量感可見：結(jié)構(gòu)化視域下學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)對比研究
——以北師大版數(shù)學(xué)教材二年級下冊“淘氣的作息時(shí)間”為例

羅禮紅

（廣東省深圳市寶安區(qū)海裕小學(xué)）

“淘氣的作息時(shí)間”系北師大版數(shù)學(xué)教材二年級下冊第七單元“時(shí)分秒”的第3課時(shí)內(nèi)容。本課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生通過了解作息時(shí)間表，體會時(shí)刻與經(jīng)過時(shí)間的區(qū)別，根據(jù)鐘面、線段圖等直觀的方法得出簡單的經(jīng)過時(shí)間，培養(yǎng)時(shí)間量感，發(fā)展時(shí)間觀念。

在實(shí)際教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，這簡單的經(jīng)過時(shí)間對于學(xué)生來說并不簡單，特別是對于像6:55—7:15這樣跨整時(shí)經(jīng)過時(shí)間的計(jì)算，學(xué)生存在較多問題。究其緣由，主要是部分教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中不注重方法間的勾連，重知識傳授輕思維發(fā)散，關(guān)注學(xué)習(xí)結(jié)果忽略探究過程所致。因此，如何以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，從結(jié)構(gòu)化思維中去踐行新課標(biāo)的十一個(gè)核心詞，這是一個(gè)重要的課題。我以本課為例，通過探究“量感”的發(fā)展和形成過程，嘗試探索出一般的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)，讓量感可見，讓學(xué)生學(xué)習(xí)過程可見、學(xué)習(xí)效果可見。

一、教材與文獻(xiàn)分析

（一）教材視角：承上啟下，方法與思維需要鏈接

根據(jù)對本冊教材中“認(rèn)識時(shí)間”內(nèi)容的前后聯(lián)系梳理，“上學(xué)時(shí)間”中路上用的時(shí)間（如圖1）特別適用于計(jì)算的方法，而數(shù)一數(shù)、畫一畫的方法較為麻煩，學(xué)生采用的不多；總復(fù)習(xí)的內(nèi)容中同樣如此。這表明，本課不能忽略計(jì)算方法，更不能忽略計(jì)算方法與畫圖等方法的鏈接，要使學(xué)生形成知識結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的意識。在前測中，大多數(shù)學(xué)生直接采用計(jì)算的方法，并能正確得出簡單的經(jīng)過時(shí)間，表明學(xué)生的知識遷移能力較好，能將“相差”的感知遷移至經(jīng)過時(shí)間，借助“相差”的概念理解經(jīng)過時(shí)間和計(jì)算經(jīng)過時(shí)間。

圖1

由螺旋上升的教材編排可見，三年級上冊“年月日”單元中將在12時(shí)計(jì)時(shí)法和24時(shí)計(jì)時(shí)法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)計(jì)算經(jīng)過時(shí)間（教材出示了淘氣一周內(nèi)每天出發(fā)、到校的時(shí)間記錄，請學(xué)生依據(jù)給出的上學(xué)時(shí)間記錄表，幫他填出路上用的時(shí)間），涉及的主要課時(shí)為“一天的時(shí)間”，變式類型多、生活應(yīng)用廣泛，建立在對經(jīng)過時(shí)間理解透徹的情況下進(jìn)行應(yīng)用，教材只展示了在鐘面上數(shù)一數(shù)的方法，更凸顯了本課學(xué)習(xí)的重要性。科學(xué)的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)能使學(xué)生的學(xué)習(xí)事半功倍，真正激活學(xué)生的思維能力。

