移動(dòng)荷載下功能梯度梁的快速力學(xué)算法研究★

石智鋒,姜志杰,姚 達(dá),顧夏煒

(南通大學(xué)交通與土木工程學(xué)院,江蘇 南通 226019)

1 概述

在工程實(shí)際應(yīng)用中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)移動(dòng)載荷的情況,如汽車過橋、座椅電梯運(yùn)行以及軌道運(yùn)輸?shù)?一般這些問題可以視為移動(dòng)荷載作用下梁的橫向振動(dòng)響應(yīng)問題。這時(shí)的載荷作用位置沿行進(jìn)方向隨時(shí)間發(fā)生變化,在控制方程中常借用狄拉克函數(shù)來表達(dá),從而給力學(xué)求積帶來了一些麻煩。同時(shí),隨著人們生產(chǎn)和生活需求的不斷提升,不斷地對承受移動(dòng)荷載的梁也提出了更高的性能要求。功能梯度梁(Functionally Graded Beam,FGB)就是一種為滿足在極限環(huán)境下能反復(fù)地正常工作而發(fā)展起來的一種新型功能材料梁。通過材料設(shè)計(jì),可以使其功能、性能隨內(nèi)部位置的變化而變化,從而使優(yōu)化構(gòu)件的整體性能得以滿足，所以功能梯度梁的應(yīng)用越來越廣泛。而當(dāng)移動(dòng)載荷遇到功能梯度材料梁,兩者在力學(xué)計(jì)算中都具有一定地挑戰(zhàn)性,如何通過快速力學(xué)計(jì)算,優(yōu)化此類產(chǎn)品設(shè)計(jì)是一個(gè)非常重要且亟需解決的問題。

目前,移動(dòng)荷載作用下梁的響應(yīng)研究已經(jīng)得到了很多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]采用多尺度法和Galerkin法分析移動(dòng)載荷作用下 Euler 梁的頻率響應(yīng)曲線。文獻(xiàn)[2]研究了梁的跨長對移動(dòng)荷載下梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響,所得結(jié)論有助于更深入地理解移動(dòng)荷載作用下有限長梁的響應(yīng)以及梁結(jié)構(gòu)影響線問題。更有研究者[3]提出了一種計(jì)算單個(gè)移動(dòng)質(zhì)量作用下兩層簡支梁動(dòng)力響應(yīng)的簡便方法,并分析了質(zhì)量大小、移動(dòng)質(zhì)量速度、溫克爾層彈簧的剛度和阻尼對系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響。龔云軒等[4]基于鐵木辛科梁理論,采用連續(xù)體傳遞矩陣法計(jì)算了階梯梁的受迫振動(dòng)響應(yīng)。文中研究了轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的影響因素，指出移動(dòng)載荷的質(zhì)量相較于移動(dòng)速度和加速度而言,是最主要的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)影響因素。當(dāng)移動(dòng)載荷的質(zhì)量較大時(shí),必須要考慮速度和加速度引起的是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的影響。閆鏡宇等[5]利用奇異函數(shù)推導(dǎo)了簡支梁在移動(dòng)載荷作用下的撓曲線微分方程,并研究了橫向強(qiáng)迫振動(dòng)下簡支梁的響應(yīng)問題。指出隨移動(dòng)載荷的速度增大,將使簡支梁的撓度最大值和位移最大值呈拋物線形分布。而對于指定截面而言,最大靜撓度和載荷移動(dòng)速度無關(guān)。目前,基于功能梯度材料梁的研究相對不多,且對于物性參數(shù)的變化主要考慮的是沿厚度方向的梯度變化。張靖華等[6]研究了外加集中力沿著梁的軸向移動(dòng)時(shí)功能梯度材料梁的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律。基于模態(tài)疊加法和經(jīng)典梁理論,解析求得簡支梁的基礎(chǔ)頻率和振型,并研究了共振特性及其影響因素。

以上研究表明,移動(dòng)載荷下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)問題不管是理論研究還是數(shù)值求解均受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,尤其是對材料性能梯度變化的功能梯度梁而言,準(zhǔn)確預(yù)測移動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)具有重要的理論意義和工程實(shí)用價(jià)值。但是對于大多數(shù)動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題,分析計(jì)算的關(guān)鍵在于選取合理的時(shí)間步長。時(shí)間步長太小會(huì)浪費(fèi)計(jì)算資源,而時(shí)間步長太大也將使得高階模態(tài)產(chǎn)生誤差。因此,基于選取合理的時(shí)間步長的考慮,本文將采用弱式求積單元法進(jìn)行研究。

弱式求積單元法最初是由Striz等[7]提出的,經(jīng)過多年的發(fā)展已逐漸成為一種全新的數(shù)值解法來求解初邊值問題。由于在推導(dǎo)單元矩陣時(shí)采用了微分求積法的權(quán)系數(shù)公式,這樣可以得到節(jié)點(diǎn)數(shù)可以變化的單元矩陣的顯式計(jì)算式,便于編程的同時(shí)也提高了數(shù)值計(jì)算的效率[8]。本文借助弱式求積單元法的快速高效的優(yōu)異特點(diǎn),對移動(dòng)載荷下功能梯度梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行力學(xué)算法研究。只要集中載荷作用在結(jié)點(diǎn)處,就可以很方便的采用弱式求積單元法進(jìn)行求解。

