基于自適應MBPE技術的高壓輸電線路散射特性快速計算方法

張嵩陽，張林，王忠強，王東暉，郭星，陸德堅

(1.國網河南省電力公司電力科學研究院，鄭州 450052； 2.國網河南省電力公司，鄭州 450052； 3.北京森馥科技股份有限公司，北京 102218)

0 引 言

隨著我國高壓輸電線路的不斷建設和線路走廊的限制，其對周邊弱電系統及無線電通信設施的無源電磁干擾影響已不容忽視[1-3]。由于高壓輸電線路長度通常以千米計，且其空間桁架結構復雜，通常難以通過真型實驗研究其散射場對鄰近各類無線電臺站的無源干擾問題[4-6]。為此早期研究者通過縮比模型實驗觀測了附近空間電場強度的變化水平及規律，以此明確其無源干擾水平，但該方法忽略了電導率、介電常數等參數的變化，存在一定的測量誤差，并不能真實反映高壓輸電線路的電磁散射特性，且存在耗時費力、缺乏靈活性等問題[7]。通過仿真方法還原高壓輸電線路的實際散射場特性已成為目前最為可靠的方法。需要注意的是，高壓輸電線路無源干擾研究通常涉及寬頻帶電磁散射特性求解問題，對選用的模型及算法不僅要求應具備較高精度，同時也應具有較快求解速度，否則這類廣域空間下極電大尺寸金屬陣列散射體的無源干擾等相關研究難以展開[7-8]。

當前，可采用矩量法(Method of Moments, MoM)準確地計算高壓輸電線路各頻段散射場，但該算法在求解速度方面存在較為明顯的劣勢。因為根據MoM基本原理可知，隨著激勵頻率的增大，電磁場集膚深度將會相應減小，導致用于離散高壓輸電線路無源干擾數學模型中感應電流的基函數必須更為離散，從而造成其中的矩陣運算量以幾何倍數增長。特別是當激勵頻率上升到GHz級，MoM在單一頻點上就會因為高階矩陣的產生而需要花費巨量計算資源[7-9]。在這種背景下，有學者陸續提出了多層快速多極子[10]、特征基函數[11]、一致性繞射理論[12]等算法，有效提升了極電大尺寸結構單頻點散射場的計算效率。然而當將其用于極電大尺寸復雜金屬陣列的寬頻帶散射場求解時，將會因為頻點數過多而導致計算量過大，甚至無法求解等問題[13]。如何避免對每一頻點散射場逐個數值計算已成為高壓輸電線路無源干擾研究中亟需解決的難題。

為此有學者提出將模型參數估計(Model-Based Parameter Estimation, MBPE)技術[14-15]引入高壓輸電線路散射場寬頻響應的快速重構中。該方法的本質是利用MoM等數值算法求解一定量采樣頻點散射場，以此辨識MBPE有理插值函數，從而基于該函數實現高壓輸電線路寬頻散射特性的快速求解。然而該所提方法以等間隔采樣方式確定高壓輸電線路散射場的采樣頻點，而其預測精度與所選采樣點的位置和數量均有較大關系。因此這種盲目性較高的均勻采樣方法極有可能會選中不合適的采樣點，且也極有可能會選擇過多的采樣點(平滑區域不需要過多采樣點，而在變化劇烈區域則需要較多采樣點)，進而產生高壓輸電線路寬頻散射特性重構效果差、計算時間長等問題。另外在辨識MBPE有理插值函數過程中需要進行矩陣求逆運算，易因矩陣奇異性的存在而無法準確辨識該函數。

為解決上述問題，引入了一種新的基于Thiele連分式有理函數的MBPE技術，并構建了一種高壓輸電線路散射場自適應頻點采樣方法，繼而通過二者的結合，提出了一種準確、快速求解高壓輸電線路寬頻散射場的新方法。分別在IEEE研究頻段和調幅廣播收音臺站工作頻段，建立高壓輸電線路無源干擾直線模型及線面混合模型，并結合基于MoM求解的自適應采樣頻點散射場信息，分別用提自適應MBPE技術、傳統等間隔采樣MBPE技術預測了高壓輸電線路的寬頻散射特性，并對比分析了兩種方法的精度及計算量，驗證了所提自適應MBPE技術的通用性與實用性。

1 傳統基于等間隔采樣MBPE技術的高壓輸電線路散射場快速求解方法及其存在的問題

如圖1所示。由時變電磁場理論可知，含正弦電壓源的線天線發射的電磁波會在高壓輸電線路金屬表面產生與激勵源同頻的正弦散射電磁波，因此高壓輸電線路廣域空間下任意位置的散射場瞬時值可表示為：

