的第二課，在平行四邊形基礎上抓住矩形的特征，也就是直角所帶來的相關性質、判定以及結構特征，矩形的復習將為后續復習菱形和正方形提供參照模板和對比對象，而直角所構建的軸對稱模型和直角三角形正是我們定性研究和定量運算的優良載體。對矩形的學習是建立在平行四邊形的基礎上研究的第一個特殊平行四邊形。這樣的結構設置就決定了矩形的教學價值有三個。

1.傳承了三角形從一般到特殊的研究形式，通過強化條件，得到新圖形研究新的性質。

2.強化研究幾何圖形的幾個維度，以及概念、性質、判定之間的聯系。

3.為研究菱形、正方形提供堅實的探究基礎。

因此，我們的復習模式應遵循幾何研究的一般思路，讓幾何復習形成完整并且相互聯系的單元結構。而作為特殊平行四邊形的典型代表，突破矩形的方式主要有兩種：第一，軸對稱背景下的定性研究；第二，依托于直角的定理計算，所以在復習時應從高視角深入地再認識矩形，取得以一破百的效果。

【單元目標和目標解析】

1.單元目標

(1)通過單元整體復習，理解各類四邊形的內在聯系，提升對四邊形整體架構的認識。

(2)通過區分四邊形的差異，進一步體會各四邊形的結構特征，加深對四邊形特性的理解。

(3)以四邊形特征為切入點，通過解決具體問題，理解四邊形的性質、結構特征。

2.目標解析

本節課的內容建立在單元目標的基礎下，通過對整體框圖的再認識，進一步理解四邊形的內在聯系，從而在解決問題時能合理選擇突破口，抓住問題核心。通過對矩形結構特征的進一步認識，解決具體問題，加深對矩形特性的理解。解決問題之后及時進行總結歸納，理解矩形的性質和結構特征在解決問題中的具體作用。

【單元教學問題診斷分析】

對單元整體復習來說，存在的障礙主要有以下幾點。

1.對整體理解的差異性。

2.對方法選擇的不確定性。

3.對基本結構與基本方法總結提煉的困難性。因此本節單元的內容重點在理解四邊形之間的聯系，難點在各圖形的特征結構。

【單元教學支持條件分析】

為了有效實現教學目標，根據問題診斷的要求，決定采用幾何畫板進行變化與歸納，采用同頻技術及時反饋學習成果，精準地解決問題，培養學生的數學思維能力，探尋數學規律。

【單元教學過程設計】

環節一：課時框架梳理

問題1：四邊形基本研究思路是怎樣的？

解析：在研究四邊形時，在轉化思想的引導下，可以將其看做兩個三角形的組合來進行研究。其輔助線可以取對角線，利用對角線來將四邊形分割為兩個三角形，同時結合三角形的性質去判斷四邊形的性質。在實際教學當中，要注重引導學生輔助線的畫法與思路，幫助學生們培養問題研究能力與分析總結能力，同時在合理掌握演繹推理當中運用所學知識來解決新問題，是教學中體現出以生為本育人思想的重要過程。

問題2：這個直角為矩形整體性質與結構特征提供哪些作用？

解析：矩形四個角均為直角，實際上在平行四邊形中，只要一個角為直角，均屬于矩形，與此同時，由于內角為直角，所以矩形的對角線性質與平行四邊形的對角線性質并不相同。平行四邊形的對角線可以不相同，但是矩形的對角線一定相同，在教學中，可以引導學生們來證明矩形對角線相同，即以角相同為性質可判斷其線相同。

問題3：對直角你又會產生什么想法？

解析：在幾何學當中，直角屬于角度為90°的角，從矩形中來看，四個內角均為直角，而從三角形來看，當三角形含有直角時，均為直角三角形，即一角為90°，另外兩角和為90°。而對平行四邊形來講，當一角滿足直角的要求，即可將其視為矩形。

環節二：例題精講

【例1】下列命題判斷正確的是

(B)

A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形

B.順次連接菱形四邊中點所得的四邊形是矩形

C.有一個角是直角的四邊形是矩形

D.一組對邊平行且相等的四邊形是矩形

解析：該題考查的是學生對矩形性質的理解與掌握，從A選項來看，“有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形”，從矩形性質來看，假設平行四邊形的鄰邊角為90°，平行四邊形可以為矩形，而選項并未說明鄰邊角為90°，所以排除A選項；從B選項來看，結合菱形性質與三角形中位線性質來看，B選項正確；從C選項來看，當四邊形一角為直角時，四邊形為矩形，并不滿足矩形性質，當四邊形非平行四邊形時且滿足一角為直角時，此時的四邊形未必為矩形，所以排除C選項；D選項當中“對邊平行且相等的四邊形是矩形”，可以聯系平行四邊形性質來看，平行四邊形也滿足對邊平行且相等，但是平行四邊形并不等于矩形，所以排除D選項。綜合所述，該題答案選B。

【例2】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連結EB，EC，DB。添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是

(C)

