高速動車組數據驅動無模型自適應控制方法

李中奇 周 靚 楊 輝

動車組的自動駕駛系統是智能高速鐵路發展的關鍵技術之一[1],如何在動車組運行速度越來越快、運行環境越來越復雜多變的情況下設計出效果好的控制器仍然是個難點.

針對動車組運行控制問題,國內外學者已經發表了眾多的研究成果,大體上分為基于模型和數據驅動的控制方法.其中,基于模型的控制方法研究有: 文獻[2]利用有效性評價指標確定最優的預測模型個數,然后采用減法聚類方法(一種用來估計一組數據中的聚類個數以及聚類中心位置的單次算法)建立多模型集合,設計了多模型廣義預測控制器,但文章只是建立了列車運行過程的線性模型,對于模型參數不確定性沒有很好的體現出來;文獻[3]嘗試采用極大似然估計法對列車模型的非線性部分進行系數辨識,取得了不錯的效果,但極大似然法有可能在計算時陷入局部收斂,并且需要了解系統的部分特性.以上方法研究對象為單質點列車,與單質點模型相比多質點模型更接近列車實際運行狀態.文獻[4]提出了一種列車制動過程的辨識方法.首先通過分析多質點列車實際制動過程,并將該過程描述為單點時延模型,隨后將基于Picard 迭代的辨識方法(常微分方程解的一種主要近似計算方法)應用于該時滯系統.文獻[5]分析了列車運行的動態過程,考慮車廂類型及運行狀態,建立了列車非線性多質點動力學模型,對其設計速度環自適應魯棒非線性預測控制器.文獻[6]建立高速動車組的強耦合模型,設計分布式神經網絡滑模控制策略.其運用到的子空間辨識方法對模型結構先驗知識需求較少,但本質上還是基于模型的控制方法.文獻[7]提出了一種自適應數值方法來解決列車最優控制問題,通過對控制輸入引入二元函數,對其進行松弛,并對松弛施加懲罰函數,將問題轉化為參數優化問題.文獻[8]分析了貨運列車的控制原理,包括安全要求、快速運行、周期性制動等,提出了一種快速列車運行仿真算法.上述文獻的控制策略設計與穩定性分析往往需要預先獲取系統模型參數,或者需要對系統非線性部分進行線性化逼近.倘若系統模型未知或者存在較大擾動等情況,這些方法很難適用.

無模型自適應控制(Model-free adaptive control,MFAC)僅利用被控系統的輸入輸出數據進行控制器設計,是一種典型的數據驅動控制方法,由侯忠生在其博士論文中提出[9].MFAC 在滿足一定假設條件的基礎上,通過引入偽偏導數概念,在離散系統的每個工作點處,建立一個等價的動態線性化模型,然后利用這個動態線性化模型設計控制器、結構自適應律以及構建穩定性分析等.經過多年發展,已經在許多實際系統中得到了成功應用[10-16]: 例如文獻[14-15]將MFAC 運用到汽車軌跡跟蹤問題上;文獻[13,16]將MFAC 運用到機器人等不確定系統中;還有與其他控制方法相結合的研究,文獻[12]考慮將MFAC 與滑模控制相結合,設計不確定機器人系統的無模型自適應滑模控制,為MFAC與其他控制方法的結合提供參考.將MFAC 運用到軌道交通領域的研究有: 文獻[17]結合動態線性化技術和預測控制,通過在線求解列車系統每個采樣點的有限域閉環最優控制問題,得到當前控制量;文獻[18]將列車輸入輸出數據轉換為緊格式數據模型,在速度和牽引/制動力約束下,提出了基于執行器故障的無模型自適應容錯控制方法;文獻[19]將傳統無模型自適應控制用于單質點列車速度跟蹤控制當中.以上方法對系統進行線性化處理時,僅考慮了系統下一時刻的輸出變化量與當前輸入變化量之間的關系.原系統中所有可能的復雜行為,如非線性、參數時變或結構時變等,都壓縮融入時變參數中.所以該方法運用到實際系統中時,需要設計更為復雜的時變參數估計算法才能獲得較好的控制效果,加大了設計難度,且缺乏設計靈活性;文獻[20]針對高速列車運行控制中的牽引/制動力約束和執行器故障問題,提出了基于偏格式動態線性化的無模型自適應容錯控制.上述方法的研究對象均為單質點列車/地鐵列車系統,與實際情況中多質點/多動力單元系統不符,且均未考慮能量損耗指標.

