基于螺旋光柵相位和分數(shù)Fourier的光學圖像加密算法

車 凱， 王海翔， 白林亭， 文鵬程， 楊芷柔， 趙洪東

(1 中航工業(yè)西安航空計算技術研究所， 西安 710065； 2 西北工業(yè)大學 計算機學院， 西安 710072； 3 哈爾濱工業(yè)大學 計算學部， 哈爾濱 150001)

0 引 言

隨著大數(shù)據(jù)時代的來臨，圖片數(shù)據(jù)存儲量越來越大，原始的圖像置亂加密的方法，已不能滿足高效加密的需求。當前不僅需要的是安全性較高的加密方法，且實際場景應用要求加密系統(tǒng)在保證足夠安全的前提下，對性能提出了要確保時效性較高、抵抗攻擊的魯棒性能要好、圖像密鑰占據(jù)空間要小、密文圖像與明文圖像的相似度小等眾多要求[1-2]。

目前，在圖像加密技術中，較為流行的方法主要分為兩大類：混沌加密和光學加密[3]。混沌加密技術主要是利用復雜的相空間等特征，對圖像像素及其值進行改變。雖然此類方法的加密效果較好，但混沌系統(tǒng)的周期性會造成加密安全性的缺失。為解決混沌加密安全性的問題，光學加密技術相繼被提出，該技術具有效率高、存儲量大、并行度高以及密鑰維度多等特性。自1995年后，隨著Refregier等人[4]提出經(jīng)典的雙隨機相位編碼光學加密系統(tǒng)后，一系列的光學加密方法相繼被提出。2017年，Kumar[5]等人提出了一種新的非線性光學圖像加密技術，使用螺旋相位變換(SPT)，采用隨機相位掩碼(RPM)調制，使得圖像以距離z進行菲涅耳傳播，以達到加密的效果。但是，復雜的菲涅耳變換會增加計算的難度。同年，Kumar等[6]又提出了利用小波變換替換分數(shù)傅里葉變換，并分析了不同融合方法的優(yōu)缺點。2018年，Khurana M[7]提出了一種基于混合結構相位掩模(HSPM)的旋轉變換(GT)域雙圖像加密方法，使光學圖像加密方法魯棒性得到提升。

為了同時提高魯棒性和加密效率，本文在使用螺旋相位作為部分密鑰的基礎上，引入錯位光柵生成的渦旋光束作為部分密鑰，提出了一種基于螺旋光柵相位和分數(shù)Fourier的光學圖像加密算法。利用計算全息法設計位錯光柵并生成渦旋光束，然后與自主設計的螺旋相位結合形成加密密鑰，使用分數(shù)傅里葉變換對圖像進行加密。經(jīng)統(tǒng)計直方圖、信息熵、差異性和抗噪聲攻擊能力等實驗分析，表明該方法具有很好的魯棒性和安全性。

1 基于螺旋光柵相位和分數(shù)Fourier的光學圖像加密算法

1.1 螺旋相位變換(SPT)

在螺旋相位變換中，二維符號函數(shù)sgn(μ,ν)也被稱為螺旋相位函數(shù)(SPF)，用于二維Hilbert變換[8-9]。二維符號函數(shù)可以定義為空間頻率中的純SPF：

(1)

其中，相位φ(μ,ν)是頻率空間中的極坐標角。SPF函數(shù)未在原點處定義，其在原點處的值可以是0或1，這些值指向奇點。

在此情況下，通過引入?yún)?shù)q來修改SPM函數(shù)。q是奇點的數(shù)量或SPF的階，對應于SPF值未定義的點(即0或1)。修改后的SPF可改寫為

SPF=exp{iqφ(μ,ν)}

(2)

因此，對于特定階的SPF，二維信號的SPT可以表示為

SPF{f(x,y)}=IFT{SPF.FT{f(x,y)}}

(3)

