基于“生本”理念的“一題一課”微專題復(fù)習(xí)課探究
——以“含參函數(shù)零點問題”為例*

王先義 (四川省雙流中學(xué) 610200)

1 引言

復(fù)習(xí)課作為高中數(shù)學(xué)課的課型之一，通過對已有知識的回顧，幫助學(xué)生重構(gòu)和完善高中數(shù)學(xué)知識體系，培養(yǎng)和提高學(xué)生的“四基四能”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).微專題復(fù)習(xí)課作為一種新型的復(fù)習(xí)課形式，它立足于學(xué)情和考情，選擇考試“高頻點”、學(xué)習(xí)“困難點”、能力“增長點”和“易錯易混點”作為學(xué)習(xí)內(nèi)容，它既小又準(zhǔn)，既精又透，是促進(jìn)學(xué)生深度復(fù)習(xí)的重要方式[1].鑒于高一階段學(xué)生知識儲備不足，結(jié)合微專題復(fù)習(xí)課的特點，微專題復(fù)習(xí)課可以作為高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要教學(xué)方式，是學(xué)生知識的升華、方法的總結(jié)、能力的提升、思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的重要陣地.“一題一課”是一種課堂教學(xué)模式，是教師通過對一道題或一個材料的深入研究，挖掘其中的學(xué)習(xí)線索與數(shù)學(xué)本質(zhì)，基于學(xué)情，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探索活動，從而完成一節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，以此達(dá)成多維目標(biāo)的過程[2].

學(xué)為主體、以生為本是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本理念，微專題復(fù)習(xí)課是單元、期中、期末和高考等復(fù)習(xí)中必不可少的課型，“一題一課”作為一種很有特色的教學(xué)模式，與微專題復(fù)習(xí)課的初衷和理念不謀而合.筆者基于“生本”理念設(shè)計了一節(jié)微專題復(fù)習(xí)課，旨在拓寬學(xué)生的思維廣度，延展學(xué)生的思維厚度，提高學(xué)生的思維效度，豐富學(xué)生的活動經(jīng)驗，升華學(xué)生的知識體系，滲透數(shù)學(xué)思想方法，在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 教學(xué)內(nèi)容解析

2.1 內(nèi)容分析

本節(jié)課是人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(必修1)》第三章《函數(shù)與方程》的章末微專題復(fù)習(xí)課，是對函數(shù)零點與方程根之間關(guān)系的進(jìn)一步研究，也是高三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題的重要基礎(chǔ).此前，學(xué)生已經(jīng)建構(gòu)函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，能結(jié)合兩者之間的關(guān)系分析簡單含參函數(shù)零點問題.該問題一直是高考命題的熱點，總體呈現(xiàn)出“入易出難，路多口小，層層設(shè)卡，步步有難”的特點，因此高考命題者也常將含參函數(shù)零點問題作為壓軸題.基于“生本”理念，采取“一題一課”的教學(xué)模式，組織學(xué)生對一道例題深入研究，通過解法探究、變式訓(xùn)練、鏈接應(yīng)用、思想升華，讓學(xué)生變中求進(jìn)、舉一反三，在數(shù)學(xué)活動中經(jīng)歷、體驗、內(nèi)化學(xué)習(xí)，積累基本活動經(jīng)驗，完善知識結(jié)構(gòu)、建構(gòu)方法體系、實現(xiàn)思維升華，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.2 學(xué)情分析

本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)了解函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點定義以及方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系，并能利用這些知識處理簡單的函數(shù)零點問題；對于形式復(fù)雜、綜合性強的含參函數(shù)零點問題(如分段函數(shù)等)，學(xué)生目前處理起來較為困難，總體表現(xiàn)出做題時思維混亂、方法選取不當(dāng)、推理不嚴(yán)謹(jǐn)和運算錯誤等.通過“一題一課”微專題的復(fù)習(xí)，以點帶面，聚焦關(guān)鍵內(nèi)容，幫助學(xué)生完善知識網(wǎng)絡(luò)，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，實現(xiàn)由“學(xué)會”到“會學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

