分數(shù)階布朗運動下滬深300指數(shù)期權定價研究

殷怡韜，黃浩哲，馬錦濤，呂一笑，王昊彬

（中國礦業(yè)大學，北京 100083）

一、預備知識

（一）分數(shù)階布朗運動的定義[1]

設（Ω,F,P）為一個完備的概率空間，Hurst參數(shù)為H（0＜H＜1）的分數(shù)階布朗運動是一個連續(xù)的高斯過程{BH(t),t≥0}={BH(t,ω);t∈R+,ω∈Ω}滿足：

(1)BH(0)=E[BH(t)]=0對 ?t∈R+成立；

（二）長程相關性和均值回復性

說明未來的增量與過去的狀態(tài)相互獨立，此時分數(shù)階布朗運動等同于標準布朗運動。

當通項取絕對值后，雖然可以得到正項級數(shù)，但是用一般的判別法不易判斷，為了解決這個問題，引入如下引理：

令f '(u)=0，可得駐點u=0。由于α∈（0,1），則a-1＜0。

因此f(u)≥f(1)=0，當且僅當u=1時等號成立，則f(u)＜0對?u＞0且u≠1恒成立，原命題得證。

二、期權定價模型

(一)模型假設

設（Ω，F(xiàn),Ft，P）是一個具有流σ-的概率空間，BH(t)是分數(shù)階布朗運動，F(xiàn)t是BH(t)產生的σ-代數(shù)流。現(xiàn)在考慮某有效金融市場，滿足下列條件：

1）標的資產價格服從幾何分數(shù)階布朗運動，即

其中，S(t)表示標的資產的價格，μ,σ均為常數(shù)，BH(t)表示Hrust指數(shù)為H的分數(shù)階布朗運動；2）沒有交易費用和稅收；3）不存在無風險套利機會；4）利率r恒為固定常數(shù)；5）交易是連續(xù)的。

（二）分數(shù)階布朗運動下歐式看漲期權價格公式

如果投資者對金融市場的風險無喜惡，那么期權的預期收益率就可以被視為無風險利率。則在風險中性測度下，服從幾何分數(shù)階布朗運動的標的資產的價格S(t)滿足下列隨機微分方程：

其中r為無風險利率，波動率σ為固定常數(shù)。進一步，可以得到標的資產的價格S(t)的解為

考慮一份標的資產t時刻價格為S，執(zhí)行價為X，到期日為T的歐式看漲期權的價格，由參考文獻[2]可知期權的公平價格為

三、實證分析

本文主要研究在分數(shù)階布朗運動情形下滬深300指數(shù)期權的定價問題，首先對滬深300指數(shù)對數(shù)收益率進行正態(tài)性檢驗，然后假設滬深300指數(shù)收盤價格服從幾何分數(shù)階布朗運動，利用歷史數(shù)據(jù)估計Hurst指數(shù)H，最后給出分數(shù)階布朗運動下的滬深300指數(shù)期權的定價。

（一）正態(tài)性檢驗

選取從2019年8月22日到2021年5月7日的416個滬深300指數(shù)的收盤價數(shù)據(jù)，然后轉化成對數(shù)收益率，并對對數(shù)收益率進行正態(tài)性檢驗（其中對數(shù)收益率，而Pt表示t時刻的滬深300指數(shù)收盤價），可以得到如下結果（圖1）：

圖1 對數(shù)收益率直方圖與正態(tài)分布曲線

正態(tài)性檢驗的相關參數(shù)如表1所示

由實驗結果，知滬深300的對數(shù)收益率的直方圖與正態(tài)分布曲線并沒有很好的擬合尖峰的特點非常突出；此外，由相關參數(shù)知滬深300的對數(shù)收益率是左偏的且峰度系數(shù)高達7.694480，明顯大于3；J-B統(tǒng)計量的值也相當大，p值亦小于0.05；可以充分地拒絕原假設。綜上分析，滬深300的對數(shù)收益率并不服從正態(tài)分布。

（二）參數(shù)估計

由3.1部分的數(shù)據(jù)檢驗可知滬深300指數(shù)的對數(shù)收益率并不服從正態(tài)分布，因此本文嘗試用分數(shù)階布朗運動刻畫滬深300指數(shù)，即假設滬深300指數(shù)收盤價滿足（2）式。下面利用重極差方法估計參數(shù)H。

1. 用重標極差（R/S）分析法[3]估計Hurst指數(shù)H。重標極差分析法是英國水文學家Hurst提出來的，是估計參數(shù)H的一種非常有效的方法，下面是R/S分析法的基本步驟。