基于以上分析,本文提出了一種改進的適用于高速動車組的偏格式動態線性化無模型自適應控制(Partial form dynamic linearization-improved model-free adaptive control,PFDL-iMFAC)方法.

1)與文獻[19]采用的緊格式線性化(Compact form dynamic linearization,CFDL)數據模型相比,本文采用的偏格式線性化方法綜合考慮下一時刻輸出變化量與固定長度滑動時間窗口內的輸入變化量之間的關系,而非籠統地將原系統所有可能的復雜行為特征都融入到偽偏導數(Pseudo partial derivative,PPD)中.PFDL 數據模型中偽梯度的維數雖然增加了,但每個分量的動態行為變得更簡單,復雜性相較于PPD 更低,參數估計算法的設計和選擇也更加容易.本文豐富了動車組運行控制理論,也給其他一些運行控制方法提供節能策略(如最優控制等).

2)與文獻[19-20]使用的單質點列車模型相比,本文考慮的多動力單元模型更符合列車的實際情況.此外,考慮在輸入準則函數中加上對能量函數的懲罰項,為動車組的跟蹤精度和能量損耗提供了一種折中的方法.

3)與文獻[4-5]相比,本文的算法不依賴動車組動力學模型,是一種數據驅動控制算法.

本文結構如下: 第1 節給出了高速動車組模型結構(為列車運行仿真提供數據支持);第2 節提出了改進的動車組無模型自適應控制器,并對其穩定性和收斂性進行了嚴格的證明;第3 節是仿真分析;第4 節是總結和展望.

1 動車組運行過程動力學分析

動車組的牽引制動系統是由多個相對獨立的動力單元組成的[21].其運行過程各動力單元除了受自身控制力(牽引/制動力)的影響外,還受相鄰單元的車鉤作用,其縱向動力學描述如圖1 所示[22].圖中中間車廂(輪子為黑色的車廂)為裝備了牽引單元的動力機車,首尾兩節車廂為拖車.

圖1 動車組運行過程動力學描述Fig.1 Dynamic description of electric multiple unit operation process

以六動兩拖的CRH380A 動車組為對象進行研究,該動車組有T1+M1+M2+M3+M4+M5+M6+T2三個獨立的牽引動力單元[22],編組方式如圖2 所示.根據牛頓運動學定律分析列車動力單元的受力情況,各動力單元上均受到了牽引力或制動力、基本阻力、車間作用力.

圖2 CRH380A 型動車組動力單元分布Fig.2 Distribution of CRH380A electric multiple unit power unit

綜上,根據各動力單元的動力學過程分析,將列車三動力單元模型的數學方程表示為:

ui(i=1, 2, 3) 為列車在不同工況下第i動力單元產生的牽引力或制動力;mi(t) 、vi(t) 、xi(t) 分別為第i節動力單元的質量、速度和位移;FNi(t) 為列車運行時第i動力單元所受到的基本阻力,ai、bi、ci為運行阻力系數;FZi(t) 為第i動力單元和第i+1 節動力單元間的車間作用力,k為相鄰動力單元的彈性系數,d為阻尼系數.

將FZi(t) 和FNi(t) 代入式(1),得到高速動車組縱向動力學模型[23]:

各動力單元的控制力作為輸入,其速度作為輸出,共同構成動車組多輸入多輸出(Multiple-input multiple-output,MIMO)系統.動車組實際運行中,易受環境、路段變化的影響,列車模型中質量參數、阻力系數、彈簧系數及阻尼系數都存在不確定性,同時模型中還存在著非線性項[24].若采用非數據驅動控制方法設計控制器需考慮各動力單元的耦合關系,計算量巨大.為此本文設計改進的偏格式動態線性化無模型自適應控制器,對動車組進行速度跟蹤控制.

2 改進的動車組無模型自適應控制器

本節結合無模型自適應控制與PFDL 數據模型,并加上對列車能量消耗的限制,設計出了一種新的列車節能控制方案,即PFDL-iMFAC.該算法不僅考慮了列車速度的跟蹤誤差還考慮列車能量的損耗.PFDL-iMFAC 不需要精確的列車動力學模型,是一種數據驅動的控制算法,適用于強非線性,強耦合的系統.

2.1 動態線性化

傳統的CFDL 方法僅考慮了系統在下一時刻的輸出變化量與當前時刻的輸入變化量之間的關系[25].然而,動車組運行系統的輸出不僅僅取決于某一個時刻的控制輸入.基于以上考慮,在對數據線性化處理時,可將一個固定長度滑動時間內的所有輸入變化量對下一時刻輸出變化量的影響都考慮進來,這即是PFDL 數據處理方法.理論上,使用該方法可以很好地捕獲原系統中存在的復雜動態,并且該動態線性化方法可有效地將系統復雜性分散降低[26].