2.3 學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)回顧函數(shù)零點的定義，梳理方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系，建立兩者之間的等價轉(zhuǎn)化形式；

(2)利用函數(shù)零點的定義和方程的根與函數(shù)零點間的關(guān)系求含參函數(shù)零點問題的參數(shù)取值范圍；

(3)在解決含參函數(shù)零點問題的過程中，總結(jié)解題的方法和技巧，凝練函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

2.4 評價任務(wù)

(1)課前自測要求學(xué)生自主完成，并根據(jù)課前自測回顧函數(shù)零點、方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系和零點存在性定理等知識；

(2)通過典例分析，探究出解決含參函數(shù)零點問題的直接法、分離參數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法等方法，并能選擇合適的方法解決變式訓(xùn)練；

(3)通過例題和變式訓(xùn)練的分析，挖掘含參函數(shù)零點問題中所涉及的關(guān)鍵知識，總結(jié)含參函數(shù)零點問題的一般解決方法，同時提煉各方法中蘊含的數(shù)學(xué)思想.

3 課堂實錄

環(huán)節(jié)1課前自測，知根摸底

(1)已知函數(shù)f(x)=lgx+x-10的零點在區(qū)間(k，k+1)上，k∈Z，則k=.

(2)關(guān)于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+ 14=0有兩個實數(shù)根，且一個根大于4，一個根小于4，求m的取值范圍.

師：老師在課前已經(jīng)布置課前學(xué)習(xí)任務(wù)，下面有請兩位同學(xué)來分享一下結(jié)果.

生1：k=9，f(x)=lgx+x-10=0?lgx=10-x，再畫出函數(shù)y1=lgx和y2=10-x的圖象，然后取x=9，計算y1

師：你這里是運用什么知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化的呢？

生1：函數(shù)y=f(x)的零點?兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo).

師：非常好！將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo).還有其他的解決方法嗎？

生2：我是計算得f(9)·f(10)<0.

師：這里f(9)·f(10)<0，那為什么f(x)就有零點呢？

生3：f(x)單調(diào)遞增，根據(jù)零點的存在性定理可以得到.

師：非常好！這兩種方法殊途同歸.第(2)題怎么做呢？

師：這位同學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，思路清晰，大家掌聲送給他.同學(xué)們，在解決這兩題的過程中運用了哪些知識？體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想呢？

生眾：函數(shù)的零點、方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系、零點的存在性定理等，解決過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

設(shè)計意圖設(shè)置課前準(zhǔn)備環(huán)節(jié)，目的是先幫助學(xué)生回顧舊知和解決函數(shù)零點問題的基本方法，同時通過問題對比襯托出含參問題的難度，從而引出今天的學(xué)習(xí)課題.

環(huán)節(jié)2回顧舊知，強化概念

師：首先梳理一下上面問題所涉及的基礎(chǔ)知識，函數(shù)零點的定義是什么？

生眾：把使得f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

師：函數(shù)y=f(x)的零點可以等價轉(zhuǎn)化為什么？

生5：函數(shù)y=f(x)的零點?方程f(x)=0的實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)?兩個函數(shù)圖象有交點的橫坐標(biāo).

師：這幾個等價關(guān)系是我們解決函數(shù)零點問題的思維導(dǎo)向，請同學(xué)們理解記憶.零點存在性定理是怎么描述的呢？

生6：對于函數(shù)y=f(x)而言，如果f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0.

師：這位同學(xué)的回答嚴(yán)謹(jǐn)嗎？

生4：不嚴(yán)謹(jǐn)，缺少條件.

師：缺少什么條件？

生4：缺少“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線”這個條件.

