合理利用轉化思想 突破學生思維難點

沈 銘

（福建省廈門市湖明小學）

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出：“學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式。教學活動應注重啟發式，激發學生學習興趣，引發學生積極思考，鼓勵學生質疑問難，引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題；促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能，體會和運用數學的思想與方法，獲得數學的基本活動經驗；培養學生良好的學習習慣，形成積極的情感、態度和價值觀，逐步形成核心素養。”

小學數學課程是一門特別注重思維培養的學科，而鑒于年齡特點，小學生正處于由形象直觀思維向邏輯抽象思維過渡的關鍵時段。為此，教師要有意識地運用轉化思想，根據學生已有的生活經驗和知識儲備，引導學生對比分析轉化后新舊知識的聯系，形象直觀地揭示出數學知識本質，從而達到最佳的教學效果。

一、以數化形，在明晰算理中提升推理意識

小學階段對“數的運算”這一部分的教學，不單單指能快速準確地計算出結果，還要求學生能理解并掌握算理的形成過程。小學生對一些抽象算理的理解存在一定的困難，他們的思維方式更傾向于直觀具體的感知。為此，教師要能根據學生的認知特征，在教學中滲透轉化思想，借助圖形，把抽象的、難以理解的算理直觀、具體、形象化，以便于學生理解和掌握。

例如，在教學人教版數學教材四年級下冊“乘法分配律”一課時，教材的編排是以問題情境“一共有25個小組，每組里有4人負責挖坑、種樹，2人負責抬水、澆樹，每組要種5棵樹，每棵樹要澆2桶水，一共有多少名同學參加這次植樹活動？”呈現。很多教師是根據以下板書進行教學的。

方法1： 方法2：①每組一共有幾人？ ①挖坑、種樹有幾人？4+2=6（人） 4×25=100（人）②一共有多少人？ ②抬水、澆樹有幾人？6×25=150（人） 2×25=50（人）③一共有多少人？

得出結論：（4+2）×25=4×25+2×25=100+50=150（人）

通過對比兩種算法（4+2）×25和4×25+2×25，從而引導歸納出乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加，這就叫乘法分配律。整個引導歸納的教學過程，都是通過引導學生分析數量關系、尋找不同的解題思路，最后通過對比計算結果和算式特征來歸納乘法分配律。這樣對于小學生的年齡特征來說不但是抽象難懂，而且是枯燥無味的，因而教學效果不高。教學的時候，教師可以借助圖形的直觀來進行表征（如下頁圖1）。

圖1

學生很快就能借助圖形明白：要求一共有多少人，可以先求負責挖坑、種樹的一共有多少人，再求負責抬水、澆樹的一共有多少人，最后再求一共有多少人；也可以先把挖坑種樹的4個人和抬水澆樹的2個人看成1組，再算出這樣的25組，也就是一共有多少人。此時，借助圖形就能直觀、具體地幫助學生明晰乘法分配律的算理，即明白求25個6是多少與求25個4與25個2的和是多少，都是表示一共多少人，從而把乘法分配律的內涵理解清楚，達到良好的教學效果。

二、以形化意，在提升符號意識中理解本質

在小學階段，學生對概念的理解是其學好數學的前提。在日常教學中我發現，很多學生對概念的學習都是用死記硬背的方法，而對概念所表示的真實內涵，學生很多時候都處于“知其然而不知其所以然”的狀態。通過借助幾何直觀厘清概念的內涵與外延，可以讓學生真正理解概念的本質。學生通過對概念本質的理解，建立與之相關的知識結構體系，進行結構化學習，也能夠促進直觀形象思維向抽象思維的轉化。如果教師能夠根據概念的本質內涵聯系，將其轉化成圖形直觀呈現，就能把抽象、難懂、枯燥的數學概念直觀、具體、形象化，既降低學習難度，又激發學生的學習興趣。此外，“以形化意”還能為學生后續推理能力的培養和結構化建構知識奠定扎實的概念基礎，從而進一步提高學生的數學能力。

例如，人教版數學教材五年級下冊“質數和合數”一課中，教師可讓學生根據提供的若干個小正方形（3個、5個、8個、9個、12個），擺成1個長方形，并要求學生盡可能多擺幾種。當學生擺完后（根據擺的結果，用一個乘法算式表示小正方形的個數），再讓學生根據擺的結果進行分類。學生很快就能擺出長方形的個數并把它分成兩類，即3個和5個小正方形只能擺一種長方形，而8個、9個和12個小正方形都能擺最少兩種長方形。在這樣直觀呈現的基礎上，教師可再引導學生去觀察表示每個長方形的算式，想想這些算式的因數有什么特點。學生很快就會發現：只能擺1排長方形的小正方形個數的因數只有1和小正方形的個數（如果擺2排就會不夠或多出來）。而能擺2排以上的小正方形個數的因數，除了1和小正方形的個數以外，還有其他因數。此時，教師順勢引出質數和合數的概念：一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，那么這樣的數叫做合數。這樣，學生通過觀察發現，擺出長方形的種數和所需小正方形的個數契合質數與合數的意義本質，就能生動直觀地形成對質數與合數意義的深度理解和掌握。