動車組的輸入輸出數據集合可等效如下多輸入多輸出離散時間非線性系統:

式中,u(t)∈Rm,v(t)∈Rm分別表示系統t時刻的輸入和輸出;nu,nv為輸入和輸出階數;g(·) 為一個非線性且時變的函數.定義為滑動時間窗口 [t-L+1,t] 內的所有控制輸入組成的一個矩陣,形式如下:

滿足t≤0 時,有其中L為控制輸入線性化的長度整數.

對形如式(5)的系統,可以給出如下2 個假設.

假設1.非線性時變函數g(·) 對系統輸入u(t)的偏導數為連續的.

由假設1 和假設2 可得到定理1.

定理1.如果非線性時變系統(5) 滿足假設1和假設2,當則一定存在一個叫做偽分塊雅可比矩陣的參數矩陣ΦP,L(t),使得系統可以等價為偏格式動態線性化的數據模型式(9)[27-28],L為給定維數:

任意時刻t,時變參數矩陣ΦP,L(t)=[Φ1(t),···,ΦL(t)]均為有界,相應的子方陣:

式中,i=1,···,L. 當L=1 時,PFDL 數據模型轉換為CFDL 模型.

定理1 已被嚴格證明[27],選擇不同的線性化長度常數L可以得到不同的PFDL 數據模型,合理選擇時變參數矩陣和L可以提高數據模型對原系統描述時的靈活性.

2.2 控制系統設計

在文獻[19]的基礎上,使用PDFL 方法,再考慮能量函數的懲罰項,PFDL-iMFAC 選擇新的性能指標函數:

式中,vd為參考輸出; Λ＞0 為權重因子,作用是限制控制輸入的變化;ζ‖u(t)‖2是為了限制列車的能量損耗.根據式(7),可以將式(9) 寫成:

將式(10)對u(t) 求一階偏微分并令其為0,可得如下控制律表達式:

由于式(11)中包含矩陣求逆,當系統維數較大時,運算量過大.為此,可參考單輸出的控制算法,簡化后的算法為:

式中,ρi ∈(0, 1),加入的作用是使得算法PFDLiMFAC 更具一般性.

接著,需要對時變參數矩陣ΦP,L(t) 進行實時估計,引入參數估計準則函數[27-28]:

式中,μ＞0 作用是約束相鄰參數的變化率.

極小化參數估計準則函數(13),并同理式(12)的推導,可得到以下參數估計算法:

為了增強參數估計算法的魯棒性,給出一種參數重置算法[27-28]:

式中,b1、b2為較小的正數,滿足 |Φij1(t)|≤b1,b2≤|Φii1(t)|且≤ab2,1≤a;初始化值,初始化值; s ign(·) 為符號函數.

綜上所述,由控制律(12)、估計算法(14)和重置算法(15)共同構成動車組的節能控制器PFDLiMFAC.將控制律(12)寫成如下形式:

式中,α1、α2、α3如式(12)所示.

改進的列車無模型自適應控制結構框圖見圖3.

圖3 改進的動車組無模型自適應控制結構框圖Fig.3 An improved block diagram of model-free adaptive control structure for electric multiple unit

將所求的控制序列代入各動力單元模型(4)中,即可得到各動力單元速度.由式(16)可以看出,列車節能控制算法在控制的過程中只需各動力單元模型所產生的輸出數據,因此該算法是數據驅動控制算法.此外,控制律中的增益α3會被偽偏導數的更新算法影響,換句話說,PFDL-iMFAC 的增益會根據系統時變信息實時更新.因此,與傳統控制算法的固定增益相比,PFDL-iMFAC 控制方案更具有優勢.

注1.選擇不同的控制輸入線性化長度常數L可以得到不同的PFDL 數據模型.通過合理地選擇ΦP,L(t)和L可提高動態線性化數據模型對原非線性系統進行等價描述時的靈活性.

2.3 算法收斂性證明

注2.PFDL-iMFAC 的控制律具有遺忘因子α1,這使得原型PFDL-MFAC 的收斂性分析方法不再適用.此外,遺忘因子與PPD 參數和懲罰因子有關,這使得以下的收斂性分析比原型MFAC 更為復雜.

ΦP,L(t)的有界性已被證明[27-28],下面證明系統輸出誤差收斂.當L=1 時,PFDL-iMFAC 轉換為CFDL-iMFAC.為方便描述,以下給出m=1,L=1情況的穩定性分析,其他情況證明過程類似.