其中，F(xiàn)T和IFT分別表示二維傅里葉正變換和反變換。

SPT的逆為

ISPF{f(x,y)}=IFT{conj(SPF).FT{f(x,y)}}

(4)

其中，conj()表示共軛復數(shù)。

1.2 計算全息法生成渦旋光束

渦旋光束是一種具有螺旋狀相位波前的光束，且在傳播方向上，光束中心強度或軸向強度為0，又被稱為暗中空光束[10]。渦旋光束具有暗斑尺寸極小、光強呈環(huán)狀分布和傳播不變性等獨特的物理特性，因此渦旋光束被廣泛地應用在光學計算、物理數(shù)學和信息處理等方面。

通常，渦旋光束的獲取有多種方法，如：計算全息法、幾何光學法和中空波導法等[11]。以上方法中，基于計算全息法適用范圍廣，能夠便捷地生成不同階的渦旋光束。

假設：E1exp(iφ1)和E2exp(iφ2)分別表示兩個光束的波函數(shù)，當兩束光發(fā)生干涉時，產(chǎn)生的干涉光強則為

(5)

其中，2E1E2cos(φ1-φ2)表示干涉光強的空間分布特性，通常選擇其作為光柵透過率函數(shù)來產(chǎn)生光柵。將E1exp(iφ1)作為參考光束，通過照射光柵，光束E2exp(iφ2)能夠在透射光束中再現(xiàn)，即為全息術的原理。

計算全息法就是基于全息術原理，利用已有光束來獲取所需的具有某種特性的光束。由于光柵的種類可以不同，透射光束也就不同，造成了透射光束的多樣性和不確定性，這正是生成密鑰所需要考慮的形式之一。因此，本文選擇計算全息法產(chǎn)生的渦旋光束相位作為密鑰的一部分。

1.3 分數(shù)傅里葉變換

分數(shù)傅里葉變換是1980年Namias[12]為求解偏微分方程而引入量子力學。1993年，Mendlovic等[13]人通過研究光在二次梯度折射率介質中的傳播，給出了分數(shù)階傅里葉變換級數(shù)形式的表達式。同年，Lonmann用Wigner相空間旋轉的概念，給出了分數(shù)傅里葉變換的積分形式表達式[14]。

設f(x)為輸入信號，則其P階分數(shù)傅里葉變換定義為

(6)

1.4 加密算法的實現(xiàn)

加密流程如圖1所示，其實現(xiàn)的具體步驟如下：

Step 1將原彩色圖像轉化為灰度圖像，再將灰度圖像轉換為double值;

Step 2利用SPT自行設計一個螺旋相位，記為p1；

Step 3利用計算全息法模擬錯位光柵產(chǎn)生的渦旋光束相位，記為p2；

Step 4將p1和p2組成密鑰p；

Step 5利用密鑰p，采用分數(shù)傅里葉變換對double值圖像進行處理，即得到加密圖像。

圖1 加密計算流程圖

與之對應的解密過程為：利用相同參數(shù)的加密密鑰圖像，輸入加密參數(shù)相反數(shù)，對加密圖像進行分數(shù)傅里葉變換，即可以得到加密之前的灰度圖像。還可恢復原來色彩，得到原始彩色圖像。具體解密流程如圖2所示。

圖2 解密計算流程圖

2 實驗仿真與算法性能分析

仿真實驗選取大小為512*512的“Lena”彩色圖像。首先，采用本文提出的加密算法進行實驗；其次，以統(tǒng)計直方圖、信息熵、差異性和抗干擾能力等評價指標與其它加密算法進行比較。實驗表明，本文提出的加密算法具有很好的安全性和有效性。

