基于定量反饋理論的氣動調節閥控制系統設計

夏 勤，方 星,2，劉 飛

(1.江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122; 2.無錫氣動技術研究所有限公司，江蘇 無錫 214072)

0 引言

氣動調節閥是現代工業過程控制系統中不可或缺的重要設備，其性能會直接影響整個工業過程。氣動調節閥往往在復雜環境中工作，常受到外界干擾和內部等價干擾(包括模型不確定性、未建模動態等)的影響。因此，氣動調節閥系統控制器的魯棒性要求一般較高。

氣動調節閥系統目前應用的控制算法主要有：常規比例積分微分(proportional integral defferential,PID)控制算法和基于PID改進的控制算法，例如模糊-PID控制、灰色預測模糊PID控制等。文獻[1]應用了1種PID參數整定方案，在Ziegler-Nichols整定基礎上設計了PID參數整定算法。該算法能夠有效地減小氣動調節閥系統的超調，但不能夠較好地滿足該系統在外部干擾和模型不確定性影響下的性能指標要求，而且當被控對象的參數發生變化時其控制效果較差。文獻[2]應用了1種模糊-PID控制算法。該算法將模糊算法與常規PID相結合，能夠針對被控對象的參數變化進行自動調節。但模糊控制器具有滯后特性，且不能有效地利用已知的對象模型及其不確定性信息。文獻[3]介紹了灰色預測模糊PID控制算法。該算法具有“超前控制”的特性，能對系統數據進行提取并預測其發展趨勢，從而改善滯后問題。但灰色預測模糊PID控制算法仍不能有效利用已知的對象模型及其不確定性信息。

針對以上情況，本文將定量反饋理論(quantitative feedback theory,QFT)控制方法應用于氣動調節閥控制系統，從而利用已知的對象模型及其不確定性信息對系統進行控制器設計。

1 氣動調節閥控制系統的數學模型

由于氣動調節閥控制系統結構較復雜[4-5]，采用系統整體建模的方法難度較大，所以本文按照氣動調節閥的組成將系統劃分為不同的功能模塊。相對于系統整體建模的方法，模塊化建模手段更加簡單和高效，而且模塊化的模型也具有更好的移植性和擴展性。因此，根據工作流程，按照模塊化思想，將氣動調節閥控制系統劃分為智能定位器模塊和閥門執行器模塊。本文選取的閥門執行器為反作用氣動薄膜式調節閥。氣動調節閥控制系統模塊化分析如圖1所示。

圖1 氣動調節閥控制系統模塊化分析框圖Fig.1 Modular analysis block diagram of pneumatic control valve control system

以下按照智能定位器模塊與閥門執行器模塊，分別建立氣動調節閥控制系統的數學模型。

1.1 智能定位器模塊

智能定位器模塊包括內部控制器、電氣轉換部分、氣動放大部分和閥位反饋部分(位移傳感器)。通常，閥位反饋部分(位移傳感器)的傳遞函數為R(s)=1。電氣轉換部分與氣動放大部分結構較為復雜，涉及較多的空氣動力學相關知識，難以直接建立其機理模型。因此，通常采用系統辨識的方法建立智能定位器模塊的數學模型。

通常，電氣轉換部分與氣動放大部分可以建模為以下的二階系統[6]：

(1)

式中：K為二階系統增益；ξ為二階系統阻尼系數；s為拉普拉斯算子；ω為二階系統自然振蕩頻率。

1.2 閥門執行器模塊

閥門執行器模塊由密閉氣室和閥桿運動部分組成。本文將通過機理建模方法得到該模塊的數學模型。這部分的機理模型可分為3個部分，分別為氣室氣壓轉換部分、氣壓與力的轉換部分，以及氣動薄膜式調節閥位移轉換部分[7]。

1.2.1 氣室氣壓轉換部分

閥門執行器模塊的氣室可理解為將輸入的氣壓信號轉換為氣室內壓力的部分，近似為阻容部分。該部分理想氣體等溫狀態下的彈性模量計算式為：

(2)

式中：Kv為理想氣體等溫彈性模量；ΔP為氣室內壓力變化值；ΔV為壓縮后氣體體積的變化值；V為壓縮前氣體的體積。

式(2)整理后可得：

(3)