師：為什么要加這個條件，不加這個條件會出現(xiàn)什么問題？

師：非常棒！僅有f(a)·f(b)<0不一定有零點.這位同學(xué)用辯證的思維認(rèn)識定理中的條件和結(jié)論，這種思維在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要.同時，也要注意函數(shù)f(x)有零點也不一定有f(a)·f(b)<0，如f(x)=ax2+bx+c(a≠0，Δ>0).

設(shè)計意圖在課前自測的基礎(chǔ)上對基礎(chǔ)知識進(jìn)行回顧，一方面幫助學(xué)生建立本節(jié)知識的結(jié)構(gòu)和體系，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；另一方面辨析概念的易錯點，幫助學(xué)生理解和記憶.

環(huán)節(jié)3團結(jié)協(xié)作，謀定對策

師：下面我們對含參函數(shù)零點問題進(jìn)行分析，請同學(xué)們思考例1，結(jié)合前面的知識，小組合作討論，后面我們請小組代表上臺展示分享(6分鐘).

師：下面有請第1小組的代表進(jìn)行分享.

師：對這個式子沒辦法分析的原因是什么？

生7：g(x)的圖象和性質(zhì)不確定.

師：能不能對上述式子變形，使得g(x)的圖象和性質(zhì)確定下來？

學(xué)生搖搖頭示意不會.

師：有哪位同學(xué)知道怎樣變形可以確定它們的性質(zhì)呢？

師：你是怎樣想到這樣變形的呢？

生8：我在前面遇見過類似問題，當(dāng)時答案解析是將所有參數(shù)形式合并整理.

師：非常棒！大家掌聲送給他.這位同學(xué)借鑒以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗分析問題，這說明我們在平時的學(xué)習(xí)過程中要注重積累，這是我們學(xué)習(xí)的寶貴財富.函數(shù)y1=(2+a)(1-x)，y2=(a+1)(1-x)與x軸都交于點(1，0)且兩函數(shù)有且僅有一個交點，即x=1就是函數(shù)g(x)的零點，此時y1和y2中的參數(shù)a應(yīng)該滿足什么條件呢？

師：非常好！另外，對于y3=(1-a)x+a+1，參數(shù)a應(yīng)該滿足什么條件呢？

生9：我通過畫圖發(fā)現(xiàn)y3的圖象位置與x的系數(shù)有關(guān)(請學(xué)生上臺展示)，若1-a<0，即a>1時，a+1>0，此時a>1，符合題意；若1-a=0，即a=1時，y3=2，符合題意；若1-a>0，即a<1時，a+1<0，此時a<-1，符合題意.

師：(掌聲響起)這位同學(xué)思路清晰，對于不確定的問題想到分類討論逐一確定，再運用一次函數(shù)中k與圖象之間的關(guān)系求解，非常精彩！這里我們已經(jīng)求出實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-2)∪(-2，-1)∪[1，+∞).除此方法之外，其他組還有別的方法嗎？

生10：函數(shù)g(x)=f(x)-ax+a恰有一個零點?函數(shù)y1=f(x)與y2=ax-a的圖象有且僅有一個交點.因為函數(shù)y2=ax-a過定點(1，0)，所以我們可以作出y1和y2的圖象(圖1)，然后通過旋轉(zhuǎn)y2的圖象可以得到參數(shù)a的取值范圍.

圖1

師：怎樣根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到a的取值范圍呢？

生10：只要滿足y2與y1不存在第二個交點就可以，也就是a∈(-∞，-2)∪(-2，-1)∪[1，+∞).

師：非常好！這位同學(xué)方法思路嚴(yán)謹(jǐn)，快速便捷，根據(jù)圖形直接秒殺，真的是“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.其他小組還有不同的解法嗎？

生4：老師，還有一種不同的解法(學(xué)生們滿臉詫異).我們組是運用分離參數(shù)法進(jìn)行求解，考慮x=1和x≠1兩種情況作圖就可以解決.

師：請這位同學(xué)上臺展示，分享你們組的方法.