（二）文獻(xiàn)視角：理論意識，實(shí)踐與研究需要對接

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，對本課經(jīng)過時(shí)間的研究甚少。對三年級上冊第七單元“一天的時(shí)間”的研究是有的，通常學(xué)習(xí)經(jīng)過時(shí)間有多種方法：鐘面法（數(shù)格子法）、線段法、分段法，以及較為抽象的減法（豎式法）。豎式計(jì)算時(shí)間涉及60的進(jìn)率，是較為抽象的方法。對于是否講解減法（豎式法），存在截然不同的三種意見，一種認(rèn)為必須講，方法便捷、準(zhǔn)確率高；一種認(rèn)為不宜過早抽象，禁錮學(xué)生思維；一種認(rèn)為三年級的學(xué)生正處于思維過渡階段，應(yīng)在教學(xué)時(shí)將直觀操作（觀察、數(shù)一數(shù)）和抽象表達(dá)（用減法計(jì)算）相結(jié)合，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“求簡單的經(jīng)過時(shí)間”的過程體驗(yàn)，溝通方法之間的聯(lián)系，把握適當(dāng)?shù)碾y度，促進(jìn)學(xué)生的深度理解。那么本課該如何定位？又該在什么樣的理論高度下去建構(gòu)研究路徑？基于以上分析，我在本案例研究中確立以下三個(gè)核心問題：

1.如何引導(dǎo)學(xué)生用直觀方法實(shí)現(xiàn)思維可視化，從而增進(jìn)對概念的理解？

2.如何體現(xiàn)方法的層次性，并基于學(xué)生的思維溝通多種方法之間的關(guān)聯(lián)，促使更多的學(xué)生達(dá)到更高層次的理解？

3.如何將經(jīng)過時(shí)間應(yīng)用于生活，增強(qiáng)學(xué)生的量感，從而使量感“可見”？

二、研究設(shè)計(jì)與前測分析

（一）研究設(shè)計(jì)

本研究選取深圳市某小學(xué)二年級甲班、乙班（均為47人）作為研究對象，按照本研究所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行授課。以北師大版教材為藍(lán)本進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，通過生動有趣的體驗(yàn)活動促進(jìn)學(xué)生深度理解，鼓勵學(xué)生多元表達(dá)。授課前根據(jù)前測了解學(xué)情，授課后基于SOLO分析法的“深度理解—多元表達(dá)”評價(jià)表（如表1）開發(fā)調(diào)查問卷，根據(jù)后測研究學(xué)生“經(jīng)過時(shí)間”的數(shù)學(xué)理解層次水平與思維特征的達(dá)成情況。前測和后測幫助我們更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、量化教學(xué)效果。

表1 “經(jīng)過時(shí)間”數(shù)學(xué)理解的層次水平及思維特征表現(xiàn)分類

（二）前測題及分析

授課前，我對選取的兩個(gè)班級進(jìn)行前測，前測的內(nèi)容主要檢測學(xué)生認(rèn)讀時(shí)間的能力、對簡單經(jīng)過時(shí)間的獲知（從整時(shí)到非整時(shí)，且在1小時(shí)以內(nèi)）。通過對前測賦分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，得出t=1.478，p=0.143，說明兩個(gè)班的學(xué)生在授課前對時(shí)間的相關(guān)知識的理解不存在顯著性差異。

在對其中的一道前測題（如圖2）的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，我們還發(fā)現(xiàn)，雖然絕大部分學(xué)生（甲班79%、乙班85%，如下頁表2）能利用已有的知識基礎(chǔ)得出最簡單的情形的經(jīng)過時(shí)間，但是能用直觀的方法進(jìn)行解釋的學(xué)生并不多。這說明學(xué)生能將經(jīng)過時(shí)間與減法進(jìn)行感性聯(lián)系，卻未能理性地解釋為什么要這么做。

圖2

表2 前測題的結(jié)果分析

因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生放慢探究的過程，并借助直觀的方法來促進(jìn)學(xué)生對經(jīng)過時(shí)間這一概念的理解，促進(jìn)經(jīng)過時(shí)間的方法探索及方法間的融會貫通，讓理解從淺層走向深度。

三、路徑設(shè)計(jì)與結(jié)果分析

（一）初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑D1

基于教材及文獻(xiàn)分析，設(shè)計(jì)初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑D1（如圖3），教師據(jù)此在甲班開展教學(xué)。

