關于一元函數積分學的教學反思

何天榮

（麗江師范高等專科學校數學與信息技術學院 云南 麗江 674199）

1 “一元函數積分學”知識點間的邏輯關系

以華東師范大學數學科學學院主編的《數學分析》教材為例，一元函數積分學包括不定積分、定積分、定積分的應用、反常積分四章內容。要想講好一門課，首先必須研究教材，研究教材就要研究整本教材的知識體系、各章節的知識體系及各章節在整本教材中的地位和作用。以下對“一元函數積分學”各章的知識體系進行分析。

1.1 不定積分

不定積分的重點是計算，在課程知識體系中起著承上啟下的作用：不定積分與原函數有關，求原函數是求導運算的逆運算，同時，熟練掌握不定積分的計算，將為定積分、反常積分、傅里葉級數、含參量積分、曲線積分、重積分、曲面積分的計算打下堅實的基礎。不定積分中所涉及的積分規律、方法、技巧在后繼章節中同樣適用。原函數的定義是根據導數運算的逆向定義的：設F x和f x在區間I上都有定義，若F'x=f x，則稱F x是f x在區間I上的一個原函數。定義中的關鍵詞是“一個”，看到這個關鍵詞，自然會提出疑問：除了F x，f x在區間I上會不會還有其他原函數呢？通過導數知識的常識c'=0（c為任意非零常數），可得F x+c也是f x在區間I上的原函數，并且f x在區間I上的任何兩個原函數間只相差一個常數（可以根據導數理論進行證明），從而引入不定積分的概念：函數f x在I區間上的全體原函數稱為f x在區間I上的不定積分，記為

因此，計算函數的不定積分，只需求出其中一個原函數，再加上任意常數C即可。但由于原函數是根據導函數的逆運算定義的，根據定義直接逆向推導的積分公式很少，基本初等函數中直接推導的公式只有常數函數、冪函數、指數函數、三角函數中只有正弦函數及余弦函數，其余的基本初等函數如對數函數、三角函數中的正切函數、余切函數、正割函數、余割函數及四個反三角函數都無法按定義直接推導出公式。對比求導運算中六類基本初等函數都有求導公式，所有的求導運算都可以直接套用公式進行計算，可見積分運算是有難度的。在第一次課推導14個基本積分公式時讓學生感受到不定積分的計算確實比求導運算要難，需要積分方法和技巧。為后面積分法的教學做好鋪墊，本章第2節討論三種常用積分法：第一換元積分法（湊微分法）、第二換元積分法及分部積分法。本章第3節討論有理函數及簡單無理函數的積分是特殊類型函數的積分。

1.2 定積分及其應用

定積分及定積分的應用包括兩章的內容，分別是第八章《定積分》及第九章《定積分的應用》。從本質上講，定積分是一類解決實際問題的數學方法，在數學方面有求平面圖形面積、空間物體體積、曲線長、旋轉曲面的面積等廣泛的應用，在物理方面也有廣泛的應用。講授定積分是為定積分的應用服務的，數學的作用在于解決各類現實問題。在本部分注重培養學生學習數學分析的興趣，讓學生感受定積分的廣泛應用，有必要學好，感受到數學源于生活、服務于生活。定積分是解決實際問題的數學方法，由數學背景—求曲面梯形面積及物理背景—求變力做功引入，解決兩個分屬不同領域的實際問題的數學方法在本質上一樣，因此，有必要從數學的角度深入研究這樣的數學方法，于是得到了定積分的定義：從定積分的定義可以看得出，定積分是和式極限，計算結果是一個唯一確定的常數。但根據定義計算定積分很困難，從教材的例1[1]可以看出，即使等分積分區間，計算n項和及極限都不容易。好在牛頓和萊布尼茲的偉大發現——牛頓萊布尼茲公式，將本來看似沒有關系的不定積分和定積分聯系起來：使定積分的計算變得容易了，定積分的應用重點是幾何方面的應用，引導學生用定積分知識證明圓面積公式、周長公式、球體積公式、表面積公式，讓學生感受到數學分析對初等數學的指導作用。

1.3 反常積分

反常積分是第十一章的內容，是定積分的推廣。定積分有兩個限制，一是積分區間為有限區間[a,b]，二是被積函數f(x)為有界函數，分別打破這兩個條件的限制，就得到了兩類反常積分：積分區間[a,b]為無限區間的積分簡稱為無窮積分，被積函數f x為無界函數的反常積分簡稱為瑕積分。

本章共3節內容，第1節介紹兩類反常積分的定義及按定義判斷斂散性；第2、3節分別討論無窮積分及瑕積分的性質及斂散性的判別法，兩節內容在結構安排上完全類似，性質分別對應定積分的區間可加性、柯西收斂準則及線性性質；判別法的本質是比較判別法，一個定理三個推論，其中最好操作的是推論3——柯西判別法，用柯西判別法的關鍵是透徹理解第一節中對的推導過程及結論：當時收斂，當時發散。

2 一元函數積分學教學策略

2.1 不定積分教學策略

函數f(x)的不定積分是函數f (x)的全體原函數，要計算不定積分首先要會計算原函數，計算原函數是求導運算的逆運算，學生在熟練掌握求導運算的基礎上，求原函數會相對容易一些，但因為求原函數的運算是求導運算的逆運算，需要逆向推導，故直接按照定義可以推導出的不定積分公式很少，故有必要研究各種積分方法。