A.AB=BEB.BE⊥DC

C.∠ADB=90° D.CE⊥DE

問題1：矩形的判定可以從哪些起點出發，需要何種條件？

解析：在判定矩形時，需要滿足該圖形為平行四邊形的前提，即對邊平行且相等，而題目已知四邊形ABCD為平行四邊形，此時可以利用對角線相等或內角為直角的思路去判定，所以在確定是否滿足對角線相等或內角為直角時，需要利用輔助線證明。

問題2：矩形和菱形的判定方式存在哪些聯系與差異？

解析：矩形和菱形均屬于特殊的平行四邊形，但是矩形的鄰邊不一定相同，而菱形的鄰邊一定相同；從對角線上來看，矩形的兩條對角線相同，而菱形的兩條對角線不一定相同，矩形的兩條對角線不一定相互垂直，而菱形的兩條對角線一定相互垂直。從相同點來看，矩形與菱形均具備平行四邊形的基本性質，且為軸對稱圖形。

【例3】如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于點O，∠AOD=120°，AB=4cm，

(1)判斷△AOB的形狀。

解析：由題目條件可知四邊形ABCD為矩形，而∠AOD=120°，根據三角形性質可判斷∠AOB=180°-∠AOD=60°，且再聯系矩形對角線性質可得知OB=OA，所以再聯系三角形性質，當∠AOB=60°且OA=OB時，OB=OA=AB，即△AOB為等邊三角形。

(2)求矩形對角線的長。

解析：由于△AOB為等邊三角形，所以該矩形的寬為對角線的一半，而根據題目條件得知AB=4cm，所以在求解時可得知AC=BD=2AB=2×4cm=8cm。

(3)點P是AD上任意一點(點P不與點A，D重合)，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，求PE+PF的值。

【例4】如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，則∠AEO=30°。

解析：聯系已知條件得知∠BAE=45°，而∠CAE=15°，所以∠BAC=45°+15°=60°，可知△OAB為等邊三角形，所以∠AOB=60°，同理△ABE為等腰三角形，AB=BE=OB，所以此時可得知△BOE為等腰三角形，根據已知條件得知∠OBE=30°，因此∠BOE=∠BEO=75°，由于∠AOB=60°，所以∠AOE=60°+75°=135°，又已知∠CAE=∠OAE=15°，因此可得出∠AEO=180°-15°-135°=30°。

【例5】如圖，在矩形ABCD中，將∠C沿著BF折疊，使點C落在AD上，點C的對應點為點E，若AB=6，BC=10，求AE，DF的長。

問題1：矩形中的直角在解決此類問題中扮演何種角色？

解析：在解決這類問題當中，直角三角形不僅可以利用勾股定理計算邊長，同時可以在三角形相似中進行推理與計算，從而能夠幫助求解。在初中數學圖形證明題當中，關于矩形證明題的應用十分常見，學生要能在這其中熟練掌握矩形性質，方能在解題中游刃有余。

問題2：能否體會矩形在定量運算中作為良好載體的作用？

解析：矩形屬于比較特殊的平行四邊形，其中內角為直角，所以在圖形邊長定量計算當中，矩形可在其中體現出良好的載體作用。

提煉：體會利用矩形中的直角得到直角三角形，利用勾股定理解決求具體線段長度的作用。

環節三：課堂小結

1.總結矩形的基本性質與判定方法。

2.羅列本節課所學到的矩形的基本結構。

3.分析利用矩形解決具體問題的思路。

【單元整體設計思考】

矩形在初中數學板塊中占據著重要的地位，矩形的教學工作涉及大量的邏輯推理方法，而這些需要在學生已有的直觀感知基礎上充分研究矩形命題，使學生們能夠從中逐漸認識幾何研究中邏輯推理的重要性。而本節課單元教學整體效果良好，達到了預期的教學目標，且突出了教學重難點，但是在課后反思中發現仍舊有一些不足之處：①在例題精講中，名為精講，實則講解未透徹。事實上，在幾何習題中，對學生們的邏輯思維能力考查較多，而發散性思維的有效體現則是數學學習的關鍵，但是筆者在講解例題時忽略了激發學生發散性思維的重要目標，從某種程度上來講，不利于實現活學活用的目的。②學生們在課堂上出現思維性錯誤屬于比較常見的現象，而此刻作為教師，應當及時引導學生，培養其思維能力，但是事實上筆者并沒有對學生做好積極的引導，多以講解題思路來代替思維引導，對學生們的數學學習積極性有一定的負面影響。而初中幾何教學十分考驗數學教師的教學基本功，所以綜合本節課教學，筆者覺得在教學工作中，還有很多有待提升之處，希望在以后教學中要對這些問題加以重視和關注。

三、結語

綜合文章研究結果可以看到，在單元整體教學設計中，教師需要兼顧整體教學目標，促進各子單元教學之間的內在聯系在學生們學習認知中得到有效提升，取得良好的效果。文章以矩形單元教學內容為例，在開展案例分析與例題精講中，幫助學生們提升自身數學知識認知能力，實現培養學生思維能力與數學綜合應用能力的整體單元教學目標。