2 基本公式

考慮圖1所示的歐拉-伯努利功能梯度梁,受移動(dòng)集中載荷作用。圖1中梁的長度、移動(dòng)集中荷載、荷載的移動(dòng)速度以及時(shí)間分別用L，P，v和t來表示,而h和b則分別代表梁的厚度以及寬度。材料性能沿梁高梯度變化趨勢和文獻(xiàn)[9]一致,采用冪指數(shù)的形式。由于時(shí)間變化,集中載荷的作用點(diǎn)也不斷變化,所以需要先根據(jù)等效變換的做法,把集中載荷等效到各個(gè)結(jié)點(diǎn)上。

假設(shè)解耦后的位移場如下：

(1)

其中,u*(x,z,t)和w*(x,z,t)分別是軸向和橫向位移分量,u*(x,e,t)=0,e為幾何中面和物理中面間的距離。

功能梯度材料歐拉梁的彎曲應(yīng)變能可以寫為：

(2)

研究中基于歐拉梁理論,忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和耦合的影響,功能梯度材料梁的動(dòng)能寫為：

(3)

外載荷P作的功可以寫為：

W=Pw(vt) (0≤t≤L/v)

(4)

研究基于高效的弱式求積單元法,采用一個(gè)歐拉梁單元進(jìn)行計(jì)算。為了使后期計(jì)算步長最長且合理,因此選用擴(kuò)展的切比雪夫(E-Chebyshev)結(jié)點(diǎn)。圖2給出了一個(gè)11結(jié)點(diǎn)的弱式求積歐拉梁單元的示例。

(5)

其中,[m]和[k]分別為歐拉梁單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；{f(t)}為載荷向量。之后采用中心差分法求解該二階常微分方程組,囿于篇幅,此處不再贅述。

3 算例和討論

功能梯度材料梁的跨中位移和彎矩的動(dòng)態(tài)放大因子為Wam和Mam定義如下[10]：

(6)

圖5給出了S-S功能梯度材料梁的跨中彎矩的動(dòng)態(tài)放大因子Mam。單元節(jié)點(diǎn)數(shù)仍從11變化到21。α取值為0.25，對比發(fā)現(xiàn)，收斂性方面，彎矩的收斂性要比位移的略低。從這一角度看，和常規(guī)有限單元法求解的應(yīng)力和位移在精度方面的結(jié)論是一致的。也再次說明了，本質(zhì)上，弱式求積單元法也是一種高階有限元方法。

圖6,圖7給出了兩端固定(C-C)時(shí)，跨中位移和彎矩的動(dòng)態(tài)放大因子Wam和Mam。因?yàn)榻馕鼋鉄o法獲得，所以采用改進(jìn)的微分求積法結(jié)果來進(jìn)行比較。可以看到，隨著參數(shù)α的變化，兩種方法中，Wam彼此相近，而Mam也幾乎完全相同。表明N-節(jié)點(diǎn)弱式求積歐拉FGB單元可以用較少的結(jié)點(diǎn)快速得到準(zhǔn)確的位移和彎矩。

而對于一端簡支，一端固支的情況，從圖8,圖9也可以得到相似的結(jié)論。弱式求積單元法的計(jì)算結(jié)果和微分求積法的幾乎完全吻合，但由于邊界條件不同，跨中位移和彎矩的數(shù)據(jù)結(jié)果也不同。隨著參數(shù)α的增大，跨中位移和彎矩大致都呈先增大后減小的趨勢，說明移動(dòng)速度的影響不可忽略。且不論哪種邊界支承條件，同一個(gè)參數(shù)α下功能梯度梁跨中的Wam和Mam與材料梯度參數(shù)均無關(guān)。這對工程實(shí)踐應(yīng)用來說，就可以借助各向同性材料梁的計(jì)算結(jié)果，大大減少計(jì)算工作量。

4 結(jié)語

采用弱式求積單元法可以很方便地進(jìn)行功能梯度材料梁的動(dòng)態(tài)力學(xué)分析,結(jié)點(diǎn)數(shù)目較少時(shí)也可以快速獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。移動(dòng)載荷作用在功能梯度梁上時(shí),梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與兩端的支承條件以及點(diǎn)載荷移動(dòng)的速度有較大的關(guān)系。在固定綜合體現(xiàn)點(diǎn)載荷移動(dòng)速度和材料屬性的無量綱參數(shù)α下,功能梯度材料梁跨中位移和彎矩的最大動(dòng)態(tài)放大因子與材料梯度參數(shù)無關(guān),可以考慮借助各向同性材料梁的結(jié)果來計(jì)算功能梯度材料梁。