多開多備設備組穩態可用度計算方法研究

孫福廣，王克林，胡久韶，高振宇

（合肥通用機械研究院有限公司，安徽合肥 230031）

0 引言

近年來，RCM（Reliability Centered Maintenance，以可靠性為中心的維修）在各類大型工業領域越來越廣泛地得到工業企業的認可與重視，并逐漸在石油化工、電力系統等領域的大型裝置中得到更廣泛的應用[1]。RCM 技術最核心的作用就是，通過定量RCM 分析為系統設計與維修方案提供提供一定的理論依據，而定量RCM 分析最重要的指標便是其可用度隨著時間變換的計算[2]。大型裝置系統可用度隨時間變換的計算，主要是通過馬爾科夫鏈狀態轉換矩陣[3-5]進行迭代計算的，一般以1 h為單位，隨著使用時間的增加，系統的可用度逐漸趨向于一個定值，即穩態可用度。但是現在，大型機械設備裝置已經發展成為一個非常復雜的設備系統，而且機械設備運行時間更長，對設備系統的運行穩定提出了更高的要求。通常情況下，大型設備系統裝置的運行時間一般為幾萬小時或幾十萬小時起步，因而其裝置可用度的計算也帶來了幾十萬次的復雜矩陣轉換計算[6]。大多數情況下裝置的可用度會隨著時間的變化逐漸下降并收斂于一個穩定值，形成平穩分布[7]，即穩態可用度。在大型石化、電力等企業，穩態可用度往往對復雜大型裝置的設計具有一定參考價值，這就意味著需要計算時間趨向于無窮大時設備狀態的分布情況，為了滿足精度要求，帶來了更為繁重的計算任務。

在實際工程應用當中，用穩態可用度來衡量系統可用度最為常見。但是在計算穩態可用度的過程中，矩陣計算的計算量巨大且計算過程緩慢，有很大不便，導致采用矩陣轉換計算設備組穩態可用度的方法在實際工程中遇到了很大瓶頸。尤其是石化、電力企業的大型生產裝置，當同時需要計算幾十個設備所組成系統的可用度時，無論是空間復雜度過大還是時間復雜度過長，都會導致計算體驗較差。此外，過于復雜的計算過程，也為裝置設計人員帶來了較大的不便[8]。

鑒于傳統計算方式的不便，可以推導相關的解析式[6]，并依據解析式來計算多開多備設備組的穩態可用度。作為新穎的解決方法，盡管解析式可靠且方便，但因為解析過程中涉及到解微分方程，對于復雜系統而言其推導過程過于復雜，很難得到多開多備復雜系統穩態可用度的解析解。在相關文獻中，即使多開多備系統的穩態可用度有解析解，也是假設備用設備的失效率與運行設備失效率相同，而實際上備用設備的失效率與運行設備的失效率完全不同且相差很大，其計算結果也是相差較大，相關的精確度難以得到保證。因此，在計算多開多備設備組的穩態可用度時，需要一個較為貼合實際解析結果的快捷計算方法。可以為多開多備設備組的穩態可用度計算，特別是大型成套裝置的穩態可用度計算，提供一個具有參考意義的指標。

為了得到多開多備設備組可用度的快捷計算方法，同時滿足工作所需的精度要求，本文首先對一開一備設備組穩態可用度的通用解析解（注意，運行設備與備用設備失效率不同）進行推導。隨后依據相關文獻［2］與多年的從業經驗，將多開多備設備組設備組等效成相似的一開一備設備組，進一步研究其穩態可用度，得到應用于多開多備設備組的穩態可用度計算方法。最后，通過傳統矩陣轉換的可用度計算結果與該計算方法得到的穩態可用度計算結果進行對比驗證，確保了該計算方法在一定精度要求范圍內是有效的。

