消除差異促轉(zhuǎn)化 分解因式是坦途
——對一道不等式競賽題的探究

龔小敏 (江蘇省通州高級中學(xué) 226300)

2022年阿塞拜疆、保加利亞數(shù)學(xué)競賽題中有如下一道不等式題：

不等式(1)的左邊是一個整式，右邊是一個3次根式.按照常規(guī)思維容易想到對不等式兩邊進(jìn)行3次乘方而去掉3次根式，如果在這樣做之前利用已知條件和不等式進(jìn)行“化不同項(xiàng)為相同項(xiàng)”的消除差異處理，那么就會簡便轉(zhuǎn)化過程，收到事半功倍的效果.

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評析以上三種證法都是消除差異之后，通過換元，對不等式兩邊實(shí)施了3次乘方，同時使用了兩數(shù)和的立方公式.如果不這樣做還有其他方法嗎？注意到不等式(1)右邊是3次根式，聯(lián)想到三元均值不等式，將不等式(1)左邊稍加變形，即可獲得下面的證法.

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評析證法4從均值不等式入手進(jìn)行轉(zhuǎn)化，雖然較前面三種證法復(fù)雜了一些，但是卻從另一個角度給出了證明，仍不失為一種有益的探究.四種證法都離不開消除差異這個核心點(diǎn)，最后都?xì)w結(jié)到利用分解因式使證明圓滿完成.

對上述證法深入分析，可以獲得下面幾個變式：

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證明不等式(13)等價于x+y+z+4≥

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由t≥3知t5+3t4+18t3+54t2-387t-9≥34t+34t+18×9t+54×3t-387t-9=99t-9>0，由此可知不等式(18)成立，從而不等式(16)成立.

變式4 設(shè)x,y,z>0，xy+yz+zx=x+y+z，求證：(x+y+z)(x2+y2+z2)+2≥

證明不等式(19)等價于(x+y+z)[(x2+y2+z2)-2(x+y+z)]+2≥

由t≥3知3t5-3t4+3t3+21t2-82t-4=t4(t-3)+2t5+3t3+21t2-82t-4≥2×34t+33t+21×3t-82t-4=170t-4>0，由此可知不等式(21)成立，從而不等式(19)成立.

對前面的競賽題，如果保持已知條件不變，只是改變不等式(1)左邊常數(shù)3的數(shù)值，那么可以得到如下推廣.

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