(4)

式中：Qi為氣體流入流量;Qo為氣體流出流量;P2為氣室內壓強。

在氣體流速不高時，氣體流量與壓差之間有以下近似關系：

(5)

式中：P1為輸入氣壓；Rv為導氣氣阻。

由于氣動薄膜執行機構的氣室是封閉的，則輸出流量Qo=0。將式(4)代入式(5)中，經整理并進行增量化處理后可得：

(6)

為了簡化模型的書寫，將增量符號省略，則式(6)可表示為：

(7)

式中：Tv為Rv和Cv的乘積。

對上述一階微分方程式(6)進行拉氏變換，可得：

Tv×sP2(s)+P2(s)=P1(s)

(8)

由此可得氣動薄膜執行機構氣室的傳遞函數：

(9)

1.2.2 氣壓與力的轉換部分

氣壓與力的轉換部分是將氣室內氣壓轉換為執行機構推桿的拉力。力的大小與氣室內膜片的有效面積AD有關，可以表示為：

F(t)=P2(t)AD

(10)

式(10)為比例部分。對其進行拉氏變換，可得：

F(s)=P2(s)×AD

(11)

將式(11)轉換為傳遞函數的形式，可得：

(12)

1.2.3 氣動薄膜式調節閥的位移轉換部分

氣動薄膜式調節閥的位移轉換部分可以近似為質量-彈簧-阻尼系統。氣動薄膜執行機構及其力學分析如圖2所示。

圖2 氣動薄膜執行機構及其力學分析圖Fig.2 Pneumatic membrane actuator and its mechanical analysis diagram

根據牛頓第二定律，氣室輸出力的系統方程為：

(13)

式中：m為執行機構運動部件的總質量；x為執行機構的輸出位移；k為執行機構彈簧的彈性系數；b為執行機構的內摩擦阻尼。

在零初始條件下進行拉氏變換，整理后可以得到氣室輸出力與閥桿位移的傳遞函數：

(14)

綜上所述，通過對智能定位器模塊及閥門執行器模塊進行建模分析，可得到氣動調節閥控制系統的數學模型由式(1)、式(7)、式(10)和式(12)構成：

G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)

(15)

2 氣動調節閥控制系統的QFT控制器設計

QFT是1種基于魯棒控制思路的設計理論。在設計控制器之前，將系統已知的不確定性信息和需要達到的性能指標以定量的形式進行描述，然后根據上述限定條件設計能夠容忍前述不確定性并且滿足性能指標的控制器，從而使得控制系統具有較好的魯棒性。因此，QFT被廣泛應用于具有嚴重不確定性的系統中。經過近幾十年的發展，QFT被應用于各種實際工程系統，如飛機的魯棒飛行控制系統設計[8]、液壓履帶車輛驅動系統的魯棒控制[9]、永磁同步電機伺服系統[10]等。

氣動調節閥的模型參數在實際工程中會由于工況變化、環境因素等原因出現頻繁攝動，而利用QFT能夠很好地解決模型參數攝動的問題。在基于QFT的二自由度控制器設計過程中，將已知模型參數的攝動和系統的性能指標要求等條件考慮在內，能夠使系統具有較強的魯棒性。

2.1 QFT系統結構

QFT由Horowitz開發，是對經典頻率魯棒控制設計方法的擴展[11]。QFT控制器是1種兩自由度結構，包含1個前置濾波器和1個反饋控制器。QFT控制原理如圖3所示。

圖3 QFT控制原理框圖Fig.3 QFT control principle block diagram

圖3中，x、y、d1、d2分別為系統的參考輸入、參考輸出、輸入擾動和輸出擾動。QFT的最終目標是為具有不確定性的被控對象設計1個兩自由度的魯棒控制器，確保系統即使存在輸入輸出擾動，其頻域響應仍能滿足性能指標要求[12]。

2.2 氣動調節閥的對象模板和標稱對象

針對本文研究的氣動調節閥控制系統，得到系統的傳遞函數為：

(16)

(17)

G3(s)=65

(18)

(19)

