高中數學導數教學中分類討論法的應用

榮薈翠

教師對導數教學的各方面內容進行分類討論，可以幫助學生了解導數基礎知識，讓學生高效地掌握導數內涵，并靈活解決導數問題。

一、簡化解題步驟

從近些年的高考題中我們不難看出“導數”已經成為重點考查的內容，利用導數求函數的最值問題是常見的題型。在解答此類導數問題時，就可應用分類討論法對題目進行分析，通過分類與逐層分析，可以讓解題過程更加簡單，且能讓學生的解題步驟更加清晰、明確，對于知識的掌握也會更加深入。在應用分類討論法的過程中，學生可以逐步明確函數的性質，掌握問題的本質。在具體的應用過程中，教師需以具體的題型為引導，讓學生針對性地進行分析與討論，通過化整為零的方式進行分類，降低問題的難度。一般情況下，函數f（x）在區間［a，b］上可導，那么f（x）在區間［a，b］上最值的求法有以下三種：（1）求出f（x）在區間［a，b］上的極值；（2）計算f（x）在極值點和端點的函數值；（3）對f（x）極值點和端點的函數值進行比較，寫出最大值、最小值。

案例一：已知函數f（x）=x3-3x，求函數在區間［-3，2］的最大值和最小值。

解析：由題中f（x）=x3-3x可以得出f ′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），則當x∈（1，2］時，f（x）>0，所以［-3，-1］，［1，2］是函數f（x）的單調增區間，當x∈［1，1］時，函數f ′（x）>0，所以可知［-1，1］是函數f（x）的單調減區間。

又因f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，當x=-3時，f（x）取得最小值，為-18，當x=-1或者2時， f（x）取得最大值，為2。

二、解決導數零點問題

導數是學習高等數學知識的基礎，以導數為基礎的各種函數問題成為重點學習的內容。在求解導數題目的過程中我們發現，題目中常包含多種參數，隨著參數的改變，解題的難度也會增加，所以通過分類討論的方式進行答題非常關鍵。而在利用導數求函數單調性的問題中，我們重點需要考慮的問題就是函數的零點問題，解決此類問題需要考慮的重點就是二次項系數中是否含有參數，當參數是“0”時，就需要將函數轉化成一次函數進行判斷，如果參數不為“0”時，就需要對導函數進行因式分解，并判斷，如果可以則表示存在零點。在討論零點問題的過程中，判斷正負非常關鍵，零點是正負的臨界點，會影響整個解題結果。針對導數函數的零點案例，對學生進行分類討論訓練非常有必要，教師需針對具體的問題進行多樣化訓練，逐步提高學生的解題能力。

案例二：已知函數f（x）=x-blnx，f（x）有幾個零點？

解析：根據題干信息，f（x）=x-blnx，x>0則可以得出：f ′（x）=1+-=，如果令g（x）=x2-bx+1，Δ=b2-4；則可以得出下列結果：

1.當-2≤b≤2時，g（x）≥0，當x>0時，f ′（x）>0是恒成立的，那么f（x）就會單調遞增。又因f ′（1）=0，所以這時函數只有一個零點。

2.當b<-2時，g（x）=0，此時函數會有兩個不等的實根，假設這兩個實根分別為x1，x2，那么根據根和系數的關系就可得到下列關系式x1+x2=b<0，x1、x2=1，則x1<0，x2<0，當x>0時f ′（x）>0，恒成立，且此時函數f（x）只有一個零點。

3.當b>2時，g（x）=0有兩個不相等的實數根，假設這兩個實根分別為x1、x2，則當x1+x2=b>0，x1x2=1，如果設0

則當0

當x1

當x>x2時，f ′（x）<0，f（x）是單調遞增；

f（x1）>f（1）=0>f（x2）

由f（）=-eb+e2<0時，f（x）有三個零點。

f（eb）=eb--b2=-f（）>0

當b≤2時，f（x）有一個零點，而當b>2時，f（x）有三個零點，所以最終的答案是“f（x）有三個或者一個零點”。

三、命題等價轉換

在轉換的過程中，需落實“等價”原則，面對千變萬化的數學問題，須知“萬變不離其宗”，要想更加準確地解答數學題目，在煩瑣的題干信息中篩選出有效信息，就需對題目信息進行分類討論，善于觀察和聯想，對復雜的數學問題進行歸類轉化，讓問題更加簡單，學生的解答也更加順利。

案例三：已知函數f（x）=ax2-lnx（a是常數），如果a<0，那么在任意情況下x∈［1，e］，f（x）≥（a-2）x恒成立，求實數a的取值范圍。

解析1：利用分類討論中的構造法，整合出一個新的函數，再進行求導。新函數為F（x）=f（x）-（a-2）x，由此就可將上述問題轉換成“對任意x∈［1，e］，F（x）≥0恒成立”進一步進行轉化，就可得到F（x）min≥0，圍繞F（x）min這一核心問題，通過分類討論就可得到參數a的取值范圍。

解析2：可將函數中的參數a單獨剝離，這樣就可得到分離之后函數的最值，一般情況下處理恒成立的主要方式就是通過分類討論的方式得到最值，然后再解答不等式得到答案，再通過分離參數函數的具體情況進行討論。

以上的兩種解題思路都與分類討論密切相關，解析1應用了構造法，通過對構造函數F（x）min的參數a進行分類討論，得到最終結果。在此處進行分類討論的主要原因就是當F′（x）=0時的其中一個根-是否在定義域內，是否要大于另一個根。而解析2中主要是對變量進行分類討論，主要是當參數為a，不能確定函數系數x2-x的值是正、負，還是零。由此可見，以上兩種方法均需要應用分類討論法的主要原因，就是結果存在不確定性，對于數值的大小、正負均無法確定。