圖1 高壓輸電線路無源干擾數學模型Fig.1 Passive interference mathematical model of high voltage transmission line

E(r,t)=|E(r)|cos[ωt+φdeg(r)]

(1)

式中 |E(r)|為僅與空間位置有關的散射場幅值；ω=2πf為角頻率(f為散射場頻率)；φdeg(r)為余弦函數初始相位。

若將上述散射場表示為相量，則有:

(2)

式中φrad為弧度值，滿足φrad=(90+φdeg)π/180。在高壓輸電線路無源干擾研究中，通常計算固定場點的電磁散射特性，所以當場點r選定后，|E(r)|和φdeg(r)僅為頻率的函數。

1.1 傳統高壓輸電線路散射場快速求解方法

基于以上分析，文獻[7,13]首次將MBPE技術引入廣域空間下極電大尺寸高壓輸電線路的寬頻散射場快速求解中。該技術從本質上講是一種基于有理函數表征事物內在物理機制的內插技術[16-17]，已在雷達散射截面的頻空雙內插[18]和天線方向圖的恢復等領域得到廣泛應用[19]，并取得了良好的模擬效果。文獻[7,13]選擇以Padé有理分式作為插值函數，以散射場、頻率點對應的復頻率值s分別作為因變量和自變量，構建了高壓輸電線路散射場頻率響應內插函數：

(3)

式中M、L分別為分子和分母多項式的階數；bj、ai分別為分子和分母多項式的系數；s為復頻率(s=jω、ω為角頻率)。PL(s)和QM(s)沒有公因式，即不可約，且QM(s)≠ 0。

通常可令aM=1，則僅需t=M+L+1個采樣點數據即可提取式(3)的各個待求系數。其中，采用等間隔均勻選取的方式確定采樣點位置，其數目人為給定，而各采樣點的高壓輸電線路散射場利用MoM準確求解。

為得到Padé內插函數的具體表達式，將式(3)表示為如下矩陣方程：

AX=B

(4)

A=

(5)

X=[b0b1…bLa0…aM-1]T

(6)

(7)

利用t個采樣點散射場MoM計算值對矩陣方程式(4)～方程式(7)進行矩陣求逆運算后，可得到Padé有理分式的系數bl(l=0,1,…L)和am(m=0,1,…M-1)，繼而基于有理插值函數可快速求解出高壓輸電線路的寬頻散射特性。

1.2 存在的問題

需要指出的是，上述傳統高壓輸電線路寬頻散射特性快速求解方法存在以下問題：

(1)采用等間隔的方式選取高壓輸電線路散射場的采樣點，且采樣點的數目人為主觀確定，而高壓輸電線路散射場寬頻響應的重構效果與選取的采樣點位置及數量均有較大關系，從而會導致傳統快速求解方法產生穩健性差、計算精度與通用性低等嚴重問題；

(2)在利用采樣點數據提取Padé有理分式的系數時，需要對t維矩陣進行求逆操作，如式(4)～式(7)所示。由于這類矩陣條件數大甚至矩陣奇異，當采樣點數t逐漸增多時，該矩陣不易于求解，從而導致提取的Padé有理分式系數不準確，進而使高壓輸電線路寬頻散射場的模擬精度較低。

2 基于自適應MBPE技術的高壓輸電線路散射場快速求解方法

與上述傳統方法不同的是，為獲取有理分式的表達形式，也為在后面更好地與所提自適應采樣算法結合，在此引入Thiele連分式有理函數[20]。

2.1 基于Thiele連分式插值的MBPE技術

設第k次采樣后，式(3)中的分子及分母由如下等式確定：

(8)

(9)

式中sn(n=0,1,2,t-1)為采樣點的復頻率，且有：

(10)

(11)

式中i= 2, 3, … ,k。

通過k個采樣頻點即可確定所要求的k階高壓輸電線路散射場有理插值函數：

(12)

因此在無源干擾研究的頻率區間內，高壓輸電線路任意一頻點的散射場可通過求解式(12)近似得到。

利用以上遞推方法對高壓輸電線路散射場進行有理函數外推，可有效避免傳統方法因對t維矩陣求逆而產生的矩陣奇異、精度低等問題，且其可與自適應采樣算法結合。根據一致逼近理論可知，只有當|M-L| ≤1時，基于上述有理分式內插的結果與實際結果之間的誤差才有可能最小。

2.2 自適應頻率采樣算法

若高壓輸電線路散射場采樣頻點數據足夠多，則可利用上述Thiele連分式插值求解出較為精確的高壓輸電線路寬頻散射場，但為了節約計算資源和計算時間，并提升相關方法的實用性與可靠性，須在滿足一定精度的情況選用盡可能少的采樣頻點，即意味著需要在最佳位置選擇最佳采樣頻點。為此，提出一種自適應采樣點算法。