圖3 初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑D1

1.學(xué)習(xí)路徑D1實(shí)施效果

從表3中可見，在學(xué)生所達(dá)到的理解水平中，依然有7名學(xué)生不能理解什么是經(jīng)過時(shí)間，而能達(dá)到理解水平四和理解水平五（即深度理解）的學(xué)生僅有14名，占全班的29.8%。

表3 實(shí)施路徑D1學(xué)生后測結(jié)果統(tǒng)計(jì)

2.存在問題及原因分析

通過課后研討并結(jié)合學(xué)生的課堂表現(xiàn)、后測及訪談，我發(fā)現(xiàn)初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑D1主要存在兩個(gè)問題：

一是對經(jīng)過時(shí)間的概念意義理解不到位。在任務(wù)1-2中，學(xué)生分享了三種方法。

方法一：在鐘面上計(jì)算，從6:30到6:55，5分5分地?cái)?shù)，分針走過了5個(gè)大格，經(jīng)過的時(shí)間是5個(gè)5分，也就是25（分）。

方法二：10分10分地?cái)?shù)，在鐘面上畫弧線，10+10+5=25（分）。

方法三：先從6到12數(shù)半圈，再往回?cái)?shù)一大格。30-5=25（分）。

學(xué)生雖然經(jīng)歷或觀察了上面這三種在鐘面上數(shù)出經(jīng)過時(shí)間的方法，但師生對經(jīng)過時(shí)間并沒有交流和討論，學(xué)生未能深入理解為什么要這樣數(shù)，以至于后面出現(xiàn)了對意義理解不夠清晰的解答。學(xué)生不知道該畫哪根針的運(yùn)動狀態(tài)，甚至不知道從哪里開始畫分針，處于理解水平一的學(xué)生占比較高。可見，其中學(xué)生的量感發(fā)展僅停留在表層，并沒有真正地實(shí)現(xiàn)量感的“可見”。

二是處理計(jì)算的方法值得商榷。在前測中我發(fā)現(xiàn)，主動運(yùn)用計(jì)算得到經(jīng)過時(shí)間的學(xué)生占比只有33%。在教學(xué)中，教師未能呈現(xiàn)計(jì)算方法，認(rèn)為計(jì)算的方法較為抽象，不適合在本課中展示。這樣，大多數(shù)學(xué)生的思維就未能得到教師重視。如果要呈現(xiàn)計(jì)算方法，我們就需要研究用什么樣的方式可使得學(xué)生的方法與方法間、方法與思維間產(chǎn)生鏈接，這是非常重要的。

3.改進(jìn)建議

一是基于動態(tài)直觀，突出量感生成可視化。本課基于解決問題求經(jīng)過時(shí)間，教師容易以為經(jīng)過時(shí)間是一個(gè)生活常識，容易忽略對概念的解讀。可從兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：第一，在課題引入后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對概念進(jìn)行思考并指明——從一個(gè)時(shí)間點(diǎn)到下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間經(jīng)過了多長時(shí)間。也就是已知兩個(gè)時(shí)刻，要求它們之間經(jīng)過的時(shí)間。第二，在第一次分享鐘面上數(shù)經(jīng)過時(shí)間后，結(jié)合鐘面理解——從6:30（分針指著6）到6:55（分針指著11），5分5分地?cái)?shù)，分針走過了5個(gè)大格，分針從起點(diǎn)到結(jié)束經(jīng)過了5個(gè)5分，也就是25分。教師借助直觀、動態(tài)的呈現(xiàn)，讓學(xué)生的量感發(fā)展有據(jù)可依、有證可循。

二是基于發(fā)散思維，彰顯方法聯(lián)系結(jié)構(gòu)化。以學(xué)生的思維起點(diǎn)為中心，教學(xué)不應(yīng)該忽略計(jì)算的方法，特別是對于時(shí)針相同或分針相同的情況。計(jì)算大大簡化了學(xué)生思考的過程，便于學(xué)生理解，更有利于量感的形成。面對跨越整時(shí)的經(jīng)過時(shí)間，可以重點(diǎn)討論分段計(jì)算法，避免學(xué)生用豎式這種程序化的做法。例如，個(gè)別學(xué)生用豎式計(jì)算6：55—7：15，錯誤的形式多種多樣，不利于理解，也不利于量感的形成。因此，教學(xué)時(shí)教師不應(yīng)拘泥于解決問題方法的固化，而應(yīng)注重方法間的結(jié)構(gòu)化溝通，讓學(xué)生用發(fā)散思維審視知識，從而幫助學(xué)生建立立體的思考方式和思維品質(zhì)。