2.1 加密實驗

在不進行任何攻擊測試的前提下，測試了加密的全過程，實驗結果如圖3所示。

圖3 無攻擊情況下的加密過程

其中，加密處理結果的放大效果如圖4所示。

早期的唐草風格基本指的就是亞利桑那和加州風格。其特點是紋樣的邊線處理不規(guī)則，并且隨型的比較多。之所以叫亞利桑那風格,是因為圖案中出現(xiàn)的花卉紋樣是采用亞利桑那特有花卉圖案。花托部分的裝飾線條是Y形紋排列，中間用刀線從上往下隔開。裝飾性的莖干數(shù)量小，弧度小，卷草粗大，頭部收縮卷曲，用圓點圖案在中心收節(jié)。枝葉部分是采用歐式的茛苕葉。刀線走得窄而深。

圖4 放大后的加密結果

2.2 算法安全性及性能分析

2.2.1 統(tǒng)計直方圖分析

首先，對明文圖像和密文圖像的統(tǒng)計直方圖進行了對比，實驗結果如圖5所示；其次，為了對比明文圖像與解密圖像的差異性，對兩者進行了統(tǒng)計分析，實驗結果見圖6；最后，對經(jīng)典的混沌加密算法、塊置亂加密算法、像素置亂加密算法和CaTmap加密算法的實驗結果進行了統(tǒng)計圖分析，實驗結果如圖7～圖10所示。

圖5 本文方法的明文和密文圖像直方圖

圖6 本文方法的明文和解密圖像直方圖

圖7 混沌加密算法的明文和密文圖像直方圖

圖8 塊置亂加密算法的明文和密文圖像直方圖

圖9 像素置亂加密算法的明文和密文圖像直方圖

圖10 CaT Map加密算法的明文和密文圖像直方圖

由多組實驗對比可以看出，本論文提出的加密算法在統(tǒng)計規(guī)律上，停留在像素值為0～35和220～155這個區(qū)域，這是由于圖像的加密算法中的密鑰造成的。從密文圖片可見，整體可以看出融合密鑰的紋理信息，這也從側面說明了統(tǒng)計圖的結果。

2.2.2 信息熵分析

信息熵表示信息的混亂程度，圖像的信息熵越接近理想值，則表示其信息越混亂，也說明其加密效果越好[15]。通常，加密圖像信息熵的理想值為8。本文所提算法加密后圖像的信息熵為7.995 85。

設圖像m的信息熵為H(m)，其定義為

(7)

其中，p(mi) 表示信息值mi出現(xiàn)的概率。

2.2.3 差異攻擊分析

當明文圖像中的微小變化在密文像素中產(chǎn)生巨大差異時，圖像加密方法對于差分攻擊具有較強的抵抗力。這種類型的分析通過像素變化率(NPCR)和均勻變化強度(UACI)來度量。本文方法與Jan Sher Khan[16]的方法在NPCR和UACI上進行了對比，實驗結果見表1。結果表明，本文方法具有良好的差異攻擊性。

表1 NPCR 和 UACI 測試數(shù)值的對比結果

2.2.4 噪聲攻擊分析

為了驗證加密算法在抵抗密文攻擊時的魯棒性，本文驗證了抗噪聲干擾的能力。在密文圖像中加入高斯噪聲。

G′=G(1+Kσ)

(8)

其中，G和G′分別表示密文圖像和攻擊后的圖像；K表示噪聲強度系數(shù)；σ表示加入的隨機噪聲。

圖11為加入不同噪聲后灰度圖像的解密結果。Lena的解密圖像能夠被識別出來，當K=0.6時，解密圖像仍能夠被識別出來，表明該加密算法對噪聲攻擊具有較強的魯棒性。

(a) K=0.1 (b) K=0.3 (c) K=0.6

3 結束語

本文提出了一種基于螺旋光柵相位和分數(shù)Fourier的光學圖像加密算法。該方法的密鑰融合了螺旋相位和錯位光柵生成的渦旋光束，在利用分數(shù)傅里葉變換對圖像進行加密處理。仿真實驗從統(tǒng)計直方圖分析、信息熵分析、差異性分析和抗噪聲攻擊能力分析等方面進行驗證，實驗結果表明該方法具有很好的加密效果、魯棒性和安全性。