著眼知識結構 實施整體教學
——和差積商變化規律的教學實踐研究

鄭東洪 方晨霞

一、問題來自學生學習的認識

人教版四年級上冊數學教材安排了“積的變化規律”和“商不變的性質”的學習。積的變化規律對簡便計算及后續解決小數乘法計算等起著重要的作用；商不變的性質主要是進行簡便和小數除法計算以及對分數、比等內容后續知識產生正遷移。在四則運算中，不僅有乘除，還有加減，加減中有和差變化規律。

和差變化規律在小學數學的教材上并沒有作為一個教學內容來呈現，但其的確有它的價值。那么孩子究竟對這部分知識掌握得怎么樣呢？在學習積商變化規律之前，筆者對孩子進行了有關和差變化規律的前測。結果見圖1。

圖1 前測結果分析

通過圖1的前測結果來分析：孩子們對和的變化規律還是有一定的基礎的，即使不上這一內容，孩子大多數也是有感覺的。差的變化規律雖然也有一定的基礎，但是容易混淆，減數變化和差變化規律錯誤率高，說明孩子對減數和差反著變化不清楚。另外從前測數據可以看出，孩子對一種量的變化引發的結果變化還是掌握得比較好的，除了減數和差的變化關系，但兩種量同時變化，從前測看，正確率還是比較低的。

我們的思考是：既然在孩子的學習路上需要這部分知識，而且孩子對這部分知識又不清楚，我們就不能忽視它。和差積商都有變化規律，從知識的產生、發展的角度來看，變化規律之間既有聯系也有區別，我們可以嘗試把和差積商變化規律作為一個知識整體，通過學習主題的重組集中進行教學。

二、改變源于知識結構化的思考

運算中的變與不變規律，教材是蜻蜓點水式的，給我們老師和學生的感覺是輕描淡寫。那么學生學習真的是那么容易嗎？這些規律又是獨立存在的嗎？它們之間有哪些內在的聯系，教學中能實現關聯并融會貫通嗎？我們進行了深度的研究。

(一)學生學習的困難

教材上安排的積商變化規律的學習，是四年級上冊的一個教學難點，之所以覺得這部分知識難，是因為變化規律多，孩子容易搞混淆。每一種運算都有自己的變化規律，以商的變化為例，就有以下幾種：①被除數乘或除以一個數，商變了；②除數乘或除以一個數，商變了；③被除數和除數同時乘或除以一個相同的數，商不變；④被除數和除數同時乘或除以一個相同的數，商變了；⑤被除數乘或除以一個數，除數除以乘一個數，商變化。

孩子們不但要知道已知被除數變化、除數變化，商變化情況，還要知道商變化，被除數、除數變化情況。一個商變化就有如此多的類型，若四種運算規律合在一起，四年級的孩子抽象思維能力有限，極易搞混淆。同時學習四種變化規律，要求孩子都掌握并能正確應用，這對孩子來說也是個挑戰。

(二)教學內容本質的再認識

積商的變化規律在教學上是一個難點。因為規律比較多，又有很大的相似性，學生容易混淆，以至于在作業時錯誤百出。根據對商變化類型的分析，學生需要掌握的變化規律很多，但細細思考，我們發現商的變化的根本是被除數乘或除以一個數，商發生了變化，除數乘或除以一個數，商變化。而商不變的本質還是因為被除數變，商跟著變，除數變，商反著變，最終商的變化抵消了。被除數和除數同時變化，而商變化是因為最終商的變化沒有抵消。

將這些變化規律重新歸類整理，我們認為商的變化規律孩子需要掌握的是：①被除數除以幾，商隨著除以幾；②除數除以幾，商反而乘幾；③被除數除以幾，除數也除以幾，商不變或商變了。

其他的變化規律也是如此：

從和差積商的變化規律分析來看，變化規律可以分為兩類：一類是變的規律，另一類是不變規律。而變與不變的規律中，和與積的變化規律相似，差與商的變化規律相似。但不論是變還是不變規律，其本質都是變化所引起的。所有的變化規律都是由一種量變化引發結果變化，兩種量變化時結果可能變也可能不變，所以不論哪種規律，首先要讓學生理解和差積商都是因為某個數怎么變而發生了變化。