圖2

由圖可以看出，當(dāng)a<-2或-2

師：非常好！這個方法和法2異曲同工，都是結(jié)合函數(shù)圖象分析求解.在前面我們已經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)了三種方法.法1是直接建立參數(shù)不等式進(jìn)行求解——直接法；法2是對方程進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為常見的函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)等)——數(shù)形結(jié)合法；法3將參數(shù)進(jìn)行分離，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域——參變分離法.它們是解決含參函數(shù)零點問題的常見方法.

設(shè)計意圖通過小組合作探究典例的解法，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度認(rèn)識同一個問題，實現(xiàn)一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，提高學(xué)生的分析與解決問題能力，同時在學(xué)生分享過程中鍛煉他們的語言表達(dá)能力.

環(huán)節(jié)4深化拓展，感悟思想

師：這些方法是我們解決含參函數(shù)零點問題的基本方法，請同學(xué)們課后多加揣摩與感悟.下面我們就上面的方法進(jìn)行簡單應(yīng)用，請同學(xué)們思考變式并完成解答.(4分鐘)

師：哪位同學(xué)愿意上來和大家分享一下自己的想法呢？

圖3

生12：可以，這里我們可以將g(x)倒一下就能實現(xiàn).

師：具體怎么實現(xiàn)呢？

圖4

學(xué)生搖頭……

師：老師這里給點提示，對x≠0的情況，前面我們分離參數(shù)運用的是全分離參數(shù)，那我們可不可以嘗試不全部分離呢？

師：這一種分離參數(shù)的方法與前面不一樣，這種思想就是典型的“曲直分離”思想，這種“半分離”的分參方法在我們今后的學(xué)習(xí)中還會遇到，請同學(xué)們課后完善具體的解答過程.同學(xué)們，這些題在解決過程中用到了很多數(shù)學(xué)思想，都有哪些數(shù)學(xué)思想呢？

生眾：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)與方程以及分類討論的思想.

師：非常棒！這些思想將會一直引領(lǐng)著我們高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提升我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

設(shè)計意圖設(shè)置變式訓(xùn)練的目的是要求學(xué)生根據(jù)例題的思想和方法，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，促進(jìn)學(xué)生對知識和方法的遷移能力.

環(huán)節(jié)5課后練習(xí)，鞏固提升

設(shè)計意圖設(shè)置課后練習(xí)是為了讓學(xué)有余力的學(xué)生在新知的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)，讓他們進(jìn)一步深入研究復(fù)合函數(shù)含參零點問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識，提升思維層次.

環(huán)節(jié)6課堂小結(jié)，提煉升華

師：經(jīng)過這節(jié)課的探究，對于含參函數(shù)零點問題我們有哪些解決方法呢？

生眾：直接法、數(shù)形結(jié)合法和分離參數(shù)法.

師：在利用數(shù)形結(jié)合時，等價變形的原則是能作出目標(biāo)函數(shù)的圖象，利用圖象求解參數(shù)的取值范圍；分離參數(shù)時要靈活應(yīng)變，有時候采取全分離，有時候采取半分離，分參不是單純地分離單個參數(shù)，而是結(jié)合題意分離出參數(shù)的形式.

4 教學(xué)反思

“一題一課”微專題復(fù)習(xí)課是復(fù)習(xí)課的一種形式.縱觀本節(jié)課例的探究過程，根據(jù)學(xué)生的實際學(xué)情，選擇合適的例題對數(shù)學(xué)題進(jìn)行深度挖掘，讓學(xué)生自主地探究原題的解法，滲透數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論和函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生對含參函數(shù)零點問題的元認(rèn)知水平，實現(xiàn)專題復(fù)習(xí)中知識結(jié)構(gòu)化、方法系統(tǒng)化、思想實質(zhì)化.