1 一開一備設備組穩態可用度解析式

為了推導出一開一備設備組穩態可用度的解析解，本文設計了一個一開一備設備組模型，根據設備組模型繪制出了模型的狀態轉換圖，接著依據狀態轉換圖得到設備組的狀態微分方程，隨后借助拉普拉斯變換與拉普拉斯逆變換對狀態微分方程進行推導求解，得到了常規一開一備設備組穩態可用度的解析式。

在本文的一開一備設備組中，設備組由兩個性能屬性相同的設備A 與設備B 組成（在工程應用中通常也是由參數相同的設備組成一開一備或多開多備設備組）。

在設備組中，兩個設備的運行失效率與備用失效率分別為λ、λs，失效時，兩設備的修復率均為μ。用x（t）表示t 時刻系統的狀態，則該一開一備設備組系統共有5 種狀態，分別是：

該一開一備設備組的狀態轉移圖如圖1 所示，每個狀態由3 個方框及字母表示。3 個方框中，第一個方框內標記著運行設備，第二個方框內標記著備用設備，第三個方框內則標記著在維修的設備。字母A 和B 分別代表著設備A 與設備B。只有當兩個設備都處于故障時，該一開一備設備組系統故障，即系統處于不穩定狀態。因此，當該系統處于狀態s0、狀態s1、狀態s2、狀態s3時，系統均處于穩定狀態。

圖1 狀態轉換

根據該一開一備設備組系統的狀態轉換圖，可以得到該一開一備設備組系統的狀態微分方程為：

根據式（1）可知，狀態s0與s1類似（僅僅是設備A 與設備B所處的狀態互換），狀態s2與s3也僅僅式設備A 與設備B 的狀態互換，因此本文定義狀態0 為狀態s0與s1二者的狀態，狀態1為狀態s0與s1二者的狀態，狀態2 為狀態s4，該得到該系統新的狀態。結合前文，該系統的穩定狀態為狀態1 和狀態2。該系統的狀態微分方程為：

根據該系統新的狀態微分方程，對方程組進行拉普拉斯變換。結合該系統的初始條件P0（0）=1，Pi（0）=0，i=1，2，對式（2）進行求解，可以得到求解結果：

同時，考慮到在穩定狀態下，系統各狀態的概率不隨時間變化，為恒定常數，因此系統的各個狀態滿足滿足t→∞：Pj（t）→Pj（j=0，1,2）。根據該條件，得到該方程組的解析解為：

2 多開多備設備組穩態可用度快捷計算方法

為了得到多開多備設備組穩態可用度的快捷計算方法，本文首先查閱了文獻［2］、文獻［6］，得到串聯系統與并聯系統的等效失效率、修復率，然后將多開多備設備組等效為一開一備設備組，根據企業對系統的不同要求、標準，將多開多備設備組分為裝置停車、降負荷兩種情況，并結合工程應用實踐得到了多開多備設備組在裝置停車、降負荷兩種情況下的等效運行失效率、等效備用失效率以及等效修復率等相關等效參數。

在處理多開多備設備組系統的過程中，可以根據該系統內的各個設備的狀態（工作狀態/備用狀態）將復雜的多開多備設備組分為工作子系統與備用子系統。在工作子系統與備用子系統內部繼續進行工作子系統、備用子系統的進一步劃分，直到劃分到具體的單個設備。在劃分過程中，分別根據式（9）與式（11）得到不同設備以及子系統所組成系統的失效率與修復率。隨后再進一步采用由兩臺設備所組成的并聯可用度解析式進行下一步的計算。根據文獻［2］可以得到串聯子系統失效率λs為：