(三)教學內容的整體性重構

通過對和差積商變化規律的本質思考，我們發現和差積商變化規律是有聯系的，用一定的方式讓孩子有聯系地學習，能夠讓孩子更清晰地認識知識的本源，有意義的聯系學習是學習數學的一種非常有效的方式，我們覺得這一部分內容可以作為一個有機整體，集中進行學習，便于學生對知識的溝通聯系，辨別比較。所以我們打算在上三位數乘兩位數這單元之前，對這四種變化規律內容用一定的方式恰當地組織起來集中學習，有利于孩子理解和遷移的知識結構，使學習內容不再簡單孤立而碎片化。根據我們對這部分知識內容的思考，設計了表1所示的教學內容。

表1 教學內容安排表

三、重心在于主題式課堂實踐

當我們有了前面這樣的思考與分析，究竟這樣的思考有價值嗎？需要用實踐去驗證。于是，我們開展扎實的主題式課堂教學實踐。

(一)重組知識，明確目標

和差積商變化規律的教學內容屬于并列式內容，四種變化規律都有相似的教學目標，每一種變化規律要求孩子掌握的知識點也大致相似。

以和的變化規律為例，需要孩子掌握的內容如下：

知識方面：(1)一個加數增加幾(或減幾)，另一個加數不變，和也跟著加幾或減幾；(2)一個加數加幾，另一個加數減相同的數，和不變；(3)一個加數加幾，另一個加數減幾(或加幾)，和在變化；(4)已知一個加數加幾，和減幾，另一個加數怎么變；(5)能用和的變化規律解決實際問題：簡便計算，錯中求解等。

能力方面：經歷猜想、驗證、發現規律、運用規律的過程，提高發現問題、解決問題的能力。

(二)重構教學，由淺入深

我們把和差積商變化規律放在一起教學。從和的變化規律入手，孩子有基礎，也容易理解和掌握。積的變化規律與和的變化規律類似，學生掌握容易一些，上完和的變化規律，接著上積的變化規律。差的變化規律有變化，放到積的變化規律之后，最后是商的變化規律。

從和差積商的變化本質來看，對每一種規律，我們都先讓孩子理解一種量變化引起的結果的變化。孩子只有深刻理解一種量變化引發的結果的變化，才會對兩種量變化產生的結果變化有深入理解。所以每種變化規律的教學，內容都由淺入深，凸顯教學內容本質的一致性，體現學生學習的層次性。

(三)學習方式，融會貫通

除了知識的掌握上有很高的相似性外，在學習方式上也是互通的，猜想規律—驗證規律—發現規律—運用規律是這部分知識的共同學習方法。

先研究和的變化規律比研究積的變化規律的優勢是：對知識點的掌握不需要花很多精力，可以集中精力讓孩子掌握猜想—驗證—發現規律(圖2)的學習方法。孩子經歷猜測由無從著手到有方向合理驗證，由教師幫助到自主進行，發現規律由單一到全面，有效促進教學效率的提高以及孩子學習能力的發展。學生在不斷利用這些概念通過正遷移解決新問題的過程中，數學核心素養得到發展。

圖2 教學過程圖

(四)聯系溝通，內合外聯

如果每一個內容都是分散獨立的教學，一定會給孩子增加記憶和理解的負擔，有聯系的學習則能提高學習效率。和與積的變化規律很相似，但也有區別。差、商的變化規律相似又有區別。

1.構建聯系

我們在讓孩子學習了和的變化規律之后，接著學習了積的變化規律，就是想讓孩子主動建構和與積的變化規律之間的聯系。

師：你認為積有怎樣的變化規律呢？生：一個因數乘幾，積也乘幾。生：一個因數除以幾，積也除以幾。生：一個因數加幾，積也加幾。生：一個因數乘幾，另一個因數除以幾，積不變……