4.1 了解學(xué)生學(xué)情，確定一個主題

美國著名教育家杜威說：“教學(xué)必須從學(xué)習(xí)者已有的經(jīng)驗開始，學(xué)生是學(xué)習(xí)主體，是課堂主人，一切教學(xué)都是為了學(xué)生的發(fā)展.”專題復(fù)習(xí)課教學(xué)中，由于學(xué)生已經(jīng)具備復(fù)習(xí)所需的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，更應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生為主體.本節(jié)課探討背景源于學(xué)生的一次周練試題結(jié)果，多數(shù)學(xué)生未能在規(guī)定時間內(nèi)找到解決思路或正確解答，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，主要原因在于對含參函數(shù)零點問題學(xué)生沒有經(jīng)歷過系統(tǒng)的方法總結(jié)和思想提煉，導(dǎo)致碰到這類問題不知從何入手.含參函數(shù)零點問題作為高考的熱點題型，為了幫助學(xué)生理解和掌握這一類問題的通法，促使學(xué)生積累活動經(jīng)驗，結(jié)合“一題一課”的特色教學(xué)模式，本文確定了以“基于‘生本’理念的‘一題一課’微專題復(fù)習(xí)課探究——以含參函數(shù)零點問題”為主題的專題復(fù)習(xí).

4.2 遴選一道例題，破解一類問題

著名心理學(xué)家皮亞杰說：“學(xué)習(xí)過程并不是個體獲得越來越多的外部信息的過程，而是能動地構(gòu)建新的認(rèn)知圖式，不斷完善知識結(jié)構(gòu)的過程.”微專題復(fù)習(xí)的目標(biāo)是通過有限的復(fù)習(xí)使知識結(jié)構(gòu)化、方法體系化，促進(jìn)學(xué)生四基四能的發(fā)展.要達(dá)成理想教學(xué)目標(biāo)，離不開精選例題.本節(jié)選擇一個典型例題，組織學(xué)生討論，探尋解決問題的策略與方法，并讓學(xué)生自主展示，再總結(jié)題中的知識和蘊含的思想方法，讓試題價值最大化，實現(xiàn)“做一題，得一法，會一類，通一片”.這既體現(xiàn)了微專題小、準(zhǔn)、精和透的特點，又體現(xiàn)了“一題一課”中例題選擇的層次性、開放性和廣延性等原則[3].在組織教學(xué)活動中，讓學(xué)生自由發(fā)揮，人人參與到活動中，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗問題的解決全過程，感悟通性通法，實現(xiàn)從“解題”到“解決問題”，從知其然到也知其所以然，達(dá)到從“就題論題”到“就題論法”再到“就題論道”.

4.3 注重活動過程，提煉思想方法

史寧中教授說：“學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，本質(zhì)上不是靠教師‘教’出來的，而是靠學(xué)生‘悟’出來的”.[4]這意味著核心素養(yǎng)養(yǎng)成是一個循序漸進(jìn)的過程，其培育需要給學(xué)生‘悟’的時機，給學(xué)生‘悟’的載體，才能讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)基本思想.在教學(xué)中設(shè)計小組合作的活動，讓學(xué)生在互動交流中觸碰思維的火花，在集體協(xié)作中實現(xiàn)問題解決.本例設(shè)計了6個探究互動環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生了解自己，認(rèn)清學(xué)情，再復(fù)習(xí)舊知，強化基礎(chǔ)，再小組合作，謀定對策，再變式訓(xùn)練，拓展深化，最后感悟過程，提煉升華.整堂課都以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)逐步推進(jìn)教學(xué)環(huán)節(jié)，在環(huán)節(jié)中給予學(xué)生充分的思考和活動時間，讓學(xué)生自主去探索問題的解決過程，增強學(xué)生的活動體驗，然后再對活動過程進(jìn)行升華總結(jié)，提煉其中的數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)生體驗活動中幫助其積累活動經(jīng)驗.學(xué)生對于單純的數(shù)學(xué)知識是會逐漸遺忘甚至消失的，而方法的掌握、思想的形成，才能使學(xué)生受益終生，正所謂“授人以魚，不如授人以漁”.