實測不確定參數范圍為：m∈[0.04 0.05]kg；k∈[8 10]N/mm；b∈[0.8 1]N /(mm/s)。

選取m0=0.05 kg、k0=10 N/mm、b0=1 N/(mm/s)作為系統的標稱參數，得到標稱對象的傳遞函數為：

(20)

2.3 氣動調節閥的性能指標設計

根據氣動調節閥控制系統的動態特性要求，可得閉環系統階躍響應的調節時間ts≤2.5 s、上升時間tP≤1.5 s、超調量σ≤5%、相角裕度φm≥49°、幅值裕度km≥5 dB。由此確認設計性能指標如下。

2.3.1 魯棒穩定性指標

(21)

式中：L(jω)=C(jω)×G0(jω)×C(jω)為待設計的反饋控制器。

(22)

(23)

式(22)、式(23)可保證系統的最小幅值裕度KM為5.26 dB，最小相位裕度φM為49°，滿足魯棒穩定性要求。

2.3.2 跟蹤性能指標

(24)

式中：H(jω)為需要設計的前置濾波器;Tu(jω)為跟蹤性能的上界;Tl(jω)為跟蹤性能的下界。

選擇跟蹤性能的上下界分別如式(25)、式(26)所示。

(25)

(26)

所選擇的跟蹤性能的上下界，保證了滿足該上下界的閉環系統階躍響應，其超調量不超過5%、上升時間不超過1.5 s、調節時間不超過2.5 s，符合跟蹤性能要求。

2.4 頻率陣列選擇與復合邊界生成

選擇對象模板具有較大不確定性的頻率作為頻率陣列的一部分，經觀察選取的頻率陣列為ω=[0.010.050.10.51510501005001 000]rad/s。

在所選頻率陣列下，利用Matlab的QFT工具箱將對象模板根據魯棒穩定性要求，在Nichols圖上繪制魯棒穩定性邊界；同理，根據跟蹤性能指標要求，在Nichols圖上繪制跟蹤性能邊界。將各性能邊界進行整合，得到的開環系統復合邊界如圖4所示。

圖4 開環系統復合邊界Fig.4 Open-loop system composite boundary

圖4中，左右貫通的曲線為跟蹤性能邊界，非貫通的橢圓形曲線為魯棒穩定性邊界。系統滿足性能指標要求的條件為：當開環系統頻率響應曲線L0(jω)在低頻處位于跟蹤性能邊界的上方，且與跟蹤性能邊界的距離越小越好；在高頻處位于魯棒穩定性邊界橢圓外部，且不與魯棒穩定性邊界橢圓相交。

2.5 反饋控制器和前置濾波器確定

開環系統頻率響應曲線如圖5所示。

圖5 開環系統頻率響應曲線Fig.5 Open-loop system frequency response curves

由圖5(a)可知，開環系統頻率響應曲線L0(jω)與開環系統復合邊界關系不符合要求，因此系統無法滿足性能指標要求。

本文設計反饋控制器C(s)，以保證開環系統頻率響應曲線L0(jω)在所選擇的頻率點處位于對應跟蹤性能邊界上方，且在高頻處L0(jω)不與魯棒穩定性邊界相交。

(27)

設計QFT設計控制器后，開環系統頻率響應曲線如圖5(b)所示。開環系統頻率響應曲線在所選擇頻率點處位于跟蹤性能邊界上方且與邊界的距離很小，以保證系統在設計前置濾波器時能滿足跟蹤性能要求。在高頻處，開環系統頻率響應曲線沒有與魯棒穩定性邊界相交，以保證系統的穩定性。

本文設計前置濾波器H(s)，使得閉環系統響應的包絡線位于跟蹤性能的包絡線之間，從而保證系統滿足跟蹤性能要求。

(28)

閉環系統跟蹤邊界響應曲線如圖6所示。

圖6 閉環系統跟蹤邊界響應曲線Fig.6 Closed-loop system tracking boundary response curves

2.6 分析與設計驗證

QFT采用近似選點的方法對控制系統進行設計，所以必須驗證系統是否在所有頻率都滿足設計要求。本文利用Matlab的QFT工具箱分別對穩定裕度邊界和跟蹤性能包絡進行分析。