根據式(12),給出m=1、L=1 時的控制律:

同理,時變參數矩陣ΦP,L(t),式中為時變參數Φ(t)的估計值.類同假設1 和假設2,給出以下假設.

假設3.對于形如式(5)的單輸入單輸出系統,非線性時變函數g(·) 對系統輸入u(t) 的偏導數為連續的.

假設4.對于任意時刻 0≤t1/=t2和u(t1)/=u(t2)有|v(t1+1)-v(t2+1)|≤b|u(t1)-u(t2)|,即系統滿足廣義的Lipschitz 條件.其中b為一個大于0 的常數.

引理1.如果非線性時變系統滿足假設3 和假設4,采用節能控制方法iMFAC,則有任意t=0, 1,···,T,當t趨于無窮時,輸出誤差收斂到一個與ζ有關的常數σ.即 l imt→∞|e(t)|≤σ;當ζ=0,limt→∞|e(t)|=0.

證明.首先定義輸出誤差:

由式(18)和模型 Δv(t+1)=Φ(t)Δu(t) 可得:

重寫控制律(17):

進一步,式(20)可以寫成以下形式:

將式(21)代入式(19),推導出:

顯而易見,如果g(t+1) 是收斂的,那么|e(t+1)|同樣也是收斂的.根據式(30),可推出:

引入PPD 的有界性,任意時刻t,Φ (t)≤常數b,該有界性已被證明[9].

進而,可知以下關系:

將式(36)代入式(35),推導得出:

式中,ω=d2u(0).

根據式(37)和 0＜M2＜1,不難得到:

因為 0＜d1＜1,所以如果ω=d2=0,也就是ζ=0,那么就能得出收斂性結論:

3 仿真實現及分析

以濟南到徐州東區間運行的CRH380A 動車組為對象進行仿真研究.列車牽引單元的最大輸出為500 kN,制動單元的最大輸出為500 kN,車間最大耦合力為1 000 kN,列車牽引力/制動力變化量最大允許值為60 kN/s.列車車廂實際速度可以通過傳感器獲得.仿真系統具體參數如表1 所示.

表1 CRH380A 型動車組模型參數Table 1 The CRH380A electric multiple unit model parameters

注3.模型(4)只產生所需數據,本身不參與控制器設計.

分別采用CFDL-MFAC[19]、PFDL-MFAC、PFDL-iMFAC 三種方法進行仿真驗證.對比分析速度跟蹤效果、控制力變化、加速度變化情況以及能量損耗等指標,驗證本文方法的優勢.

3.1 仿真設置

采樣周期設置為1 s,采樣樣本為4 750 個.各個控制方法對比時,使用同一模型用以產生輸出數據.系統的初始條件設置為v1(1)=v2(1)=v3(1)=vd.CFDL-MFAC、PFDL-MFAC、PFDL-iMFAC 參數:Λ=0.02,ρ=ρ1=ρ2=0.9,μ=1,η=1,b1=b2=0.5. 各方案的參數矩陣初值分別為Φ1(1)=0.5ones(3, 3),ΦP,L(1)=[0.5I,0.5I,0]T,ones為全1 矩陣.PFDL-iMFAC 的能量限制常數ζ=0.0225.

3.2 本文方法與其他方法的速度跟蹤及誤差對比

圖4 為CFDL-MFAC[19]、PFDL-MFAC、PFDL-iMFAC 三種方法的速度跟蹤對比圖,圖5 為其速度跟蹤誤差對比圖.

由圖4(c)和圖5(c)可以看出,由于只考慮當前時刻輸入對輸出的影響,傳統CFDL-MFAC 在列車啟動階段效果較差,而且誤差要比PFDL-MFAC和PFDL-iMFAC 大,跟蹤誤差變化不平穩,具有較大突變,只能穩定在[-0.516 km/h,0.459 km/h]之內;另外,由速度跟蹤對比圖4(a)和圖4(b)以及各動力單元誤差圖5(a)、圖5(b)可以看出,PFDLMFAC和PFDL-iMFAC 兩種控制方法的跟蹤性能所差無幾,整個過程各動力單元速度誤差范圍分別穩定在[-0.151 km/h,0.134 km/h] 和[-0.151 km/h,0.150 km/h] 之內,這是由于PFDL-iMFAC 控制方法是一種既考慮跟蹤精度,又考慮能量損耗的方法.能量損耗情況在第3.4 節處討論.