為了評估Thiele連分式的逼近程度，定義一種相對殘差：

(13)

式(13)表示在第k次采樣后，在搜尋區間得到的估計與上一采樣點(即第k-1次采樣點)估計之間的相對誤差。將搜尋區間的最大誤差與設置的允許誤差ε作比較，若該最大誤差大于ε，則將其對應的頻點取為新的采樣點。若研究的高壓輸電線路散射場頻段為[f0，f1]，則利用該自適應采樣算法具體的實施過程如下：

(1)選取研究頻段[f0，f1]的兩端點f0、f1作為固定初始采樣頻點，再在該區間內隨機選取第3個采樣頻點f2，繼而E1(s)可通過采樣點(f0,E(f0))、(f2,E(f2))辨識而得，而E2(s)可通過采樣點(f0,E(f0))、(f2,E(f2))和(f1,E(f1))獲取；

(2)在區間[f0，f2]內，利用式(8)、式(9)等間隔地求解各頻點對應的R2(s)，并將R2(s)取最大值的頻點選取為新的采樣點f3,以此實現采樣點數目的最小化處理。由于另一區間[f2，f1]在插值函數E1(s)定義域之外，所以不能在其內給出合適的相對殘差，繼而被舍棄；

(3)重復步驟二，直至整個頻段[f0，f1]內的Rk(s)均小于定義的允許誤差ε為止。假定采樣在第k步，且采樣頻點位于區間[fi，fj]內，則新的采樣點fk+1必然在區間[f0，fi]、[fj，f1]內，因為此時區間[fi，fj]已經不能給出合適的誤差估計。

將上述自適應頻率采樣算法與基于Thiele連分式有理函數的MBPE技術結合，即可形成求解高壓輸電線路寬頻散射場響應的自適應MBPE技術，如圖2所示。

從圖2可知，自適應采樣算法僅在新增采樣點上利用MoM求解其對應高壓輸電線路散射場信息，而其余計算時間主要用于插值函數的求解上，但這與計算新增采樣點散射場所需時間相比可忽略不計。另外所提自適應采樣算法可并行搜尋采樣點。因為當fk位于區間[fi，fj]時，新增的采樣頻點fk+1應在區間[f0，fi]、[fj，f1]內選取。雖然Rk(s)僅會在兩個區間中的一個區間內取最大值，但是下一次選取的采樣點極有可能是剩下一個區間Rk(s)取最大值對應的頻點，因此可同時將兩個區間Rk(s)取最大值的頻點選出。這種處理不僅在確定采樣點的過程中可實施并行計算，而且還能夠提升搜索效率，節約計算時間。

圖2 自適應MBPE技術求解高壓輸電線路寬頻散射特性流程Fig.2 Flow chart of computing the broadband scattering characteristics of high-voltage transmission line

3 計算結果對比及分析

3.1 中波廣播頻段的高壓輸電線路散射場

文獻[21-22]通過大量研究，發現在535 kHz～1705 kHz激勵下，輸電線路鐵塔可等效為半徑為2.13 m～4.88 m的線天線，并形成了相關的IEEE標準和研究結論。這也被國內外學者廣泛引用和采納。在此建立了C.W. Truemen提出的500 kV雙回高壓輸電線路散射場計算模型，如圖3所示。在其中選擇9基輸電鐵塔作為研究對象，同時鐵塔和地線分別等效為半徑為3.51 m、0.71 m的直線模型；另外激勵源為線天線(據地高度195 m，饋電電壓1 V)，位于圖3中距離x軸448 m的y軸負方向。根據文獻[23]，選取坐標為(0, 2 000, 2)的觀測點的高壓輸電線路散射場作為插值分析對象。

圖3 所用高壓輸電線路散射場計算模型Fig.3 High-voltage transmission line model established

在基于MoM求解圖3所示高壓輸電線路散射場模型前，以0.1倍波長對其進行分段，計算選取的頻率間隔為15 kHz。在此設定的所提自適應MBPE技術的誤差ε設定為1×10-5。分別基于MoM和自適應MBPE技術計算的高壓輸電線路各頻點散射場如圖4所示。

圖4 基于MoM和自適應MBPE技術計算的高壓輸電線路散射場寬頻響應結果Fig.4 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line based on MoM and adaptive MBPE technique

