指向數(shù)學理解的“正數(shù)與負數(shù)”教學設(shè)計與思考

黃賢明 (江蘇省蘇州高新區(qū)景山實驗初級中學校 215129)

1 引言

隨著《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《標準》)的頒布，義務教育階段負數(shù)的學習有了新變化.在小學階段，負數(shù)的認識從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域剝離出來，安排到“綜合與實踐”領(lǐng)域的第三學段，設(shè)計了“如何表達具有相反意義的量”的主題活動.活動中強調(diào)負數(shù)的情境解釋，感受負數(shù)是源自生活且服務生活的數(shù)，發(fā)展學生的數(shù)感.在初中階段，《標準》中添加了“理解負數(shù)的意義”這一內(nèi)容要求，并給出了相關(guān)案例，以期從歷史的角度發(fā)現(xiàn)負數(shù)引入的目的與意義，感悟負數(shù)的本質(zhì)特征，并弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.數(shù)學知識的學習是一個螺旋上升的過程，小學階段的負數(shù)歸為“綜合與實踐”，其目的是以數(shù)學活動為載體，讓學生在生活中感受、發(fā)現(xiàn)、表達具有相反意義的量，并在歸納、比較中感悟負數(shù)的價值，即“了解負數(shù)的意義”；初中階段的負數(shù)學習則強調(diào)“理解”，不僅是對負數(shù)本身的理解，更是對其符號意義、數(shù)學價值、文化價值等多角度、高水平的理解.

2 數(shù)學理解的內(nèi)涵闡述

2.1 數(shù)學理解的內(nèi)涵

“理解”作為描述結(jié)果目標的行為動詞，《標準》中給出的含義是：描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系[1].數(shù)學學習重在理解.從結(jié)果上看，數(shù)學理解是指學習者能夠描述相關(guān)數(shù)學對象的內(nèi)涵、區(qū)別、聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡，并能夠隨時提取應用于數(shù)學解題；從過程上看，數(shù)學理解是在認識數(shù)學對象外部表征的基礎(chǔ)上，找尋新舊知識之間的聯(lián)系，并納入學習者的原有認知結(jié)構(gòu)，形成新的平衡，從而達到對數(shù)學對象的本質(zhì)認識與理解[2].不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學理解是建立在學習者原有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過教師的引導，促使學習者對新舊知識形成聯(lián)結(jié)，以此達到理解數(shù)學對象的本質(zhì)并將其應用于解題的目的.

2.2 數(shù)學理解的過程模型

從過程上看，學習者的數(shù)學理解是一種內(nèi)在心理過程，更是一個層級發(fā)展的過程.學生數(shù)學理解的發(fā)展會依次經(jīng)歷五個階段[3]，即理解層級過程模型(如圖1).經(jīng)驗性理解是學習者基于原有經(jīng)驗而對數(shù)學對象產(chǎn)生的起始性理解.這種理解大多是淺層的、不全面的，僅僅是學習者對日常生活中對客觀事物的體驗與感悟.形式化理解是學習者在一定的刺激下，將經(jīng)驗進行整理、組織、重新表征，使學習對象與其原有認知結(jié)構(gòu)構(gòu)建聯(lián)結(jié)，進而形成對新知本質(zhì)屬性的認識.結(jié)構(gòu)化理解是一種結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)型的理解，強調(diào)對數(shù)學對象及其知識體系脈絡的把握.遷移性理解是在結(jié)構(gòu)化理解的基礎(chǔ)上，能夠靈活將新知遷移到陌生的情境中，解決探究性、拓展性的數(shù)學問題.文化性理解有兩層含義，一是學習者對數(shù)學對象背后所蘊含的數(shù)學文化的認識與理解，二是學生通過歸納小結(jié)數(shù)學知識體系，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，理解學習過程中的數(shù)學思想方法，形成良好的數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學品格.文化性理解貫穿于數(shù)學理解性學習始終，同時各理解層級也為文化性理解奠定基礎(chǔ)，提供“養(yǎng)料”，最終構(gòu)成相互作用、共同發(fā)展的有機整體.

圖1

3 指向數(shù)學理解的教學設(shè)計

3.1 情境創(chuàng)設(shè)：激活經(jīng)驗性理解

問題1小學階段我們學習過很多“數(shù)”，在下面這則自我介紹中出現(xiàn)了哪些數(shù)？

活動1嘗試將這些數(shù)按照一定的規(guī)則分類.

教師引導學生逐漸完善對這些數(shù)的刻畫，指出有限小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為(視為)分數(shù).