常用的積分法有第一換元積分方法（又稱湊微分法）、第二換元積分法及分部積分法，要讓學生熟練掌握這些積分法，首先要講清楚每一種積分法的算理，把握好一條原則：求原函數運算是求導運算的逆運算，證明方法是積分等式右邊的函數求導等于左邊的被積函數，或者按照求導法則順推積分法則，例如按函數乘積的求導法則可以推導出分部積分公式。

想要學生熟練掌握積分運算，教師在講授例題時應重視分析解決每類型例題時所采用的積分方法及技巧，一定要講清楚為什么可以采用這樣的方法解決這種類型的問題.課后讓學生通過大量的訓練達到熟能生巧。除了教材上的習題，還要補充大量適合學生基礎的習題供學生訓練并通過讓學生上黑板挑戰積分等過程測試方式檢測學生的訓練效果，測試題抽自補充給學生的題庫，并將測試結果計入期末總評成績，這樣就可以刺激學生自覺訓練。

2.2 定積分及其應用的教學策略

本部分的內容是以熟練掌握不定積分的方法和技巧為必要條件的，在此基礎上，首先講清楚定積分的背景——求曲邊梯形的面積和變力做功。讓學生感受到數學是源于生活而服務于生活的，感受到定積分的“有用性”進而激發學生的學習興趣。引入牛頓—萊布尼茨公式后，定積分的計算變得簡單明了，不定積分的所有方法和技巧在定積分的計算中依然適用。用公式法與湊微分法積分的定積分直接使用牛頓萊布尼茨公式，鑒于不定積分與定積分的區別，定積分的第二換元法及分部積分法與不定積分略有不同。定積分的應用包括數學方面的應用和物理方面的應用，數學方面的應用包括求平面圖形的面積、立體體積、曲線弧長及旋轉曲面的面積。

本部分的教學策略是結合學生在中小學就“知其然”的圓面積公式、圓周長公式、球的體積公式、球的表面積公式。引導學生用定積分知識證明這些公式，讓學生在中小學對這些公式知其然的基礎上知其所以然，讓學生切實感受到數學分析是初等數學的理論延伸及指導，讓學生體會到學習數學分析對將來從事初等教育工作有直接作用。

2.3 反常積分的教學策略

講授好反常積分的關鍵是講清楚何為“反常”。所謂“反常積分”，是相對于定積分而言的，定積分有兩個條件的限制：一是積分區間是有限區間，二是被積函數是有界函數，分別打破這兩個條件的限制，就得到兩類反常積分：積分區間為無限區間的反常積分簡稱為無窮積分被積函數為無界函數的反常積分簡稱為瑕積分。積分區間為無限區間有三種類型，化解問題的原則是“哪里不正常換哪里”，借助化歸思想，將無窮積分轉化成極限和定積分：于是，是否收斂取決于極限是否存在，的處理方法與完全類似，對于在積分區間插入一個點，即可轉換成前兩種形式。瑕積分的“不正常”在于瑕點，即函數在瑕點處為無界函數。處理的原則依然是“哪里不正常換哪里”及借助極限及定積分知識，將瑕點換掉，瑕點亦分三種類型：積分下限為瑕點、積分上限為瑕點及瑕點介于積分下限與上限之間。以積分下限為瑕點為例：類似于無窮積分，的收斂與否取決于極限存在與否，下限為瑕點類型的處理方式完全類似，若瑕點為c，a

本章的第2、3節分別討論了兩類反常積分的性質及收斂性的判別法，對性質的講授聯系反常積分的定義及極限的性質便能自然理解。判別法為1個定理3個推論，詳證定理，推論的推導依據定理自然可以得到，根據理論間的邏輯聯系，逐步推出三個推論，操作性最強的是推論3，理解推論3的前提是理解無窮積分及瑕積分的收斂性并牢記結果，同時在講解本部分內容時要為將來級數的學習做好鋪墊。級數中也有一些類似的概念及判別法，道理是相通的。

3 結語

一元函數積分學是數學分析課程中一個重要的知識模塊，它是導數的計算基礎，同時是學好多元函數積分學的必要準備。本部分內容是一個嚴密的知識體系，要講授好本部分內容，一定要透徹研究本部分知識點間的邏輯聯系及每個知識點在知識體系中的地位和作用。這就要求授課教師要認真研讀教材，每次課后養成反思的習慣。文章通過本部分內容間的邏輯關系闡述了專業知識教學的策略，除了具有嚴密的邏輯聯系、廣泛的應用性、對初等數學的理論指導性，“數學分析”課程中還蘊含豐富的數學思想方法，例如化歸思想、數形結合思想、函數思想、極限思想等等，而數學思想方法則是數學的精髓，因此，如何在課程教學中有效地融入數學思想方法，是需要課程主講教師不斷反思和嘗試的。同時，課程中還蘊含了豐富的哲學思想，如有限與無限的思想、近似與精確的思想、質量互變原理等，總之，要上好一門課，需要主講教師不斷嘗試教學改革與創新、不斷反思，在實踐中成長。