從圖4中可以看出，所提自適應MBPE技術自動確定的采樣頻點數為15個。在基于采樣頻點信息確定了有理插值函數的具體形式后，求解的高壓輸電線路散射場寬頻響應數值及變化趨勢與MoM計算的相應結果均較為吻合。

而為驗證傳統基于等間隔均勻采樣MBPE技術計算的效果，在此分別等間隔均勻選取13、15、18個采樣頻點，并基于該傳統MBPE技術計算高壓輸電線路散射場的寬頻響應，結果如圖5所示。從圖5中可以看出，傳統等間隔均勻采樣MBPE技術并不能準確求解高壓輸電線路散射場的寬頻響應，且其計算效果與所選取的采樣點個數有較大的關系，而采樣點個數人為確定，因而傳統MBPE技術的計算精度、魯棒性和可靠性較低。

圖5 不同采樣點數量下基于傳統等間隔采樣MBPE技術計算的高壓輸電線路散射場寬頻響應Fig.5 Broadband response of scattering field of high voltage transmission line calculated by the traditional uniformly-space sampling MBPE technique with different sample numbers

為定量評價所提自適應MBPE技術和傳統等間隔采樣MBPE技術的模擬效果，在此引入平均絕對誤差(Mean Absolute Error, MAE)、平均相對誤差(Mean Relative Error, MRE)和最大相對誤差(Maximum Relative Error, MaRE)等評價指標：

(14)

(15)

MaRE=max{|(Ei-E′i)/E′i|,i=1,2,…,n}

(16)

式中Ei(pre)、Ei(act)分別為第i個頻點散射場的MBPE內插值和MoM計算值，n為計算頻點個數。

與圖4、圖5對應的MAE、MRE和MaRE結果如表1所示。從表1中可知，所提自適應MBPE技術的各向指標均好于傳統等間隔均勻采樣MBPE技術，從而驗證了所得的結論。

表1 兩個方法在算例一下的計算誤差對比Tab. 1 Comparison between the errors of traditional method and errors of proposed method in the case one

3.2 調幅廣播收音臺工作頻段的高壓輸電線路散射場

隨著激勵頻率的增大，高壓輸電線路中的鐵塔細節尺寸與激勵波長之比也將隨之增大，進而導致IEEE提出的鐵塔線模型過于粗糙而不再適用。在這種情況下，需要在建模過程中考慮高壓鐵塔復雜的空間桁架結構。為此，文中采用了文獻[4]提出的高壓輸電線路無源干擾線-面混合模型，如圖6所示。該模型為±800 kV向家壩-上海特高壓直流輸電線路的線-面混合模型，其按0.1倍波長分段。

圖6 特高壓輸電線路散射場計算模型Fig.6 Calculation model for the scattering field of ultra-high voltage transmission line

在此以調幅廣播收音臺的工作頻段5.3 MHz～26.1 MHz為例，將從無窮遠處傳入的電場強度幅值為0.5 V/m的垂直極化平面電磁波作為高壓輸電線路模型的激勵源(鑒于高壓線路及鐵塔垂直于大地，以垂直極化平面波作為激勵考慮最嚴重的無源干擾情況)，也選取觀測點(0, 2 000, 2)的散射場作為插值分析對象。另外基于MoM計算高壓輸電線路散射場時，施加激勵電磁波的頻率間隔為0.1 MHz，自適應采樣誤差ε設定為1×10-4。

分別基于MoM和所提自適應MBPE技術計算的圖6所示高壓輸電線路各頻點散射場，結果如圖7所示。從圖7中可以看出，所提自適應MBPE技術自動確定的采樣頻點數為91個，計算的高壓輸電線路散射場寬頻響應及變化趨勢與MoM計算結果較為吻合。

圖7 基于MoM和自適應MBPE技術計算的高壓輸電線路散射場寬頻響應結果Fig.7 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line based on MoM and adaptive MBPE technique

與上節相比，本節高壓輸電線路散射場的寬頻響應更為復雜，預測精度也稍差，但總體結果還是與MoM計算結果較為一致。需要指出的是，當高壓輸電線路寬頻帶散射場變化較為復雜的時候，為減小采樣點數量和保證有理Thiele連分式的穩定性，需對研究頻段進行分段處理。在此將調幅廣播收音臺工作頻段5.3 MHz ～26.1 MHz均分為5段。在此需要說明的是，當前尚無通用的分段處理原則。但已有研究發現，針對較高激勵頻率下的高壓輸電線路散射場準確快速求解問題，通常需以小于等于4.2 MHz的間隔來分段處理研究頻段，因而本文在此將調幅廣播收音臺工作頻段均分為5段。當均分段數小于5時，發現基于自適應MBPE技術計算的高壓輸電線路散射場將會因連分式的不穩定而發散，所以在此必須保證調幅廣播收音臺工作頻段的均分段數大于等于5。