通過QFT工具箱得到的穩定裕度響應曲線如圖7所示。

圖7 穩定裕度響應曲線Fig.7 Stability margin response curves

由圖7可知，系統實際穩定裕度曲線在所有頻率點都始終位于給定穩定裕度邊界的下方，而且沒有超越給定邊界的趨勢，所以系統在所有頻率點都滿足穩定裕度要求。

通過QFT工具箱得到的閉環系統時域階躍響應曲線如圖8所示。

圖8 閉環系統時域階躍響應曲線Fig.8 Time-domain step response curves of closed-loop system

圖8中，虛線為時域跟蹤性能包絡的上界和下界；實線是在考慮模型不確定性的情況下，所有對象模板的閉環時域階躍響應曲線。由圖8可知，采用QFT方法設計的氣動調節閥控制系統滿足系統動態性能要求。

3 仿真試驗對比

為了驗證所設計的反饋控制器和前置濾波器是否達到了預期設計標準，本文對系統進行仿真分析。利用Matlab的Simulink模塊搭建了基于PID控制方法的氣動調節閥控制系統和基于QFT控制方法的氣動調節閥控制系統，將兩者進行試驗效果對比。

PID與QFT控制效果對比如圖9所示。

圖9 PID與QFT控制效果對比Fig.9 Comparison of control effects of PID and QFT

在標稱狀況下，給定閥位信號為20 mm時，基于PID與QFT控制方法效果對比如圖9(a)中所示。在標稱狀況下，采用基于QFT控制方法，其系統無超調。而采用基于PID控制方法出現了一定的超調。因此，基于QFT控制方法在一定程度上優于基于PID控制方法。此外，采用基于QFT控制方法時，閉環系統滿足設計過程中的各性能指標要求。

當氣動薄膜式調節閥系統參數的變化在不確定設計范圍內時，即閥門執行器內摩擦阻尼b=0.8 N/(mm/s)、彈簧的彈性系數k=8 N/mm情況下，其閉環階躍響應曲線設計工況下基于PID與QFT控制方法效果對比如圖9(b)中所示。在上述情形下，采用基于QFT控制方法的閉環階躍響應曲線超調量小于5%、上升時間小于1.5 s、調節時間小于2.5 s，控制系統仍然滿足系統的性能指標要求。而采用基于PID控制方法的閉環階躍響應曲線其超調量遠大于系統要求的5%，不再滿足系統的性能指標要求。

基于QFT控制方法能夠根據已知的系統不確定性條件，對控制系統進行設計。其對設計范圍內的不確定性具有很強的魯棒性。然而，在一些突發情況時，系統的不確定性將可能超出預先所設計的情況，而基于QFT控制方法的閉環系統仍然具有較強的魯棒性。在閥門執行器內摩擦阻尼和彈簧的彈性系數持續減小的實際工況下，當參數減小到b=0.7 N/(mm/s)、k=7 N/mm時，系統的閉環階躍響應曲線考慮情況外PID與QFT控制效果對比如圖10所示。

圖10 考慮情況外PID與QFT控制效果對比Fig.10 Comparison of the effects of PID and QFT outside the design conditions

基于PID控制方法的閉環階躍響應曲線的超調量已達到38%，嚴重超過系統性能要求的5%，并且其調節時間也已超過2.5 s，嚴重超過系統的性能指標要求。基于QFT控制方法的閉環階躍響應曲線，其超調量仍小于5%、上升時間仍小于1.5 s、調節時間仍小于2.5 s。由此可見，在基于QFT控制方法下，氣動調節閥控制系統的性能指標仍符合設計要求。由上述分析可知，面對突發的極端工況，即系統的參數不確定性超出設計工況時，基于QFT控制方法仍具有較強的魯棒性，由此顯示出QFT的實際工程應用價值。

4 結論

針對氣動調節閥控制系統在工業過程中不可避免地存在模型參數不確定性而影響系統控制效果的問題，本文提出了1種基于QFT的氣動調節閥魯棒控制策略。根據氣動調節閥控制系統的性能指標要求，本文設計了基于QFT的魯棒控制器。通過仿真研究，驗證了本文所設計的控制器滿足性能指標要求。相比于基于PID控制的氣動調節閥控制系統，本文所設計的控制系統具有更強的魯棒性和更優越的跟蹤性能。