師：積是不是有這樣的變化規律呢？你能驗證這些猜想是否正確嗎？以6×4為例進行研究。

孩子通過舉例驗證后，發現因數只有乘幾除以幾時，積才會乘幾或除以幾。

2.同中求異

在學習差的變化規律時，學生在猜測減數與差的變化規律時，一部分孩子會覺得減數怎么變，差也跟著怎么變，這是受和積變化規律的影響，通過驗證和交流之后，發現減數與差的變化是相反的。除數和商也同樣存在著相反的情況。而這一點正是孩子容易混淆的。

師：和差積商的變化規律中，哪些不變規律是一致的？生：和與積不變的規律是一致的，差和商的變化規律是類似的。生：我記住了和的變化規律，就記住了積的變化規律，我記住了差的變化規律，就記住了商的變化規律。

師：和積不變規律和差商不變規律之間有什么不同？生：和積中變化都是一致的，差和商中減數與差、除數與商是反著變的。

3.異中建同

雖然和差、積商是逆運算，它們之間有著相反的變化規律，但是，這些變化規律最終還是趨向一致的。

師：它們之間就沒有聯系嗎？

生：和不變是因為兩個加數變化，和的變化最終抵消了；減數變化差反著變，正因為反著變，差最終還是抵消了，所以最終的不變都是將和或者是差的變化最終抵消了。

只有在聯系與對比中學習，學生才會對所學知識正確辨析，頭腦中留下正確的知識。

(五)主攻疑難，凸顯思維

在和差積商的變化規律這一知識體系的學習中，學生除了因規律多容易混淆之外，已知一種量的變化，結果的變化，逆向思考另一種量的變化，這是教學上的難點。如果只有一個不變量，那么逆向變化的難度并不大，難的是已知兩種量在變化，倒推另一種量的變化。與此相對應的試題有：

(1)兩數相加，一個加數減少12，要使和增加4，另一個加數應( )。

(2)兩個數相乘，一個因數乘5，積除以2，另一個因數應( )。

(3)兩個數相減，如果被減數增加32，要使差減少52，減數應( )。

(4)兩個數相除，被除數乘16，要使商乘4，除數應( )。

逆向思維的題，對孩子來說是很難的，最難的是減法和除法。但對和差積商變化規律本質理解之后，學生能充分展現自己的思維。

以兩個數相除，被除數乘16，要使商乘4，除數應( )為例。

復雜的題的變化是由基本的變化演變而來的，不論多復雜，都是對一種量變化而引發商的變化的運用。所以讓孩子正確表達，展示自己的思維過程，既鞏固了一般規律，也是正確解答復雜變化的必要措施。

(六)查漏補缺，及時練習

和差變化規律教材上沒有，積商變化規律教學編寫得很簡單，配套練習很少，需要我們老師去設計一些練習，及時鞏固課堂教學。根據我們的預設目標，這一部分知識，主要練習內容有兩部分：(1)對變化規律的鞏固；(2)增加了簡便計算。根據教學內容，我們每節課后都設計相應的配套練習，通過不同形式的練習，及時了解孩子對知識的掌握情況，查漏補缺，發現孩子哪塊知識掌握得不夠好，就可以馬上進行補救。

四、反思修正，且行且進

1.我們將和差積商變化規律放在一起教學，雖然增加了和差變化規律，但是在實踐中用聯系比較的學習主題式教學，方法上觸類旁通，絕大多數孩子能夠正確區分，掌握的規律不會混淆。

2.在教學中堅持讓孩子理解一種量變化引發結果的變化是根本，是解決兩種量變化結果變與不變的基礎，也是解決逆向求其中一種量變化的基礎。一切變化規律都是從一種量的變化開始。學生通過正遷移解決新的問題，數學核心素養不斷得到發展。

3.要讓變化規律解決問題成為孩子的思考習慣。和差變化規律很多時候在簡便計算中發揮著重要的作用，當孩子看到題目要求用簡便方法計算時，他會不自覺地想到運用這些變化規律，如果題目上沒有要求簡便計算，比如：在○里填上“>”“<”或“=”。

420×60○42×600

240×36○480×18

在這樣的題目中，孩子能有意識地運用積不變規律去解決問題，這也是我們老師所希望的。路漫漫，我們將在已有實踐基礎上，不斷探討，找到更為有效的教學方法。