四、數形結合直觀反映

從導數、函數的實際教學情況來看，很多高中生面對此類題目，時常不知所措，心存畏懼。而教師也與學生有一樣的感覺，在教學中也深感無所適從，不知從何角度能幫助學生更好地理解導數問題。導數之所以難教、難學，我認為有兩方面原因：一方面是導數對學生來講屬于一個新詞，有一種陌生感；同時，教師并未過多地講解過導數，猛然間提及導數，學生就會感到一臉茫然，不知所措。另一方面在于導數是“數”與“形”之間的相互融合，與以往單一形式的“數”的教學與“形”的教學有一定差異，由此產生對導數教學的兩種錯誤認識。首先，部分教師僅將導數作為一門獨立學科對待，僅重視代數教學而忽視圖形教學；其次，教師也認為導數、函數分析的重點是圖形，僅關注圖形而忽視代數教學。從常識角度來看，不管是導數，還是函數，都是“圖形”與“代數”相結合的橋梁，且存在于數學教學的整個過程中。因此，數形結合法是分類討論的有效手段之一，可以讓學生對知識有更清楚的認識，并且在圖形的支持下，數量之間的關系也更加明朗。函數教學之前，教師應確保學生對函數有正確的理解，并能夠對函數本質有清晰認識，即函數是一種對應關系，主要體現在量與量之間。

案例四：已知函數f（x）=+alnx，a∈R，此函數需過點（0，2），那么過此點的函數可以作幾條與函數y=f（x）相切的直線，為什么？

解析：本題目的答案為a≤0時，有一條切線，a>0時有兩條切線，理由如下：

假設將切點坐標設為［x0，f（x0）］，根據題意就可得到=，即可得到+alnx0-2=a-，對算式進行化簡就可以得到：+alnx0-2-a=0，假設F（x）=+alnx-2-a（a>0），可以得到函數F（x）在（0，+∞）區間上的零點數量，也就是相切曲線的數量。而結合F（x）的性質可以得到圖象有以下幾種情況：

對圖1中的圖象進行觀察，只要分類討論x=1時是否穿過了x軸，就可對交點情況進行逐一驗證。

五、精準定位問題特征

在分類討論時，教師應引導學生找到分類討論的正確依據，明確分類討論的原因、引起分類討論的因素、采取分類討論的合理方法。學生是否將問題簡化，且解出正確答案，取決于其在分類討論的過程中能否做到合理、準確的推理與判斷。因此，教師應引導學生分析基于各種條件下數學研究對象呈現出來的異同點，并進行精準劃分，再分別求解，以得出正確的結論。

案例五：已知a∈R，函數f（x）=x2|x-a|，求函數y=f（x）在區間［1，2］上的最小值。

解析：通常在解題時可以先將函數f（x）化為分段函數，再運用導數對比函數在區間［1，2］上的單調性，以解出最小值。在此過程中能夠明確無法與字母的取值分開，因此可以確定字母是引起分類討論的因素。此時學生會對先整體還是先局部以及分類的標準產生疑問，對此，教師應引導學生對解題時的“分歧點”展開分析，也就是在函數f（x）圖象上，區間［1，2］所處的位置。教師可以先讓學生從整體出發，觀察函數f（x）圖象，發現無法確定函數f（x）的零點等于0或x=a的大小，進而應對三種情況展開討論：a<0，a=0，a>0。在求出函數f（x）的導數后，可以對區間［1，2］與x=、x=a的關系展開分析，當∈［1，2］時，應明確f（1）與f（2）的大小關系后才能求出最小值。此題需要分三層展開分類討論，若想化解去絕對值和分段函數的問題，可以根據函數f（x）=x2|x-a|的結構特征與函數的定義域［1，2］對a和x的大小關系進行分析，然后再分別對a≤1，12進行討論即可。

六、理解分類討論的標準

分類討論法是解決導數綜合問題時常用的方法，不僅能夠考查學生的數學基礎，還能考查他們解決數學問題時的綜合能力。教師應引導學生理解分類討論的標準，以不重不漏且恰到好處。

（一）根據參數的正負進行分類

求導后，若導函數的正負因參數受到限制，為了以更便利的方式求出單調區間，可以根據參數的正負進行分類討論。

案例六：已知函數f（x）=ex（ex-a）-a2x，對函數f（x）的單調性進行討論。

解析：先求出函數f（x）的導數，整理后得出f ′（x）=（2ex+a）（ex-a），因為ex>0成立，所以導數的正負取決于參數a的正負，因此a>0，a=0，a<0三種情況為分類討論的標準。需要注意的是，由于f（x）的單調性不同，因此不能將a=0并入a>0或a<0。

（二）根據導函數根與給定區間的關系進行分類

求導后，如果存在這兩種情況：一是導函數為零的方程有實根；二是導函數的分子可以分解因式，但不能確定導函數為零的實根能否落于函數的定義域中，通常會根據令導函數為零的實根等于定義域的端點值求解分點，以展開分類討論。

案例七：已知a為實數，函數f（x）=（x-a），求解函數f（x）的單調區間。

解析：求出函數的定義域［0，+∞］，再求出函數f（x）的導數，得出f ′（x）=，令f ′（x）=0，可以求出x=，這時需要對是否落在函數的定義域［0，+∞］內進行分析，從a>0和a≤0分別展開分類討論，以求出參數a的取值。

綜上所述，分類討論法不僅是一種數學思想，同時也是常用的解題方法，能夠聚焦于整體中的關鍵部分，簡化復雜的數學問題，拓寬學生的解題思路。

（作者單位：天津市靜海區獨流中學）

編輯：溫雪蓮