圖4 本文方法與其他方法速度跟蹤曲線對比Fig.4 The velocity tracking curves of the proposed method are compared with those of other methods

圖5 本文方法與其他方法各動力單元速度跟蹤誤差對比Fig.5 The velocity tracking errors of the proposed method are compared with those of other methods

3.3 本文方法與其他方法控制力及加速度變化對比

圖6 為各個控制方案的單位控制力變化圖,可以看出,在啟動、制動、惰性時本文提出的PFDLiMFAC 和PFDL-MFAC 方案各動力單元給出的單位控制力滿足恒牽引力啟動、恒功率運行等要求[29],牽引/制動力范圍分別在[-43 N/kN,36 N/kN]和[-48 N/kN,42 N/kN] 內,在工況過渡階段,控制力也能以一定的速率緩和變化.傳統MFAC 在啟動、制動、經過過分相時存在較大的控制力變化,牽引/制動力范圍在[-50 N/kN,51 N/kN]內,給列車運行帶來一定程度的安全問題.

圖6 本文方法與其他方法單位控制力變化對比Fig.6 The variation of unit control force is compared with other methods

由圖7 各個控制方案的加速度變化圖可知,傳統MFAC 方法加速度變化過快,范圍在[-1.0849 m/s2,0.8987 m/s2],乘客的舒適度不滿足.而采用PFDLMFAC、PFDL-iMFAC 方法的高速動車組加速度過度變化平緩,除了啟動階段,范圍分別在[-0.6572 m/s2,0.6310 m/s2] 和[-0.7309 m/s2,0.7272 m/s2] 之間,滿足乘客的舒適度要求.列車運行的加速度在[-1 m/s2,1 m/s2] 范圍內時,乘客感覺舒適[29].

圖7 本文方法與其他方法加速度變化對比Fig.7 The acceleration changes of the proposed method are compared with other methods

3.4 各個控制方法的若干性能指標對比

為了直觀分析各個控制器的控制性能,考慮用均方誤差(Mean square error performance,MSE)、最大加減速度(Maximum acceleration/deceleration,MAXA)和能量損耗(Wastage,W)三個性能指標,對控制器進行評價:

表2 展示了MFAC、PFDL-MFAC、PFDLiMFAC 三種控制方法的控制性能.性能指標的計算方式如式(40)～ 式(42)所示,式中i表示第i個動力單元;n為動力單元總數;t和T分別為當前采樣時間和總時間.由均方誤差指標可以看出,PFDLMFAC 與PFDL-iMFAC 的跟蹤性能不相上下,但是PFDL-iMFAC 控制方案是最節能的.比起MFAC 控制方案,PFDL-iMFAC 可以節約9.863%的能量.從最大加/減速度可以看出,使用MFAC控制方案的列車,最大加/減速度為1.085 m/s2,變化偏大;PFDL-iMFAC和PFDL-MFAC最大加/減速度較小,分別為0.657m/s2和0.731m/s2,也意味著MFAC 不利于乘客的舒適性要求,而其他兩種可以達到要求.綜上,本文提出來的PFDLiMFAC 控制方案能讓動車組以最低的能量消耗,較小的跟蹤誤差運行.

表2 各個控制方法的若干性能指標對比Table 2 Comparison of several performance indexes of each control method

4 結束語

本文針對高速動車組自動駕駛系統,提出一種改進的偏格式動態線性化無模型自適應控制方法.該方法在MFAC 的基礎上,考慮滑動時間窗口,并在輸入準則函數中加上對能量函數的懲罰項,得到PFDL-iMFAC 控制器.通過與傳統MFAC、PFDLMFAC 對比,仿真結果表明PFDL-iMFAC 控制方案: 1)實現了比MFAC 方法對給定速度更高精度的跟蹤控制,誤差范圍在 [-0.191 km/h,0.182 km/h]之間,滿足列車速度誤差要求(30 km/h 以上不超過速度值的2%,30 km/h 以下±2 km/h),達到列車的安全且準時運行;2) 控制力變化更平穩,各動力單元加速度變化范圍均在[-0.6572 m/s2,0.6310 m/s2],滿足乘客的舒適度要求;3)能量消耗最小,比起MFAC控制方案,PFDL-MFAC 和PFDL-iMFAC 分別可以節約5.04%和9.86%的能量;本文提出來的PFDL-iMFAC 控制方案能使動車組以最小的能量消耗,較小的速度誤差跟蹤目標曲線.

在本文基礎上,今后將進一步做以下研究: 1)利用智能控制方法對本文控制方法設計的參數進行參數尋優[30];2)研究提升無模型自適應控制魯棒性的方法[31].