（二）優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑D2

在路徑D1的基礎(chǔ)上，我探索了學(xué)習(xí)路徑D2：完善了任務(wù)1-2、任務(wù)1-3、任務(wù)2-1、任務(wù)2-2，以期讓學(xué)生通過在鐘面上數(shù)一數(shù)、畫線段圖、列減法計(jì)算等方法求經(jīng)過時(shí)間，并將減法計(jì)算與畫圖方法相聯(lián)系，促進(jìn)對經(jīng)過時(shí)間這個(gè)概念的理解，但不要求學(xué)生都要計(jì)算。具體做法如下。

一是增設(shè)思辨問題，厘清鐘面上經(jīng)過時(shí)間的概念本質(zhì)。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“淘氣從6:30起床到6:55開始吃早餐，用了多長時(shí)間？這個(gè)問題中，‘用了多長時(shí)間’指的是什么時(shí)間？”先激發(fā)學(xué)生帶著初步的理解和生活常識去思考問題，引出課題。“6:55是開始時(shí)刻，7:15是結(jié)束時(shí)刻，要計(jì)算6:55到7:15之間經(jīng)過了多長時(shí)間”，用這樣的語言使學(xué)生厘清概念的本質(zhì)。

當(dāng)學(xué)生能用各種方法在鐘面上求出經(jīng)過時(shí)間時(shí)，教師再次追問：“為什么分針從6開始數(shù)到11呢？”追問中讓學(xué)生理解經(jīng)過時(shí)間的意義，也讓學(xué)生知道看分針走過幾個(gè)大格的意義——原來經(jīng)過時(shí)間是一分一分地累加起來的。

二是大膽呈現(xiàn)口算方法，促進(jìn)量感水平的提高。要使學(xué)生真正理解經(jīng)過時(shí)間，增強(qiáng)時(shí)間量感，教師還要尊重學(xué)生的思維。量感指的是不借助工具，對量的直觀感受。不管是在鐘面上畫一畫、數(shù)一數(shù)，還是畫線段圖，都是為了理解經(jīng)過時(shí)間的意義，最終都要過渡到計(jì)算經(jīng)過時(shí)間。同樣的“分鐘”“時(shí)”相減；同樣的“時(shí)鐘”“分”相減，這樣的口算方法是學(xué)生生活體驗(yàn)的最直觀感受，教師不應(yīng)該忽視。對于跨整時(shí)的經(jīng)過時(shí)間，分段后也可以借助分段法轉(zhuǎn)化為可口算的時(shí)間，再累加。

三是用分類對比辨析方法，合理解決經(jīng)過時(shí)間。在求跨整時(shí)的經(jīng)過時(shí)間中展示學(xué)生作品時(shí)，他們通常會呈現(xiàn)兩種常見做法，教師要思考：為何不讓學(xué)生對比這兩種不同的分段計(jì)算法哪種更簡便呢？學(xué)生在對比中發(fā)現(xiàn)，不管怎樣計(jì)算，都是從開始到結(jié)束過程中所經(jīng)歷的時(shí)間加起來就可以了。

同時(shí)，通過對比辨析多種方法學(xué)生發(fā)現(xiàn)，豎式計(jì)算方法雖然可以在鐘面上找到能理解的道理，但計(jì)算程序復(fù)雜，特別容易出錯，不利于口算。因此，教師可以指出：喜歡的同學(xué)可以采用，不做硬性要求。更重要的是幫助部分學(xué)生從具體的直觀感知逐步過渡到抽象表達(dá)。分段計(jì)算法有利于理解，受到學(xué)生的喜歡，教學(xué)中幫助學(xué)生獲取最適合自己的方法，可以讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