輸入長度為M的滬深300指數(shù)收盤價序列，并將其取對數(shù)做差分，變成長度為N=M-1的對數(shù)差分序列：

2. 將長度為N的對數(shù)收益率序列等分為A個小組，則每組有個數(shù)據(jù)，記這A個小組分別為Y1,Y2,,YA，且每個小組中的數(shù)據(jù)分別記為Xka（k=1,2， ，n,a=1,2,,A）。

5. 計算每個小組累積離差序列的極差

6. 計算每個小組的標準差

7. 計算每個小組的重標極差

8. 將得到的組重標極差取均值，可得每組含有?個數(shù)值情況下的重標極差

10. 選取2020年4月29日至2020年10月29日期間的收盤價對數(shù)收益率作為數(shù)據(jù)，用R/S分析法估計Hurst參數(shù)，運用Matlab軟件，可算出Hurst指數(shù)為0.6216。

（三）估算其他參數(shù)

本文采取與文獻[4]中類似的方法估計無風險利率和波動率。

1.無風險利率

滬深300指數(shù)期權交易日期間2020年Shibor的算術平均值為

2.波動率

計算2020年4月29日至2020年10月29日的對數(shù)收益率，預計波動率，可以用滬深300日對數(shù)收益率的樣本方差，即，其中經計算，可得樣本標準差σ= 0.0135，其年波動率。

四、模型的比較

此處選取的是2020年12月18日到期的滬深300指數(shù)，且初始時刻為2020年10月29日，因此，該期權的剩余期限為37天（交易天數(shù)），即。

滬深300指數(shù)的行權價格滿足一定的要求，即對當月與下2個月合約：行權價格≤2500點時，行權價格間距為25點；2500點＜行權價格≤5000點時，行權價格間距為50點；5000點＜行權價格≤10000點時，行權價格間距為100點；行權價格＞10000點時，行權價格間距為200點；對隨后3個季月合約：行權價格≤2500點時，行權價格間距為50點；2500點＜行權價格≤5000點時，行權價格間距為100點；5000點＜行權價格≤10000點時，行權價格間距為200點；行權價格＞10000點時，行權價格間距為400點。

選取的期權交易是從10月29日到12月18日，以10月29日的收盤價為標的資產初始價格、到期日的執(zhí)行價格為4000，利率r，波動率σ，Hurst指數(shù)H分別為上文估計出的參數(shù)，可以計算出基于分數(shù)布朗運動期權定價公式與經典B-S公式的期權價格分別為785.93和787.46，顯然兩者的差異不太大，經典B-S公式的結果略微偏高。

為進一步比較，我們做整體分析，不妨設行權價格位于區(qū)間[2500，5000]，比較在該條件下兩種模型下期權定價的情況，可繪制各個行權價格下對應的兩種模型的期權價格（圖2）。

圖2 兩種模型下期權理論價格比較圖

可以看出，對于滬深300指數(shù)期權分數(shù)布朗運動模型下的期權價格和經典B-S期權價格在大部分行權價格范圍內是比較接近的，除了小部分執(zhí)行價格下存在小值波動。

表2 Delta的統(tǒng)計量

由上述數(shù)值不難發(fā)現(xiàn)，兩者的近似程度是比較高的，這一方面說明經典B-S模型確實有可取之處，并有較高的參考價格，另一方面也說明模型總是或多或少地會存在偏差，下面通過改變參數(shù)σ和H比較兩種模型。σ對期權價格的影響，在H=0.6216的條件下，通過改變σ的值，發(fā)現(xiàn)σ值越大，Delta總和越大；σ很小的時候，分數(shù)階布朗運動下的期權價格比較貼近經典B-S模型下的期權價格，而σ值很大時，二者差距也越來越明顯（圖3）。

圖3 模型結果偏差變化圖

H對分數(shù)階布朗運動模型下期權定價的影響，在σ=0.21條件下，且行權價為5000，H越大，期權價格越小，所以H=0.5時的期權價格（經典B-S模型下的期權價格）比H＞0.5時的期權價格大，兩種模型下期權理論價格的偏差隨H增大而增大（圖4）。

圖4 Hurst指數(shù)對期權定價影響圖

綜上分析，可知經典B-S期權定價會隨著執(zhí)行價格和波動率的增加而與分數(shù)階布朗運動模型下的期權定價產生明顯差異. 說明在波動率和執(zhí)行價格較小時，在一個合理的誤差范圍內運用經典B-S期權定價公式仍然是可行的。在波動率和執(zhí)行價格較大時，運用B-S期權定價公式進行定價會與真實值產生明顯差異，此種情況應該運用其他合理模型進行估計。