三、化難為易，在幾何直觀中感悟規律

我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形少數時難入微，二者結合萬般好，倘若分離萬事休。”數學學科具有很強的思維性和邏輯性，而小學生對一些抽象數學規律的認知還存在一定困難。如果教師在教學時能充分借助幾何直觀，根據描述畫出相應的圖形，再通過分析圖形建立形與數的聯系，就能使得學習內容變得形象、直觀、具體。把抽象的數學規律簡單化，這樣學生就能借助幾何直觀更好地把握問題的本質，明晰思維的路徑。

例如，在教學人教版數學教材六年級上冊“數與形”一課時，教師引導學生用不同顏色的平面圖形（○、△、□）來表示下列三個算式（要求既便于看出各個加數，又便于計算）：

①1+3=？

②1+3+5=？

③1+3+5+7=？

學生用正方形來表示算式的時候（如上頁圖2），教師引導學生通過看圖來探究其中的規律。

圖2

師：如何又快又準確地算出正方形的個數？

預設1：一個一個地數（教師追問，還有其他更簡單的方法嗎）。

預設2：數出1排有幾個，再數有幾排（教師追問，和第1個方法比，你會選哪種方法）。

師：請同學們再擺一擺1+3+5+7+9，并用乘法表示正方形的個數，然后觀察對比這幾個加法算式和乘法算式，說說你有什么發現。

預設1：加法算式從1開始加。

預設2：每個加法算式的加數都是奇數（教師追問，這些奇數又有什么特點？學生回答相鄰的奇數）。

預設3：每個加法算式有幾個加數相加就是幾乘以幾。

師：如果是計算1+3+5+7+9+11，你能快速地用乘法表示嗎？說說你是怎么想的？如果是n個加數相加呢？

教師可以像這樣合理運用圖形，根據學生已有的基礎知識，引導學生從大正方形的顏色去觀察，學生可以用加法累加不同顏色來算出所需小正方形的個數，也可以從乘法的意義去計算所需小正方形的個數。教師再引導學生根據每組加法算式與乘法算式的對比與分析，探索出從1開始的連續奇數之和與“正方形數”之間的關系。引導學生從不同角度去觀察、思考，開展直觀、生動的階梯螺旋上升式的探究教學，能夠化抽象為具體，有效提高學習效果。

四、以舊化新，在勾連方法中提升模型意識

著名數學家波利亞說過：“學習任何知識的最佳途徑是由學生自己去發現。因為這種發現，理解最深，也最容易掌握其中的內在規律和聯系。”在教學中，任何一個新知識，它都是學生已有知識體系的延伸。在實際教學中，教師如果能根據學生已有的知識基礎，通過一定教學情境的設計，把新知轉化成與之關聯的舊知，并通過引導學生觀察、分析新舊知識的聯系，從而歸納總結出新知收獲，也能達到事半功倍的教學效果。

例如，在教學人教版數學教材五年級下冊“異分母分數加減法”一課時，教師通過出示，很直觀地就能讓學生明白，因為和的分數單位不同不能直接計算，先通分，把它們的分數單位轉化成相同的分數，就很自然地把異分母分數加減法轉化成同分母分數加減法。然后，再引導學生觀察以下4種算式，思考為什么在列豎式計算整數加減法的時候要個位對齊，在計算小數加減法的時候要小數點對齊，且在計算異分母分數的時候要通過通分把異分母分數加減法轉化成同分母分數加減法再計算，尋找它們在計算方法上有什么相同之處。

通過對整數、小數、分數的第一級計算方法的勾連對比學生會發現，整數加減法列豎式各位對齊、小數加減法小數點對齊、異分母分數通分成同分母分數，都是為了把它們轉化成計數單位相同，這樣就能直接進行計算。教師根據教學目標，有意識地把與之相關的新舊知識在本質上進行勾連對比，能幫助學生在方法上建模，知識上形成體系，不僅符合小學生的年齡、思維特點，還能達到較好的教學效果。

總之，新課程改革大背景下的數學教學已經顛覆以往把現成的結論教給學生的教學模式，它是新形勢下“數學活動”的教學，需要教師有意識地引導學生自己探索知識產生的起因，探索其與其他相關知識的聯系，并在探索過程中形成完整的知識體系。教師根據學生已有的知識基礎巧妙地運用“轉化”進行教學，可以將數學知識變舊為新、變難為易，將抽象變直觀，將不規則變規則，進而降低學生的學習難度，既培養了學生的思維能力，又促進了學生數學核心素養的全面提升。