數(shù)的產(chǎn)生最早源于人類的計數(shù)、排序，產(chǎn)生了數(shù)1，2等正整數(shù).由于要表示“空位”“沒有”，數(shù)0就應運而生.又隨著測量、分物的需要產(chǎn)生了(正)分數(shù)……這些數(shù)夠用嗎？在生活中你是否發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)？

情境1 (地理知識)珠穆朗瑪峰海拔8 848.86 m，艾丁湖海拔-154 m.

情境2 (氣象知識)全國最低氣溫預報，其中黑龍江省-20℃，廣東省20℃.

情境3 (社會經(jīng)濟)2020年我國居民人均可支配收入增長4.7%，居民人均消費支出同比增長-1.6%.

問題2這些數(shù)分別代表著什么含義？負數(shù)是如何產(chǎn)生的呢？

教師引導學生借助情境中的相反意義的量來解釋這些數(shù)的含義，同時強調(diào)數(shù)0并非代表“沒有”，而是一個“分界點”.

設(shè)計意圖從學生已經(jīng)認識的數(shù)出發(fā)，回顧數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展的歷史，感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，順理成章地引出對負數(shù)的認識.再以三個情境激活學生的經(jīng)驗性理解，讓學生提取相反意義的量的概念，感受負數(shù)的生活意義與應用價值.

3.2 歸納提取：生成形式化理解

問題3什么是負數(shù)？什么是正數(shù)？請用自己的語言描述(如圖2).

圖2

中國古代數(shù)學家常常會用紅色(或正放)算籌表示正數(shù)，黑色(或斜放)算籌表示負數(shù)，而如今在數(shù)的前面添加“+”與“-”也相當于對數(shù)進行“標記”，代表數(shù)的性質(zhì)，并非是運算符號.

設(shè)計意圖從具體的正負數(shù)出發(fā)，引導學生利用對負數(shù)的經(jīng)驗性理解歸納提取出負數(shù)的概念，構(gòu)建正數(shù)、負數(shù)與0的關(guān)系，形成對負數(shù)的形式化理解，發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學交流等能力.

3.3 意義再構(gòu)：形成結(jié)構(gòu)化理解

活動2中國是最早使用負數(shù)的國家.數(shù)學家劉徽對正負數(shù)給出“今兩算得失相反，要令正負以名之”的定義.在《九章算術(shù)》中給出了許多具有相反意義的量的例子，如：

(1)買十三豕(豬)和賣豕八；

(2)有余錢一千和錢不足六百.

請你用正負數(shù)來刻畫上述例子，并再列舉出幾組具有相反意義的量的例子.

例題 讀一讀，并指出下列數(shù)中的正數(shù)、負數(shù).

問題4在課前回顧了正整數(shù)與正分數(shù)，能否借鑒過去的經(jīng)驗，再將這些數(shù)細分呢？

小結(jié)：正整數(shù)、負整數(shù)、零統(tǒng)稱整數(shù)；正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù).

設(shè)計意圖通過中國數(shù)學史的融入，滲透文化性理解，讓學生在歷史的情境中再構(gòu)負數(shù)的意義，促使學生形成對負數(shù)的結(jié)構(gòu)化理解.同時通過例題講解，構(gòu)建正負數(shù)的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學生的抽象能力與分類意識.

3.4 實際應用：達成遷移性理解

遷移1某人從學校出發(fā)向東走了100 m，再向西走200 m.

(1)若向東走100 m記為+100 m，那么向西走200 m記作什么？

(2)請你畫一畫他的行走軌跡，指出他最后所在的位置并用正負數(shù)表示.

遷移2某市中考體育的跳繩項目規(guī)定：每分鐘165個為滿分，若規(guī)定超過為正，不足為負，其中5位同學的成績記錄如下：-5，10，-18，0，1.

(1)“-5”“10”“0”的含義是什么？

(2)這五名同學分別跳了多少個？滿分率是多少？

設(shè)計意圖通過遷移練習，讓學生在新情境中應用正負數(shù)的意義，再次強化對數(shù)0的認識，同時以求滿分率的問題啟發(fā)學生從數(shù)的含義上考慮，促進學生遷移性理解的達成.

3.5 自我總結(jié)：促進文化性理解

總結(jié)提綱：

(1)在這節(jié)課中，你對負數(shù)有了哪些新的認識？與你過去的知識有什么聯(lián)系與區(qū)別.