同樣地基于傳統等間隔均勻采樣MBPE技術預測圖6高壓輸電線路各頻點的散射場(頻段也均分為5段，每段等間隔分別選取19、20、21個頻點，則總共分別選取91、96、101個頻點)，所得結果如圖8所示。與圖7、圖8對應的MAE、MRE和MaRE結果見表2。從圖7、圖8、表2中可知，傳統均勻采樣MBPE技術預測的寬頻散射場及其變化趨勢均與MoM計算結果存在較大的偏差。

表2 兩個方法在算例一下的計算誤差對比Tab.2 Comparison between the errors of traditional method and errors of proposed method in the case one

圖8 傳統等間隔采樣MBPE技術計算的高壓輸電線路散射場寬頻響應結果Fig.8 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line calculated by MoM

綜上驗證及分析，表明文中自適應MBPE技術能合理地選擇高壓輸電線路散射場的頻點，且能保證采樣頻點數目較少，并基于此可準確地預測高壓輸電線路寬頻散射場。而傳統均勻采樣MBPE技術不能合理地選取采樣點，穩健性較低，無法準確地重構高壓輸電線路的寬頻散射響應。

4 討論

在所提自適應MBPE技術中，第三個采樣點(即除去研究頻段兩端點之外的第一個采樣點)會對算法后續采樣點的選擇及其數量產生一定影響。其原因在于自適應采樣算法選取的每個采樣頻點均是特征點，而每個新的采樣點均會對有理插值函數產生一定影響。若選擇的第三個采樣點不合適，將會致使自適應采樣算法后續選取的采樣點數目增多，且有可能會因為采樣點數目的增多而破壞Thiele有理連分式的穩定性。但是在絕大部分情況下，研究者并不知道高壓輸電線路寬頻散射場的變化趨勢，因而一般情況隨機選取第三個采樣點。通過計算分析發現，在保證相同精度的情況下第三個采樣點選取的不同會使采樣點數目相應有所不同，但不會產生較大的采樣點數目變化。以3.1節算例為例，分析在達到相同精度的情況下，第三個采樣點在不同頻點位置時產生的采樣點數目對比結果如表3所示。

表3 第三個采樣點在不同位置時的采樣點數目Tab.3 Number of sampling points varying with the position of third sampling point

另外，當待預測的高壓輸電線路電磁散射特性較為復雜時，采樣頻點的數量則將會必然增多，從而對Thiele有理連分式的結構和穩定性造成不良影響，因此有必要采用分段處理的方式對研究頻段進行處理(例如3.2節算例的情況)，從而保證預測結果的精度。需要注意的是，分段處理并不會降低高壓輸電線路寬頻散射特性計算的效率。此外，文中自適應采樣算法的精度誤差ε會在一定程度上決定最終采樣頻點的數目，而該采樣頻點數目又會對理連分式插值函數的穩定性產生影響。為了防止在寬頻響應求解過程中發生偽收斂的情況，可設定在連續兩次達到精度誤差之內時認為計算已經收斂。

除以上分析之外，分別針對3.1節、3.2節中的算例，對比傳統矩量法與自適應MBPE技術的計算量，如表4所示。綜合表4和圖4、圖7的結果可知，所提自適應MBPE技術在保證求解精度的基礎上，可顯著提升高壓輸電線路寬頻散射場的計算速度。

表4 兩種求解方法的計算量對比結果Tab.4 Comparison result between the computations of the two methods

5 結束語

針對傳統均勻采樣MBPE技術在預測高壓輸電線路寬頻電磁散射特性時出現的盲目性高、穩定性差、精度低等問題，引入了一種新的基于Thiele連分式有理函數的MBPE技術，并提出了一種自適應頻點采樣算法，從而通過兩者的結合，提出了一種預測高壓輸電線路寬頻散射特性的自適應MBPE技術。文章以IEEE研究頻段和調幅廣播收音臺站工作頻段為例，分別建立了高壓輸電線路無源干擾的直線模型及線面混合模型，并結合基于MoM求解了自適應采樣點的散射場信息，以此辨識了有理連分式插值函數，進而快速準確重構了高壓輸電線路散射場的寬頻響應。研究結果表明，傳統均勻采樣MBPE技術全局平均誤差高達25.63%，而所提自適應MBPE技術僅為9.08%，因而其相比于傳統均勻采樣MBPE技術具有可靠性高、通同性強等優點。建議在高壓輸電線路無源干擾中選用所提寬頻散射場快速求解方法，而非傳統方法研究相關問題。