四是結(jié)合情境發(fā)散問題，升華量感在問題解決中的應(yīng)用。探究完兩個(gè)主要問題之后，教師繼續(xù)提出發(fā)散問題：淘氣7:15吃完早飯，7:30出門上學(xué)，你知道這中間經(jīng)過了多長時(shí)間嗎？淘氣從起床到出門上學(xué)用了多長時(shí)間？

學(xué)生快速思考、口答結(jié)果，不僅檢驗(yàn)了對概念的理解，也檢驗(yàn)了對簡單經(jīng)過時(shí)間的感知，形成了對時(shí)間長短的直觀感悟。

（三）效果分析

由后測得分可知（如表4），乙班每道題的得分都明顯高于甲班，說明乙班學(xué)生對經(jīng)過時(shí)間的理解、求解方法、應(yīng)用均掌握得更好。對甲、乙班學(xué)生的后測平均分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，甲、乙班得分（t=2.101，p=0.038）存在顯著性差異，說明優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑D2能更有效地促進(jìn)學(xué)生對經(jīng)過時(shí)間的理解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生整體理解水平的提升。

表4 路徑優(yōu)化后學(xué)生后測結(jié)果統(tǒng)計(jì)

由后測結(jié)果綜合分析乙班學(xué)生所達(dá)到的理解水平，沒有學(xué)生不能理解什么是經(jīng)過時(shí)間，而能達(dá)到理解水平四和理解水平五（即深度理解）的學(xué)生有17名，占全班學(xué)生的36.2%，比學(xué)習(xí)路徑D1均有明顯提升。

四、研究結(jié)論與教學(xué)建議

（一）培養(yǎng)時(shí)間量感，要突出思維可視化

量感可視化是小學(xué)數(shù)學(xué)教師強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維培育的有效嘗試。本次對比研究突破了經(jīng)過時(shí)間的抽象性難點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會表達(dá)什么是經(jīng)過時(shí)間，讓學(xué)生在探究過程中采用直觀的方法求解經(jīng)過時(shí)間，畫出或?qū)懗鲎约旱亩嘣斫猓^好地呈現(xiàn)了經(jīng)過時(shí)間的過程性、累加性，切實(shí)提高了學(xué)生對時(shí)間長短的感知，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思維的可視化。

（二）培養(yǎng)時(shí)間量感，要注重方法結(jié)構(gòu)化

南京大學(xué)鄭毓信教授認(rèn)為，“結(jié)構(gòu)化教學(xué)的核心在于教學(xué)中應(yīng)很好地突出與落實(shí)‘分清層次，居高臨下，走向深刻’這樣一個(gè)思想。”學(xué)生經(jīng)過時(shí)間的求解，感知多樣方法，他們先根據(jù)自己的能力選擇合適的解決方法。課中，在重視鐘面法、線段圖等可視化方法的基礎(chǔ)上，教師加強(qiáng)其與口算經(jīng)過時(shí)間、豎式計(jì)算經(jīng)過時(shí)間的鏈接、比對和歸納，在辨析中提升了學(xué)生數(shù)學(xué)理解的層次水平。教學(xué)中教師積極溝通方法之間的聯(lián)系，也能促進(jìn)學(xué)生知識結(jié)構(gòu)化。此外，教師還應(yīng)鼓勵學(xué)生“用結(jié)構(gòu)”，讓學(xué)生用結(jié)構(gòu)化思維靈活地解決問題。

量感，既看不見，又摸不著。學(xué)生量感的形成一開始依賴于原始經(jīng)驗(yàn)的積累，到一定程度后才能靠理性的疊加構(gòu)建模型，形成觀念。因此，利用結(jié)構(gòu)化的思維來制定本課的學(xué)習(xí)路徑，通過幾何直觀、數(shù)形結(jié)合等方式，注重?cái)?shù)形溝通、數(shù)理連接等，能讓量感看得見、摸得著，更能用得上。