其中，λi（i=1，2，…n）為設備失效率。

在由失效率分別為λ1與λ2所組成的兩設備并聯子系統中，根據文獻［6］可得到該并聯系統的可用度解析式為：

式中各參數表達含義為：

查閱文獻［2］可以得到關于并聯系統的失效率與修復率的解析式，根據該式進一步進行推導計算，可以得到并聯系統的等效失效率λp：

2.1 導致裝置停車情況的設備組可用度

在大型裝置中，同一多開多備設備組系統的所有設備參數相同。每個設備的工作失效率、備用失效率與修復率分別為λ、λst和μ。與此同時，在實際工程中多開多備設備組的所有設備在物理上是并聯的，當所有的并聯設備全部停止工作時，設備組所有設備會進入維修狀態，從而導致整個裝置停車。在這種情況下，多開多備設備組的所有運行設備在邏輯上也是并聯的。與運行裝備一樣，備用設備在物理上、邏輯上也都是并聯的。另外，在大型企業中，物資、人力資源較為充沛，因此對于任意子系統的修復率視作恒常量μ。

基于以上思路，本文分別給出了常見泵組一開一備、兩開一備、三開一備、四開一備以及五開兩備泵組中λ1，λ2，μ1μ2（一開一備設備組等效參數）的計算公式（表1）。

表1 多開多備停車情況的相關參數

2.2 導致裝置降負荷情況的設備組可用度

在與上一節條件相同的多開多備設備組系統中，雖然多開多備設備組在物理上是并聯的，但是在實際工程的過程中，當運行設備的數量減少同時備用設備故障時，由于設備組的運行設備數量減少，裝置會進入降負荷工作的狀態，故而各設備之間在邏輯上屬于串聯狀態。圖2 為兩開一備該種狀態下的狀態轉換圖。

圖2 兩開一備降負荷情況狀態轉換

在兩開一備設備組中，當損壞設備達到兩臺之后，系統降量工作，認為系統處于不可用狀態。根據兩開一備的狀態轉換圖，可以得到類似一開一備的狀態微分方程：

本文同樣對三開一備、四開一備等設備組進行了研究，由于其狀態轉換圖與一開一備、兩開一備十分接近且過于復雜，本文只給出其對應的狀態微分方程。

（1）三開一備的狀態微分方程：

（2）四開一備的狀態微分方程：

對比式（2）、式（12）、式（13）與式（14），對多開一備設備組印證了前文中所提到的工作設備在邏輯上是串聯的。

同樣，本文對多開多備設備組進行了研究，給出了一開兩備、五開兩備設備組的狀態微分方程。

（3）一開兩備的狀態微分方程：

（4）五開兩備的狀態微分方程：

對比式（15）與式（16），對多開多備設備組同樣印證了前文中提到的“工作設備在邏輯上是串聯的，備臺設備在物理上、邏輯上都是并聯的”。根據以上分析，本文分別給出了多開多備泵組中λ，λs，μ1μ2（一開一備設備組系統等效參數）的計算公式。

3 實例計算

假設在多開多備離心泵組中，單臺泵的運行失效率為λ=5×10-5失效/h，備用失效率為λst=5×10-7失效/h，修復率恒定為μ=0.008 修復/h。離心泵組常用的組合方式有一開一備、兩開一備、三開一備、四開一備、五開兩備，通過等效一開一備的處理方式來計算泵組的不可用度。上述泵組的一開一備等效參數及不可用度見表3。

表3 多開多備泵組不可用度計算表

由表2 和表3 可知，多開多備導致裝置停車的事件概率非常低。工程上，多開多備泵組主要問題是導致裝置降負荷運行。從降負荷概率來看，多開一備的可用度比一開一備的會更低，這也與實際工程經驗相符。

表2 多開多備降負荷情況的相關參數

4 結論

本文從一開一備設備組可修系統的狀態轉換方程入手，推導工作失效率與備用失效率不同的一開一備設備組穩態不可用度計算的解析式。并根據一開一備設備組的可用度表達式推導出多開多備設備組可用度的等效表達式，通過將多開多備設備組等效為一開一備設備組的處理方式解決了多開多備設備組可修系統穩態可用度的復雜計算問題，在滿足一定精度條件的前提下大大提高穩態可用度的計算效率。實踐證明，該處理方式能夠滿足實際工程需要，尤其是適用于大批量設備組的可用度計算，這對RCM 技術在我國過程成套裝置的推廣應用具有重要意義。