(2)在這節(jié)課中，你對數(shù)的分類有了哪些新認識？

(3)在國外，負數(shù)的認識并沒有中國這樣順利，究竟是什么原因?qū)е碌哪兀空埨镁W(wǎng)絡或圖書館自行了解，并在下節(jié)課與大家分享.

設(shè)計意圖文化性理解貫穿著本節(jié)課的始終，總結(jié)環(huán)節(jié)更應從整體的角度系統(tǒng)地梳理知識脈絡，促進學生建立新舊知識的思維聯(lián)結(jié)，并納入他們的經(jīng)驗體系中.同時通過提出探究性問題，激發(fā)學生的好奇心與求知欲，有效發(fā)揮學生的主觀能動性，形成對負數(shù)的綜合性、整體性、文化性的認識與理解.

4 教學思考

4.1 聚焦“理解”的起點，立足原有認知

學生在小學階段的學習生活中已經(jīng)積累了豐富的數(shù)學知識與生活經(jīng)驗，這些成為了初中階段數(shù)學學習的起點，也就是教師教學的起點.“知識大廈”的構(gòu)建是一層層的累積，教師聚焦學生“理解”的起點，把握過去與現(xiàn)在數(shù)學學習的差異，以“為理解而教”的目標指導日常教學.數(shù)學知識的學習是一個螺旋上升的過程，就負數(shù)而言，學生在小學階段就接觸過，那初中階段的負數(shù)學習還應該“炒冷飯”，再構(gòu)建負數(shù)的生活意義嗎？回答自然是否定的.學生已在小學階段經(jīng)歷了“綜合與實踐”活動，充分感知了負數(shù)的由來與意義.而初中階段的負數(shù)學習應強調(diào)概念的抽象化、形式化，促進學生形成對負數(shù)的高層次的理解，為接下來學習有理數(shù)運算作準備.因此，初中負數(shù)教學應起始于學生的經(jīng)驗性理解，通過呈現(xiàn)生活中負數(shù)的例子，激活學生的原有認知結(jié)構(gòu)，引導學生回顧負數(shù)的產(chǎn)生過程，并從歷史的角度出發(fā)，揭示負數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，促進對負數(shù)的多角度的意義再構(gòu).

4.2 重視“理解”的深度，指向數(shù)學應用

數(shù)學理解的水平分記憶性理解水平、解釋性理解水平與探究性理解水平.對于負數(shù)的概念而言，記憶性理解水平就足以解決大部分考試中的問題，但較低層次的理解水平并不能滿足學生后續(xù)學習與發(fā)展的需要，教師應該以更高層次的理解作為教學目標的導向.例如，以中國古代歷史中對負數(shù)的表示來類比如今負數(shù)符號的含義，進一步揭示“-”的本質(zhì)內(nèi)涵，促進學生從符號的角度深入理解負數(shù).再例如，在遷移性理解環(huán)節(jié)中設(shè)計了行走問題，將負數(shù)引入數(shù)軸中，既通過操作、思考等形式讓學生感知數(shù)軸、絕對值、有理數(shù)運算等內(nèi)容，理解負數(shù)在數(shù)學應用、數(shù)學運算中的價值意義，又能夠讓學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界，進而培養(yǎng)學生的抽象能力、數(shù)形結(jié)合意識和應用意識.

4.3 關(guān)注“理解”的廣度，浸潤數(shù)學文化

數(shù)學理解不應僅僅停留在對知識本身的理解，更應該將知識與其知識結(jié)構(gòu)、文化背景、思想方法等構(gòu)件聯(lián)結(jié)，形成對數(shù)學知識的系統(tǒng)性、整體性的理解.數(shù)學承載著思想與文化，數(shù)學文化可作為課堂的“潤滑劑”.《標準》中多次強調(diào)數(shù)學文化的重要性，指出數(shù)學課程內(nèi)容要關(guān)注數(shù)學文化，繼承與弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強文化自覺和文化自信.在數(shù)學理解中，文化性理解滲透于數(shù)學理解性學習始終，促進數(shù)學理解的各個環(huán)節(jié).因此，在負數(shù)的教學中教師可以選取適當?shù)臄?shù)學史料，穿插在教學的始終，如：以數(shù)的發(fā)展作為引入，揭示負數(shù)產(chǎn)生的必要性；以古代負數(shù)的表示方法加深學生對負數(shù)符號的理解；課后查閱資料，調(diào)動學生積極性，促進學生對負數(shù)的文化性理解.通過數(shù)學文化的融入，充分發(fā)揮負數(shù)所蘊含的文化價值，達到以文化促理解、以文化育人的目的.